Rechenbetonte Geometrie ist ein Zweig der Informatik, die der Studie von Algorithmen gewidmet ist, die in Bezug auf die Geometrie festgesetzt werden können. Einige rein geometrische Probleme entstehen aus der Studie von rechenbetonten geometrischen Algorithmen, und, wie man auch betrachtet, sind solche Probleme ein Teil der rechenbetonten Geometrie.

Der Hauptimpuls für die Entwicklung der rechenbetonten Geometrie als eine Disziplin war Fortschritt in der Computergrafik und dem computergestützten Design und der Herstellung (CAD/NOCKEN), aber viele Probleme in der rechenbetonten Geometrie sind in der Natur klassisch, und können aus der mathematischen Vergegenwärtigung kommen.

Andere wichtige Anwendungen der rechenbetonten Geometrie schließen Robotertechnik (Bewegungsplanung und Sichtbarkeitsprobleme), geografische Informationssysteme (GIS) (geometrische Position und Suche, Weg-Planung), integriertes Stromkreis-Design (IC Geometrie-Design und Überprüfung), computergestützte Technik (CAE) (Ineinandergreifen-Generation) ein.

Die Hauptzweige der rechenbetonten Geometrie sind:

• Kombinatorische rechenbetonte Geometrie, auch genannt algorithmische Geometrie, die sich mit geometrischen Gegenständen als getrennte Entitäten befasst. Ein Groundlaying-Buch im Thema durch Preparata und Shamos datiert auf den ersten Gebrauch des Begriffes "rechenbetonte Geometrie" in diesem Sinn vor 1975.
• Numerische rechenbetonte Geometrie, auch genannt Maschinengeometrie, computergestütztes geometrisches Design (CAGD) oder das geometrische Modellieren, das sich in erster Linie mit dem Darstellen wirklicher Gegenstände in Formen befasst, die für die Computerberechnung in Systemen des CAD/NOCKENS passend sind. Dieser Zweig kann als eine weitere Entwicklung der beschreibenden Geometrie gesehen werden und wird häufig als ein Zweig der Computergrafik oder des CAD betrachtet. Der Begriff "rechenbetonte Geometrie" in dieser Bedeutung ist im Gebrauch seit 1971 gewesen.

Kombinatorische rechenbetonte Geometrie

Die primäre Absicht der Forschung in der kombinatorischen rechenbetonten Geometrie soll effiziente Algorithmen entwickeln, und Datenstrukturen, um Probleme zu beheben, haben in Bezug auf grundlegende geometrische Gegenstände festgesetzt: Punkte, Liniensegmente, Vielecke, Polyeder, usw.

Einige dieser Probleme scheinen so einfach, dass sie als Probleme überhaupt bis zum Advent von Computern nicht betrachtet wurden., Denken Sie zum Beispiel, das Nächste Paar-Problem:

• Gegebene N-Punkte im Flugzeug, finden Sie die zwei mit der kleinsten Entfernung von einander.

Man konnte die Entfernungen zwischen allen Paaren von Punkten schätzen, deren es n (n-1)/2 gibt, dann das Paar mit der kleinsten Entfernung aufpickt. Dieser Algorithmus der rohen Gewalt nimmt O (n) Zeit; d. h. seine Ausführungszeit ist zum Quadrat der Zahl von Punkten proportional. Ein Klassiker läuft auf rechenbetonte Geometrie hinaus war die Formulierung eines Algorithmus, der O nimmt (n, loggen n). Algorithmen von Randomized, die O (n) erwartete Zeit nehmen, sowie ein deterministischer Algorithmus, der O nimmt (n Klotz loggen n), Zeit, sind auch entdeckt worden.

Rechenbetonte Geometrie konzentriert sich schwer auf die rechenbetonte Kompliziertheit, da die Algorithmen gemeint werden, um auf sehr großem datasets verwendet zu werden, der Zehnen oder Hunderte von Millionen von Punkten enthält. Für große Dateien kann der Unterschied zwischen O (n) und O (n loggen n), der Unterschied zwischen Tagen und Sekunden der Berechnung sein.

Problem-Klassen

Die Kernprobleme in der rechenbetonten Geometrie können unterschiedlich gemäß verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Die folgenden allgemeinen Klassen können bemerkenswert sein.

Statische Probleme

In den Problemen dieser Kategorie wird ein Eingang gegeben, und die entsprechende Produktion muss gebaut oder gefunden werden. Einige grundsätzliche Probleme dieses Typs sind:

• Konvexer Rumpf: In Anbetracht einer Reihe von Punkten, finden Sie das kleinste konvexe Polyeder/Vieleck, das alle Punkte enthält.
• Liniensegment-Kreuzung: Finden Sie die Kreuzungen zwischen einem gegebenen Satz von Liniensegmenten.
• Triangulation von Delaunay
• Diagramm von Voronoi: In Anbetracht einer Reihe von Punkten, verteilen Sie den Raum, gemäß denen Punkten an den gegebenen Punkten am nächsten ist.
• Geradlinige Programmierung
• Nächstes Paar von Punkten: In Anbetracht einer Reihe von Punkten, finden Sie die zwei mit der kleinsten Entfernung von einander.
• Euklidischer kürzester Pfad: Verbinden Sie zwei Punkte in einem Euklidischen Raum (mit polyedrischen Hindernissen) durch einen kürzesten Pfad.
• Vieleck-Triangulation: In Anbetracht eines Vielecks, verteilen Sie sein Interieur in Dreiecke
• Ineinandergreifen-Generation

Die rechenbetonte Kompliziertheit für diese Klasse von Problemen wird zu dieser Zeit und Raum (Computergedächtnis) erforderlich geschätzt, ein gegebenes Problem-Beispiel zu lösen.

Geometrische Anfragenprobleme

In geometrischen Anfragenproblemen, die allgemein als geometrische Suchprobleme bekannt sind, besteht der Eingang aus zwei Teilen: Der Suchraumteil und der Anfragenteil, der sich über die Problem-Beispiele ändert. Der Suchraum muss normalerweise in einer Weise vorbearbeitet werden, wie auf vielfache Abfragen effizient geantwortet werden kann.

Einige grundsätzliche geometrische Anfragenprobleme sind:

• Reihe-Suche: Vorbearbeiten Sie eine Reihe von Punkten, um die Zahl von Punkten innerhalb eines Anfragengebiets effizient aufzuzählen.
• Punkt-Position: In Anbetracht eines Verteilens des Raums in Zellen, erzeugen Sie eine Datenstruktur, die effizient erzählt, in der Zelle ein Anfragenpunkt gelegen wird.
• Nächster Nachbar: Vorbearbeiten Sie eine Reihe von Punkten, um effizient zu finden, welcher Punkt an einem Anfragenpunkt am nächsten ist.
• Strahlenaufzeichnung: In Anbetracht einer Reihe von Gegenständen im Raum, erzeugen Sie eine Datenstruktur, die effizient erzählt, welchen Gegenstand ein Anfragenstrahl zuerst durchschneidet.

Wenn der Suchraum befestigt wird, wird die rechenbetonte Kompliziertheit für diese Klasse von Problemen gewöhnlich geschätzt durch:

• die Zeit und Raum, die erforderlich ist, die in zu suchende Datenstruktur zu bauen
• die Zeit (und manchmal ein Extraraum), um auf Abfragen zu antworten.

Für den Fall, wenn dem Suchraum erlaubt wird sich zu ändern, sieh "Dynamische Probleme".

Dynamische Probleme

Und doch ist eine andere Hauptklasse die dynamischen Probleme, in denen die Absicht ist, einen effizienten Algorithmus zu finden, für eine Lösung wiederholt nach jeder zusätzlichen Modifizierung der Eingangsdaten zu finden (Hinzufügung oder Auswischen geometrische Elemente eingegeben hat). Algorithmen für Probleme dieses Typs schließen normalerweise dynamische Datenstrukturen ein. Einige der rechenbetonten geometrischen Probleme kann in ein dynamisches auf Kosten der vergrößerten Verarbeitungszeit umgewandelt werden. Zum Beispiel kann das Reihe-Suche-Problem ins dynamische Reihe-Suche-Problem durch das Sorgen für Hinzufügung und/oder Auswischen der Punkte umgewandelt werden. Das dynamische konvexe Rumpf-Problem ist, den konvexen Rumpf z.B für den sich dynamisch ändernden Satz von Punkten nachzugehen, d. h., während die Eingangspunkte eingefügt oder gelöscht werden.

Die rechenbetonte Kompliziertheit für diese Klasse von Problemen wird geschätzt durch:

die Zeit und Raum, die erforderlich ist, die in zu suchende Datenstruktur zu bauen

• die Zeit und Raum, um die gesuchte Datenstruktur nach einer zusätzlichen Änderung im Suchraum zu modifizieren
• die Zeit (und manchmal ein Extraraum), um auf eine Abfrage zu antworten.

Schwankungen

Einige Probleme können als das Gehören jeder der Kategorien abhängig vom Zusammenhang behandelt werden. Denken Sie zum Beispiel das folgende Problem.

• Punkt im Vieleck: Entscheiden Sie, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb eines gegebenen Vielecks ist.

In vielen Anwendungen wird dieses Problem als ein Einzelschuss-behandelt, d. h., der ersten Klasse gehörend. Zum Beispiel in vielen Anwendungen der Computergrafik ist ein häufiges Problem zu finden, auf welche das Gebiet auf dem Schirm durch einen Zeigestock geklickt wird. Jedoch in einigen Anwendungen ist das fragliche Vieleck invariant, während der Punkt eine Abfrage vertritt. Zum Beispiel kann das Eingangsvieleck eine Grenze eines Landes vertreten, und ein Punkt ist eine Position eines Flugzeuges, und das Problem ist zu bestimmen, ob das Flugzeug die Grenze verletzt hat. Schließlich, im vorher erwähnten Beispiel der Computergrafik, in CAD-Anwendungen werden die sich ändernden Eingangsdaten häufig in dynamischen Datenstrukturen versorgt, die zur Beschleunigung die Abfragen des Punkts im Vieleck ausgenutzt werden können.

In einigen Zusammenhängen von Anfragenproblemen gibt es angemessene Erwartungen auf der Folge der Abfragen, die entweder für effiziente Datenstrukturen oder für dichtere rechenbetonte Kompliziertheitsschätzungen ausgenutzt werden können. Zum Beispiel in einigen Fällen ist es wichtig, den Grenzfall für die Gesamtzeit für die ganze Folge von N-Abfragen, aber nicht für eine einzelne Abfrage zu wissen. Siehe auch "amortisierte Analyse".

Numerische rechenbetonte Geometrie

Dieser Zweig ist auch bekannt als das geometrische Modellieren und computergestützte geometrische Design (CAGD).

Kernprobleme sind Kurve und das Oberflächenmodellieren und die Darstellung.

Die wichtigsten Instrumente hier sind parametrische Kurven und parametrische Oberflächen, wie Bezierkurven, Spline-Kurven und Oberflächen. Eine wichtige nichtparametrische Annäherung ist die Niveau-Satz-Methode.

Anwendungsgebiete schließen Schiffsbau, Flugzeug und Automobilindustrien ein. Die moderne Allgegenwart und Macht von Computern bedeuten, dass sogar Parfüm-Flaschen und Shampoo-Automaten mit Techniken entworfen werden, die von von Schiffsbaumeistern der 1960er Jahre unerhört sind.

Siehe auch

• Liste von kombinatorischen rechenbetonten Geometrie-Themen
• Liste von numerischen rechenbetonten Geometrie-Themen
• CAD/CAM/CAE
• Robotertechnik
• Das feste Modellieren
• Rechenbetonte Topologie
• Digitalgeometrie
• Getrennte Geometrie (kombinatorische Geometrie)
• Raum, der verteilt
• Zahl von Tricomplex

Weiterführende Literatur

• Liste von Büchern in der rechenbetonten Geometrie

Zeitschriften

Kombinatorische/algorithmische rechenbetonte Geometrie

Unten ist die Liste der Hauptzeitschriften, die Forschung in geometrischen Algorithmen veröffentlicht haben. Bemerken Sie bitte mit dem Äußeren von Zeitschriften, die spezifisch der rechenbetonten Geometrie, dem Anteil von geometrischen Veröffentlichungen in der Mehrzweckinformatik und verminderten Computergrafik-Zeitschriften gewidmet sind.

• ACM Rechenüberblicke
• ACM Transaktionen auf der Grafik
• Acta Informatica
• Fortschritte in der Geometrie
• Algorithmica
• Ars Combinatoria
• Kommunikationen des ACM
• Computer geholfenes geometrisches Design
• Computergrafik und Anwendungen
• Computergrafik-Welt
• Getrennte & Rechenbetonte Geometrie
• Geombinatorics
• Geometriae Dedicata
• IEEE Transaktionen auf der Grafik
• IEEE Transaktionen auf Computern
• IEEE Transaktionen auf der Muster-Analyse- und Maschinenintelligenz
• Informationsverarbeitungsbriefe
• Internationale Zeitschrift der rechenbetonten Geometrie und Anwendungen
• Internationale Zeitschrift der Differenzialgeometrie
• Zeitschrift der Kombinatorischen Theorie, Reihe B
• Zeitschrift der rechenbetonten Geometrie
• Zeitschrift des ACM
• Zeitschrift von Algorithmen
• Zeitschrift von Computer- und Systemwissenschaften
• Verwaltungswissenschaft
• Muster-Anerkennung
• Muster-Anerkennungsbriefe
• SIAM Zeitschrift bei der Computerwissenschaft
• SIGACT Nachrichten; gezeigt die "Rechenbetonte Geometrie-Säule" von Joseph O'Rourke
• Theoretische Informatik
• Der Sehcomputer

Außenverbindungen

• Rechenbetonte Geometrie
• Rechenbetonte Geometrie-Seiten
• Geometrie in der Handlung
• "Strategische Richtungen in der rechenbetonten Geometrie — Arbeitsgruppe-Bericht" (1996)

Zeitschrift der rechenbetonten Geometrie