In der abstrakten Algebra ist eine abelian Erweiterung eine Erweiterung von Galois, deren Gruppe von Galois abelian ist. Wenn die Gruppe von Galois eine zyklische Gruppe ist, haben wir eine zyklische Erweiterung. Mehr allgemein wird eine Erweiterung von Galois lösbar genannt, wenn seine Gruppe von Galois lösbar ist.

Jede begrenzte Erweiterung eines begrenzten Feldes ist eine zyklische Erweiterung. Die Entwicklung der Klassenfeldtheorie hat ausführlich berichtete Auskunft über abelian Erweiterungen von numerischen Feldern, Funktionsfelder von algebraischen Kurven über begrenzte Felder und lokale Felder gegeben.

Es gibt zwei ein bisschen verschiedene Konzepte von cyclotomic Erweiterungen: Diese können entweder gebildete Erweiterungen durch das Angrenzen an Wurzeln der Einheit oder Suberweiterungen solcher Erweiterungen bedeuten. Die cyclotomic Felder sind Beispiele. Jede cyclotomic Erweiterung (für jede Definition) ist abelian.

Wenn Feld K eine primitive n-te Wurzel der Einheit enthält und an die n-te Wurzel eines Elements von K angegrenzt wird, ist die resultierende so genannte Erweiterung von Kummer eine abelian Erweiterung (wenn K Eigenschaft p hat, sollten wir sagen, dass p n nicht teilt, da sonst das sogar scheitern kann, eine trennbare Erweiterung zu sein). Im Allgemeinen, jedoch, funktionieren die Gruppen von Galois der n-ten Wurzeln von Elementen sowohl auf den n-ten Wurzeln als auch auf den Wurzeln der Einheit, eine non-abelian Gruppe von Galois als halbdirektes Produkt gebend. Die Kummer Theorie gibt eine ganze Beschreibung des abelian Erweiterungsfalls, und der Lehrsatz von Kronecker-Weber sagt uns, dass, wenn K das Feld von rationalen Zahlen ist, eine Erweiterung abelian ist, wenn, und nur wenn es ein Teilfeld eines erhaltenen Feldes durch das Angrenzen an eine Wurzel der Einheit ist.

Es gibt eine wichtige Analogie mit der grundsätzlichen Gruppe in der Topologie, die alle Bedeckungsräume eines Raums klassifiziert: Abelian-Deckel werden durch seinen abelianisation klassifiziert, der sich direkt auf die erste Homologie-Gruppe bezieht.