Der Filter von Kalman, auch bekannt als die geradlinige quadratische Bewertung (LQE), sind ein Algorithmus, der eine Reihe von Maßen beobachtet mit der Zeit verwendet, Geräusch (zufällige Schwankungen) und andere Ungenauigkeiten enthaltend, und Schätzungen von unbekannten Variablen erzeugt, die dazu neigen, genauer zu sein, als diejenigen, die auf einem einzelnen Maß allein basieren würden. Mehr formell funktioniert der Filter von Kalman rekursiv auf Strömen von lauten Eingangsdaten, um eine statistisch optimale Schätzung des zu Grunde liegenden Systemstaates zu erzeugen. Der Filter wird für Rudolf (Rudy) E. Kálmán, einen der primären Entwickler seiner Theorie genannt.

Der Filter von Kalman hat zahlreiche Anwendungen in der Technologie. Eine allgemeine Anwendung ist für die Leitung, Navigation und Kontrolle von Fahrzeugen, besonders Flugzeug und Raumfahrzeug. Außerdem ist der Filter von Kalman ein weit angewandtes Konzept in der Zeitreihe econometrics.

Der Algorithmus arbeitet in einem Zweipunktprozess: Im Vorhersageschritt erzeugt der Filter von Kalman Schätzungen der aktuellen Zustandsgrößen zusammen mit ihren Unklarheiten. Sobald das Ergebnis des folgenden Maßes (notwendigerweise verdorben mit einem Betrag des Fehlers, einschließlich des zufälligen Geräusches) beobachtet wird, werden diese Schätzungen mit einem gewogenen Mittelwert mit mehr Gewicht aktualisiert, das Schätzungen mit der höheren Gewissheit wird gibt. Wegen der rekursiven Natur des Algorithmus kann es in Realtime das Verwenden nur die gegenwärtigen Eingangsmaße und der vorher berechnete Staat führen; keine zusätzliche vorige Information ist erforderlich.

Von einer theoretischen Einstellung ist die Hauptannahme des Filters von Kalman, dass das zu Grunde liegende System ein geradliniges dynamisches System ist, und dass alle Fehlerbegriffe und Maße einen Vertrieb von Gaussian (häufig ein multivariate Vertrieb von Gaussian) haben. Erweiterungen und Generalisationen zur Methode sind auch, wie der Verlängerte Filter von Kalman und der Parfümfreie Filter von Kalman entwickelt worden, die an nichtlinearen Systemen arbeiten. Das zu Grunde liegende Modell ist ein Modell von Bayesian, das einem verborgenen Modell von Markov ähnlich ist, aber wo der Zustandraum der latenten Variablen dauernd ist, und wo alle latenten und beobachteten Variablen Vertrieb von Gaussian haben.

Das Namengeben und historische Entwicklung

Der Filter wird nach ungarischem émigré Rudolf E. Kálmán genannt, obwohl Thorvald Nicolai Thiele und Peter Swerling einen ähnlichen Algorithmus früher entwickelt haben. Richard S. Bucy von der Universität des Südlichen Kaliforniens hat zur Theorie beigetragen, dazu führend, häufig den Filter von Kalman-Bucy genannt zu werden.

Stanley F. Schmidt wird allgemein das Entwickeln der ersten Durchführung eines Filters von Kalman zugeschrieben. Es war während eines Besuchs durch Kalman zur NASA Forschungszentrum von Ames, dass er die Anwendbarkeit seiner Ideen zum Problem der Schussbahn-Bewertung für das Programm von Apollo gesehen hat, zu seiner Integration im Navigationscomputer von Apollo führend.

Dieser Filter von Kalman wurde zuerst beschrieben und hat sich teilweise in technischen Vorträgen von Swerling (1958), Kalman (1960) und Kalman und Bucy (1961) entwickelt.

Filter von Kalman sind in der Durchführung der Navigationssysteme von amerikanischen Marinekernunterseebooten der ballistischen Rakete, und in der Leitung und den Navigationssystemen von Marschflugkörpern wie die Kriegsbeil-Rakete der amerikanischen Marine und die Luft der amerikanischen Luftwaffe Gestarteter Marschflugkörper lebenswichtig gewesen. Es wird auch in der Leitung und den Navigationssystemen von Raumfähre von NASA und der Einstellungskontrolle und den Navigationssystemen der Internationalen Raumstation verwendet.

Dieser Digitalfilter wird manchmal den Stratonovich-Kalman-Bucy Filter genannt, weil es ein spezieller Fall eines allgemeineren, nichtlinearen Filters entwickelt etwas früher vom sowjetischen Mathematiker Ruslan L. Stratonovich ist. Tatsächlich, etwas vom speziellen Fall die Gleichungen des geradlinigen Filters sind in diesen Vorträgen von Stratonovich erschienen, die vor dem Sommer 1960 veröffentlicht wurden, als sich Kalman mit Stratonovich während einer Konferenz in Moskau getroffen hat.

Übersicht der Berechnung

Der Filter von Kalman verwendet ein Dynamik-Modell eines Systems (z.B, physische Gesetze der Bewegung), bekannte Kontrolleingänge zu diesem System und vielfache folgende Maße (solcher als von Sensoren), um eine Schätzung der unterschiedlichen Mengen des Systems zu bilden (sein Staat), der besser ist als die erhaltene Schätzung durch das Verwenden irgendwelchen Maßes allein. Als solcher ist es eine allgemeine Sensorfusion und Datenfusionsalgorithmus.

Alle Maße und auf Modellen gestützte Berechnungen sind Schätzungen zu einem gewissen Grad. Laute Sensordaten, Annäherungen in den Gleichungen, die beschreiben, wie sich ein System, und Außenfaktoren ändert, die nicht verantwortlich gewesen werden, führen etwas Unklarheit über die abgeleiteten Werte für einen Staat eines Systems ein. Der Filter von Kalman beträgt eine Vorhersage eines Staates eines Systems mit einem neuen Maß mit einem gewogenen Mittelwert im Durchschnitt. Der Zweck der Gewichte besteht darin, dass Werte mit besser (d. h., kleiner) geschätzte Unklarheit mehr "vertraut" werden. Die Gewichte werden von der Kovarianz, einem Maß der geschätzten Unklarheit der Vorhersage des Staates des Systems berechnet. Das Ergebnis des gewogenen Mittelwertes ist eine neue Zustandschätzung, die zwischen dem vorausgesagten und gemessenen Staat liegt, und eine bessere geschätzte Unklarheit hat als irgendein allein. Dieser Prozess wird jeder Zeitsprung, mit der neuen Schätzung und seiner Kovarianz wiederholt, die die in der folgenden Wiederholung verwendete Vorhersage informiert. Das bedeutet, dass der Filter von Kalman rekursiv arbeitet und verlangt, dass nur die letzte "beste Annahme" — nicht die komplette Geschichte — von einem Staat eines Systems einen neuen Staat berechnet.

Weil die Gewissheit der Maße häufig schwierig ist, genau zu messen, ist es üblich, das Verhalten des Filters in Bezug auf den Gewinn zu besprechen. Der Gewinn von Kalman ist eine Funktion der Verhältnisgewissheit der Maße und aktuellen Zustandschätzung und kann "abgestimmt" werden, um besondere Leistung zu erreichen. Mit einem hohen Gewinn legt der Filter mehr Gewicht auf den Maßen, und folgt ihnen so näher. Mit einem niedrigen Gewinn folgt der Filter den Mustervorhersagen näher, Geräusch wegräumend, aber die Ansprechbarkeit vermindernd. An den Extremen, einem Gewinn von veranlasst man den Filter, die Zustandschätzung völlig zu ignorieren, während ein Gewinn der Null die Maße veranlasst, ignoriert zu werden.

Wenn

man die wirklichen Berechnungen für den Filter (wie besprochen, unten) durchführt, werden die Zustandschätzung und Kovarianzen in matrices codiert, um die vielfachen an einem einzelnen Satz von Berechnungen beteiligten Dimensionen zu behandeln. Das berücksichtigt Darstellung von geradlinigen Beziehungen zwischen verschiedenen Zustandsgrößen (wie Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung) in einigen der Übergang-Modelle oder Kovarianzen.

Beispiel-Anwendung

Als eine Beispiel-Anwendung, denken Sie das Problem, die genaue Position eines Lastwagens zu bestimmen. Der Lastwagen kann mit einer GPS Einheit ausgestattet werden, die eine Schätzung der Position innerhalb von einigen Metern zur Verfügung stellt. Die GPS-Schätzung wird wahrscheinlich laut sein; Lesungen 'springen ringsherum' schnell, obwohl, immer innerhalb von einigen Metern der echten Position bleibend. Die Position des Lastwagens kann auch durch die Integrierung seiner Geschwindigkeit und Richtung mit der Zeit geschätzt, durch das Nachgehen Radrevolutionen und den Winkel des Steuerrades bestimmt werden. Das ist eine als Koppeln bekannte Technik. Gewöhnlich wird Koppeln eine sehr glatte Schätzung der Position des Lastwagens zur Verfügung stellen, aber es wird mit der Zeit treiben, weil kleine Fehler anwachsen. Zusätzlich, wie man erwartet, folgt der Lastwagen den Gesetzen der Physik, so, wie man erwarten sollte, ändert sich seine Position proportional zu seiner Geschwindigkeit.

In diesem Beispiel kann vom Filter von Kalman als funktionierend in zwei verschiedenen Phasen gedacht werden: Sagen Sie voraus und aktualisieren Sie. In der Vorhersagephase wird die alte Position des Lastwagens gemäß den physischen Gesetzen der Bewegung (der dynamische oder "Zustandübergang" Modell) plus irgendwelche Änderungen modifiziert, die durch das Gaspedal-Pedal und Steuerrad erzeugt sind. Nicht nur wird eine neue Position schätzen berechnet zu werden, aber eine neue Kovarianz wird ebenso berechnet. Vielleicht ist die Kovarianz zur Geschwindigkeit des Lastwagens proportional, weil wir über die Genauigkeit der Koppeln-Schätzung mit hohen Geschwindigkeiten unsicherer, aber in der Position sehr sicher sind, wenn wir uns langsam bewegen. Dann in der Aktualisierungsphase wird ein Maß der Position des Lastwagens von der GPS Einheit genommen. Zusammen mit diesem Maß kommt ein Betrag der Unklarheit, und seine Kovarianz hinsichtlich dieser der Vorhersage von der vorherigen Phase bestimmt, wie viel das neue Maß die aktualisierte Vorhersage betreffen wird. Ideal, wenn die Koppeln-Schätzungen dazu neigen, weg von der echten Position zu treiben, sollte das GPS Maß die Positionsschätzung zur echten Position zurückziehen, aber sie zum Punkt des Werdens nicht stören, das sich schnell ändert und laut.

Technische Beschreibung und Zusammenhang

Der Filter von Kalman ist ein effizienter rekursiver Filter, der den inneren Staat eines geradlinigen dynamischen Systems von einer Reihe von lauten Maßen schätzt. Es wird in einer breiten Reihe der Technik und econometric Anwendungen von der Radar- und Computervision bis Bewertung von gesamtwirtschaftlichen Strukturmodellen verwendet, und ist ein wichtiges Thema in der Steuerungstheorie und Regelsystem-Technik. Zusammen mit dem geradlinig-quadratischen Gangregler (LQR) behebt der Filter von Kalman das Linear-Quadratic-Gaussian-Kontrollproblem (LQG). Der Filter von Kalman, der geradlinig-quadratische Gangregler und der linear-quadratic-Gaussian Kontrolleur sind Lösungen dessen, was wohl die grundsätzlichsten Probleme in der Steuerungstheorie ist.

In den meisten Anwendungen ist der innere Staat (mehr Grade der Freiheit) viel größer als die wenigen "erkennbaren" Rahmen, die gemessen werden. Jedoch, durch das Kombinieren einer Reihe von Maßen, kann der Filter von Kalman den kompletten inneren Staat schätzen.

In der Dempster-Shafer Theorie, jeder Zustandgleichung oder Beobachtung wird in Betracht gezogen ein spezieller Fall einer Geradlinigen Glaube-Funktion und des Filters von Kalman ist ein spezieller Fall, geradlinige Glaube-Funktionen auf einem Anschließen-Baum oder Baum von Markov zu verbinden.

Ein großes Angebot an Filtern von Kalman ist jetzt, von der ursprünglichen Formulierung von Kalman, jetzt genannt den "einfachen" Filter von Kalman, den Filter von Kalman-Bucy, "den verlängerten" Filter von Schmidt, den Informationsfilter und eine Vielfalt von "Quadratwurzel"-Filtern entwickelt worden, die von Bierman, Thornton und vielen anderen entwickelt wurden. Vielleicht ist der meistens verwendete Typ des sehr einfachen Filters von Kalman die phasenstarre Schleife, die jetzt in Radios, besonders Radios der Frequenzmodulation (FM), Fernsehern, Satellitenverkehr-Empfängern, Weltraum-Kommunikationssystemen und fast jeder anderen elektronischen Kommunikationsausrüstung allgegenwärtig ist.

Zu Grunde liegendes dynamisches Systemmodell

Die Filter von Kalman basieren auf geradlinigen dynamischen Systemen discretized im Zeitabschnitt. Sie werden auf einer Kette von Markov modelliert hat auf geradlinige durch das Geräusch von Gaussian gestörte Maschinenbediener gebaut. Der Staat des Systems wird als ein Vektor von reellen Zahlen vertreten. An jeder Zunahme der diskreten Zeit wird ein geradliniger Maschinenbediener auf den Staat angewandt, um den neuen Staat mit einem Geräusch zu erzeugen, das in, und fakultativ etwas Information von den Steuerungen auf dem System gemischt ist, wenn sie bekannt sind. Dann erzeugt ein anderer geradliniger mit mehr Geräusch gemischter Maschinenbediener die beobachteten Produktionen vom wahren ("verborgenen") Staat. Der Filter von Kalman kann als analog dem verborgenen Modell von Markov mit dem Schlüsselunterschied betrachtet werden, dass die verborgenen Zustandsgrößen Werte in einem dauernden Raum (im Vergleich mit einem getrennten Zustandraum als im verborgenen Modell von Markov) nehmen. Zusätzlich kann das verborgene Modell von Markov einen willkürlichen Vertrieb für den folgenden Wert der Zustandsgrößen im Gegensatz zum Geräuschmodell von Gaussian vertreten, das für den Filter von Kalman verwendet wird. Es gibt eine starke Dualität zwischen den Gleichungen des Filters von Kalman und denjenigen des verborgenen Modells von Markov. Eine Rezension davon und anderen Modellen wird in Roweis und Ghahramani (1999) und Hamilton (1994), Kapitel 13 gegeben.

Um den Filter von Kalman zu verwenden, um den inneren Staat eines Prozesses gegeben nur eine Folge von lauten Beobachtungen zu schätzen, muss man den Prozess in Übereinstimmung mit dem Fachwerk des Filters von Kalman modellieren. Das bedeutet, den folgenden matrices anzugeben: F, das Zustandübergang-Modell; H, das Beobachtungsmodell; Q, die Kovarianz des Prozess-Geräusches; R, die Kovarianz des Beobachtungsgeräusches; und manchmal B, das Kontrolleingangsmodell, für jeden Zeitsprung, k, wie beschrieben, unten.

Das Filtermodell von Kalman nimmt an, dass der wahre Staat in der Zeit k vom Staat daran entwickelt wird (k − 1) gemäß

:

wo

• F ist das Zustandübergang-Modell, das auf den vorherigen Staat x angewandt wird;
• B ist das Kontrolleingangsmodell, das auf den Kontrollvektoren u angewandt wird;
• w ist das Prozess-Geräusch, das, wie man annimmt, von der multivariate Mittelnormalverteilung einer Null mit der Kovarianz Q gezogen wird.

:

In der Zeit k eine Beobachtung (oder Maß) z des wahren Staates wird x gemäß gemacht

:

wo H das Beobachtungsmodell ist, das den wahren Zustandraum in den beobachteten Raum kartografisch darstellt und v das Beobachtungsgeräusch ist, das, wie man annimmt, Null bösartig Gaussian weißes Geräusch mit der Kovarianz R ist.

:

Der anfängliche Staat und die Geräuschvektoren an jedem Schritt {x, w..., w, v... v\werden alle angenommen, gegenseitig unabhängig zu sein.

Viele echte dynamische Systeme passen dieses Modell nicht genau. Tatsächlich kann unmodellierte Dynamik die Filterleistung ernstlich erniedrigen, selbst wenn es mit unbekannten stochastischen Signalen als Eingänge hat arbeiten sollen. Der Grund dafür besteht darin, dass die Wirkung der unmodellierten Dynamik vom Eingang abhängt, und deshalb den Bewertungsalgorithmus zur Instabilität bringen kann (es weicht ab). Andererseits werden unabhängige weiße Geräuschsignale den Algorithmus nicht abweichen lassen. Das Problem des Trennens zwischen dem Maß ist unmodellierte und Geräuschdynamik eine schwierige und wird in der Steuerungstheorie unter dem Fachwerk der robusten Kontrolle behandelt.

Der Filter von Kalman

Der Filter von Kalman ist ein rekursiver Vorkalkulator. Das bedeutet, dass nur der geschätzte Staat vom vorherigen Zeitsprung und dem aktuellen Maß erforderlich ist, um die Schätzung für den aktuellen Staat zu schätzen. Im Gegensatz zu Gruppe-Bewertungstechniken ist keine Geschichte von Beobachtungen und/oder Schätzungen erforderlich. Worin folgt, vertritt die Notation die Schätzung in der Zeit n gegeben Beobachtungen bis zu, und einschließlich in der Zeit M.

Der Staat des Filters wird durch zwei Variablen vertreten:

• , die a posteriori staatliche Schätzung in der Zeit k gegeben Beobachtungen bis zu und einschließlich in der Zeit k;
• , a posteriori Fehlerkovarianz-Matrix (ein Maß der geschätzten Genauigkeit der Zustandschätzung).

Der Filter von Kalman kann als eine einzelne Gleichung geschrieben werden, jedoch wird er meistenteils als zwei verschiedene Phasen begrifflich gefasst: "Sagen Sie voraus" und "Aktualisierung". Die voraussagen Phase verwendet die Zustandschätzung vom vorherigen timestep, um eine Schätzung des Staates am Strom timestep zu erzeugen. Diese vorausgesagte Zustandschätzung ist auch bekannt als die a priori Zustandschätzung, weil, obwohl es eine Schätzung des Staates am Strom timestep ist, es Beobachtungsinformation vom Strom timestep nicht einschließt. In der Aktualisierungsphase wird die aktuelle a priori Vorhersage mit der aktuellen Beobachtungsinformation verbunden, um die Zustandschätzung zu raffinieren. Diese verbesserte Schätzung wird die a posteriori staatliche Schätzung genannt.

Gewöhnlich der zwei Phase-Stellvertreter, mit der Vorhersage, die den Staat bis zur folgenden vorgesehenen Beobachtung und der Aktualisierung vorbringt, die die Beobachtung vereinigt. Jedoch ist das nicht notwendig; wenn eine Beobachtung aus irgendeinem Grund nicht verfügbar ist, kann die Aktualisierung ausgelassen werden, und vielfache Vorhersageschritte durchgeführt. Ebenfalls, wenn vielfache unabhängige Beobachtungen zur gleichen Zeit verfügbar sind, können vielfache Aktualisierungsschritte (normalerweise mit der verschiedenen Beobachtung matrices H) durchgeführt werden.

Voraussagen

</td>

</tr>

Vorausgesagt schätzen (a priori) Kovarianz

</td></td></tr></Tisch>

Aktualisierung

\tilde {\\textbf {y}} _k = \textbf {z} _k - \textbf {H} _k\hat {\\textbf {x}} _ {k|k-1 }\

</Mathematik></td></tr></tr></tr></tr></tr></Tisch>

Die Formel für die aktualisierte Schätzung und Kovarianz ist nur oben für den optimalen Gewinn von Kalman gültig. Der Gebrauch anderer Gewinn-Werte verlangt eine kompliziertere in der Abstammungsabteilung gefundene Formel.

Invariants

Wenn das Modell, und die Werte dafür genau ist und widerspiegeln Sie genau den Vertrieb der anfänglichen Zustandwerte, dann werden die folgenden invariants bewahrt: (Alle Schätzungen haben einen Mittelfehler der Null)

wo der erwartete Wert ist, und Kovarianz matrices genau die Kovarianz von Schätzungen widerspiegelt

Bewertung der Geräuschkovarianzen Q und R

Die praktische Durchführung des Filters von Kalman ist häufig wegen der Unfähigkeit im Bekommen einer guten Schätzung der Geräuschkovarianz matrices Q und R schwierig. Umfassende Forschung ist in diesem Feld getan worden, um diese Kovarianzen von Daten zu schätzen. Eine der viel versprechenderen Annäherungen an das Tun davon wird die Technik von Autocovariance Least-Squares (ALS) genannt, die Autokovarianzen von alltäglichen Betriebsdaten verwendet, um die Kovarianzen zu schätzen. Der GNU-Oktave-Code hat gepflegt, die Geräuschkovarianz matrices zu berechnen, das Verwenden der ALS Technik ist online laut der GNU-Lizenzlizenz der Breiten Öffentlichkeit verfügbar.

Optimality und Leistung des Filters von Kalman

Es ist aus der Theorie bekannt, dass der Filter von Kalman optimal ist, im Falle dass das a) das Modell vergleicht vollkommen das echte System, b) das hereingehende Geräusch, ist weiß und c) die Kovarianzen des Geräusches, genau bekannt ist. Mehrere Methoden für die Geräuschkovarianz-Bewertung sind während letzter Jahrzehnte vorgeschlagen worden. ALS wird im vorherigen Paragrafen erwähnt. Nachdem die Kovarianzen identifiziert werden, ist es nützlich, die Leistung des Filters zu bewerten, d. h. ob es möglich ist, die Zustandbewertungsqualität zu verbessern, oder nicht. Es ist weithin bekannt, dass, wenn der Filter von Kalman optimal arbeitet, die Neuerungsfolge (der Produktionsvorhersagefehler) ein weißes Geräusch ist. Das Weiße-Eigentum widerspiegelt die Zustandbewertungsqualität. Für die Einschätzung die Filterleistung ist es notwendig, das Weiße-Eigentum der Neuerungen zu untersuchen. Mehrere verschiedene Methoden können für diesen Zweck verwendet werden. Drei Optimality-Tests mit numerischen Beispielen werden in Matisko und Havlena (2012) beschrieben.

Beispiel-Anwendung, technisch

Denken Sie einen Lastwagen auf vollkommen frictionless, ungeheuer lange gerade Schienen. Am Anfang ist der Lastwagen an der Position 0 stationär, aber es wird dieser Weg und das durch die zufällige Beschleunigung herumgestoßen. Wir messen die Position des Lastwagens jeder Δt Sekunden, aber diese Maße sind ungenau; wir wollen ein Modell dessen aufrechterhalten, wo der Lastwagen ist, und wie seine Geschwindigkeit ist. Wir zeigen hier, wie wir das Modell ableiten, von dem wir unseren Filter von Kalman schaffen.

Da F, H, R und Q unveränderlich sind, sind ihre Zeitindizes fallen gelassen.

Die Position und Geschwindigkeit des Lastwagens werden durch den geradlinigen Zustandraum beschrieben

:

wo die Geschwindigkeit, d. h. die Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit ist.

Wir nehmen das zwischen an (k &minus; 1) und erlebt k timestep der Lastwagen eine unveränderliche Beschleunigung, der normalerweise, mit bösartigem 0 und Standardabweichung σ verteilt wird. Aus Newtonschen Gesetzen der Bewegung schließen wir das

:

(bemerken Sie, dass es keinen Begriff gibt, da wir keine bekannten Kontrolleingänge haben), wo

:und:

so dass

:

wo und

:

Jedes Mal Schritt, ein lautes Maß der wahren Position des Lastwagens wird gemacht. Lassen Sie uns annehmen, dass das Maß-Geräusch v auch normalerweise, mit bösartigem 0 und Standardabweichung σ verteilt wird.

:wo:und:

Wir wissen den anfänglichen Startstaat des Lastwagens mit der vollkommenen Präzision, so initialisieren wir

:

und den Filter zu sagen, dass wir die genaue Position wissen, geben wir ihr eine Nullkovarianz-Matrix:

:

Wenn die anfängliche Position und Geschwindigkeit vollkommen nicht bekannt sind, sollte die Kovarianz-Matrix mit einer angemessen Vielzahl initialisiert werden, L auf seiner Diagonale sagen.

:

Der Filter wird dann die Information von den ersten Maßen über die Information bereits im Modell bevorzugen.

Abstammungen

Das Abstammen schätzt a posteriori Kovarianz-Matrix

Das Starten mit unserem invariant auf der Fehlerkovarianz P als über

:

Ersatz in der Definition von

:

und Ersatz

:

und

:

und indem wir die Fehlervektoren sammeln, bekommen wir

:

Seit dem Maß-Fehler ist v mit den anderen Begriffen unkorreliert, das wird

:

durch die Eigenschaften der Vektor-Kovarianz wird das

:

der, mit unserem invariant auf P und der Definition von R wird

:

(Ich - \textbf {K} _k \textbf {H} _ {k}) \textbf {P} _ {k|k-1} (Ich - \textbf {K} _k \textbf {H} _ {k}) ^\\Text {T} +

\textbf {K} _k \textbf {R} _k \textbf {K} _k^\\Text {T }\

</Mathematik>

Diese Formel (manchmal bekannt als die "Form von Joseph" der Kovarianz-Aktualisierungsgleichung) ist für jeden Wert von K gültig. Es stellt sich heraus, dass, wenn K der optimale Gewinn von Kalman ist, das, weiter wie gezeigt, unten vereinfacht werden kann.

Gewinn-Abstammung von Kalman

Der Filter von Kalman ist ein minimaler Mittelquadratfehlervorkalkulator. Der Fehler nach der a posteriori staatlichen Bewertung ist

:

Wir bemühen uns, den erwarteten Wert des Quadrats des Umfangs dieses Vektoren zu minimieren. Das ist zur Minderung der Spur a posteriori Schätzungskovarianz-Matrix gleichwertig. Indem wir die Begriffe in der Gleichung oben und dem Sammeln ausbreiten, kommen wir:

:

Die Spur wird minimiert, wenn die Matrixableitung Null ist:

:

Das Lösen davon für K gibt den Gewinn von Kalman nach:

::

Dieser Gewinn, der als der optimale Gewinn von Kalman bekannt ist, ist derjenige, der MMSE-Schätzungen, wenn verwendet, nachgibt.

Vereinfachung a posteriori Fehlerkovarianz-Formel

Die Formel hat gepflegt, a posteriori zu rechnen, Fehlerkovarianz kann vereinfacht werden, wenn der Gewinn von Kalman dem optimalen Wert gleichkommt, der oben abgeleitet ist. Das Multiplizieren beider Seiten unseres Kalmans gewinnt Formel rechts durch SK, hieraus folgt dass

:

Sich zurück auf unsere ausgebreitete Formel für a posteriori Fehlerkovarianz, beziehend

:

wir finden, dass sich die letzten zwei Begriffe aufheben, gebend

:

Diese Formel ist rechenbetont preiswerter und so fast immer in der Praxis verwendet, aber ist nur für den optimalen Gewinn richtig. Wenn arithmetische Präzision ungewöhnlich niedrig Probleme mit der numerischen Stabilität verursacht, oder wenn ein nichtoptimaler Gewinn von Kalman absichtlich verwendet wird, kann diese Vereinfachung nicht angewandt werden; a posteriori muss Fehlerkovarianz-Formel, wie abgeleitet, oben verwendet werden.

Empfindlichkeitsanalyse

Der Kalman, der Gleichungen filtert, stellt eine Schätzung des Staates und seiner Fehlerkovarianz rekursiv zur Verfügung. Die Schätzung und seine Qualität hängen von den Systemrahmen und der Geräuschstatistik gefüttert als Eingänge dem Vorkalkulatoren ab. Diese Abteilung analysiert die Wirkung von Unklarheiten in den statistischen Eingängen zum Filter. Ohne zuverlässige Statistik oder die wahren Werte der Geräuschkovarianz matrices und, der Ausdruck

:

nicht mehr stellt die wirkliche Fehlerkovarianz zur Verfügung. Mit anderen Worten. In Echtzeitanwendungen ist die Kovarianz matrices, die im Entwerfen des Filters von Kalman verwendet werden, von den wirklichen Geräuschkovarianzen matrices verschieden. Diese Empfindlichkeitsanalyse beschreibt das Verhalten der Bewertungsfehler-Kovarianz, wenn die Geräuschkovarianzen sowie das System matrices, und die als Eingänge zum Filter gefüttert werden, falsch sind. So beschreibt die Empfindlichkeitsanalyse die Robustheit (oder Empfindlichkeit) des Vorkalkulatoren zu misspecified statistischen und parametrischen Eingängen dem Vorkalkulatoren.

Diese Diskussion wird auf die Fehlerempfindlichkeitsanalyse für den Fall von statistischen Unklarheiten beschränkt. Hier werden die wirklichen Geräuschkovarianzen durch und beziehungsweise angezeigt, wohingegen die im Vorkalkulatoren verwendeten Designwerte sind und beziehungsweise. Die wirkliche Fehlerkovarianz wird dadurch angezeigt, und wie geschätzt, durch den Kalman wird der Filter die Variable von Riccati genannt. Wenn und das das bedeutet. Während die Computerwissenschaft des wirklichen Fehlerkovarianz-Verwendens, des Ersetzens für und des Verwendens der Tatsache dass und, auf die folgenden rekursiven Gleichungen hinausläuft für:

:: Während

• er durch das Design rechnet, nimmt der Filter implizit das an und.
• Die rekursiven Ausdrücke dafür und sind abgesehen von der Anwesenheit und im Platz der Designwerte und beziehungsweise identisch.

Quadratwurzel-Form

Ein Problem mit dem Filter von Kalman ist seine numerische Stabilität. Wenn die Prozess-Geräuschkovarianz Q klein, - vom Fehler rund ist, häufig veranlasst einen kleinen positiven eigenvalue, als eine negative Zahl geschätzt zu werden. Das macht die numerische Darstellung der Zustandkovarianz-Matrix P unbestimmt, während seine wahre Form positiv-bestimmt ist.

Positive bestimmte matrices haben das Eigentum, dass sie eine Dreiecksmatrixquadratwurzel P = S haben · S. Das kann effizient mit dem Algorithmus von Cholesky factorization geschätzt werden, aber wichtiger wenn die Kovarianz in dieser Form behalten wird, kann es eine negative Diagonale nie haben oder asymmetrisch werden. Eine gleichwertige Form, die viele der Quadratwurzel-Operationen vermeidet, die durch die Matrixquadratwurzel noch erforderlich sind, bewahrt die wünschenswerten numerischen Eigenschaften, ist die U-D Zergliederungsform, P = U · D · U, wo U eine Einheit ist, ist Dreiecksmatrix (mit der Einheitsdiagonale), und D eine Diagonalmatrix.

Zwischen den zwei verwendet U-D factorization denselben Betrag der Lagerung und etwas weniger Berechnung, und ist die meistens verwendete Quadratwurzel-Form. (Die frühe Literatur auf der Verhältnisleistungsfähigkeit ist etwas irreführend, weil es angenommen hat, dass Quadratwurzeln viel zeitraubender waren als Abteilungen, während auf 21. Jahrhundertcomputern sie nur ein bisschen teurer sind.)

Effiziente Algorithmen für die Vorhersage von Kalman und Aktualisierungsschritte in der Quadratwurzel-Form wurden von G. J. Bierman und C. L. Thornton entwickelt.

Der L · D · L Zergliederung der Neuerungskovarianz-Matrix ist S die Basis für einen anderen Typ des numerisch effizienten und robusten Quadratwurzel-Filters. Der Algorithmus fängt mit der LU Zergliederung, wie durchgeführt, im Geradlinigen Algebra-PAKET (LAPACK) an. Diese Ergebnisse sind weiter factored in den L · D · L Struktur mit Methoden, die von Golub und Van Loan (Algorithmus 4.1.2) für eine symmetrische nichtsinguläre Matrix gegeben sind. Jede einzigartige Kovarianz-Matrix wird drehbar gelagert, so dass die erste diagonale Teilung nichtsingulär und gut bedingt ist. Der sich drehende Algorithmus muss jeden Teil der Neuerungskovarianz-Matrix direkt entsprechend beobachteten Zustandsgrößen H behalten · x, die mit Hilfsbeobachtungen in vereinigt werden

y. Der L · D · L Quadratwurzel-Filter verlangt orthogonalization des Beobachtungsvektoren. Das kann mit der umgekehrten Quadratwurzel der Kovarianz-Matrix für die Hilfsvariable-Verwenden-Methode 2 in Higham getan werden (2002, p. 263).

Beziehung zur rekursiven Bewertung von Bayesian

Wie man

betrachten kann, ist der Filter von Kalman eines der einfachsten dynamischen Netze von Bayesian. Der Filter von Kalman berechnet Schätzungen der wahren Werte von Maßen rekursiv mit der Zeit das Verwenden eingehender Maße und eines mathematischen Prozessmodells. Ähnlich berechnet rekursive Bewertung von Bayesian Schätzungen einer unbekannten Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (PDF) rekursiv mit der Zeit das Verwenden eingehender Maße und eines mathematischen Prozessmodells.

Nach der rekursiven Bewertung von Bayesian, wie man annimmt, ist der wahre Staat ein unbemerkter Prozess von Markov, und die Maße sind die beobachteten Staaten eines verborgenen Modells von Markov (HMM).

Wegen der Annahme von Markov ist der wahre Staat aller früheren Staaten gegeben der sofort vorherige Staat bedingt unabhängig.

:

Ähnlich ist das Maß am k-th timestep nur auf den aktuellen Staat abhängig und ist aller anderen Staaten gegeben der aktuelle Staat bedingt unabhängig.

:

Mit diesen Annahmen kann der Wahrscheinlichkeitsvertrieb über alle Staaten des verborgenen Modells von Markov einfach als geschrieben werden:

:

Jedoch, wenn der Filter von Kalman verwendet wird, um den Staat x zu schätzen, besteht der Wahrscheinlichkeitsvertrieb von Interesse darin, der mit den aktuellen Staaten verkehrt hat, die auf den Maßen bis zum Strom timestep bedingt sind. Das wird durch das Marginalisieren der vorherigen Staaten und das Teilen durch die Wahrscheinlichkeit des Maß-Satzes erreicht.

Das führt zu den Voraussagen- und Aktualisierungsschritten des Filters von Kalman schriftlicher probabilistically. Der mit dem vorausgesagten Staat vereinigte Wahrscheinlichkeitsvertrieb ist die Summe, die der Produkte des Wahrscheinlichkeitsvertriebs (integriert) ist, der mit dem Übergang von (k - 1)-th timestep zum k-th und dem Wahrscheinlichkeitsvertrieb vereinigt ist, der mit dem vorherigen Staat, über alle vereinigt ist, möglich.

:

Das Maß, das zur Zeit t aufgestellt ist, ist

:

Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Aktualisierung ist zum Produkt der Maß-Wahrscheinlichkeit und des vorausgesagten Staates proportional.

:

Der Nenner

:

ist ein Normalisierungsbegriff.

Die restlichen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen sind

:::

Bemerken Sie, dass, wie man induktiv annimmt, der PDF am vorherigen timestep der geschätzte Staat und die Kovarianz ist. Das wird gerechtfertigt, weil, als ein optimaler Vorkalkulator macht der Filter von Kalman besten Gebrauch der Maße, deshalb der PDF für den gegebenen, die Maße sind die Filterschätzung von Kalman.

Informationsfilter

Im Informationsfilter oder umgekehrtem Kovarianz-Filter werden die geschätzte Kovarianz und der geschätzte Staat durch die Informationsmatrix und den Informationsvektoren beziehungsweise ersetzt. Diese werden als definiert:

::

Ähnlich haben die vorausgesagte Kovarianz und der Staat gleichwertige Informationsformen, definiert als:

::

wie die Maß-Kovarianz und den Maß-Vektoren haben, die als definiert werden:

::

Die Informationsaktualisierung wird jetzt eine triviale Summe.

::

Der Hauptvorteil des Informationsfilters besteht darin, dass N Maße an jedem timestep einfach durch das Summieren ihrer Information matrices und Vektoren gefiltert werden können.

::

Um die Information vorauszusagen, filtern die Informationsmatrix, und Vektor kann zurück zu ihren Zustandraumentsprechungen umgewandelt werden, oder wechselweise kann die Informationsraumvorhersage verwendet werden.

:

[\textbf {F} _ {k} ^ {-1}] ^ {\\Text {T}} \textbf {Y} _ {k-1|k-1} \textbf {F} _ {k} ^ {-1} </Mathematik>

:

\textbf {M} _ {k} [\textbf {M} _ {k} + \textbf {Q} _ {k} ^ {-1}] ^ {-1} </Mathematik>

:

I - \textbf {C} _ {k} </Mathematik>

:

\textbf {L} _ {k} \textbf {M} _ {k} \textbf {L} _ {k} ^ {\\Text {T}} +

\textbf {C} _ {k} \textbf {Q} _ {k} ^ {-1} \textbf {C} _ {k} ^ {\\Text {T}} </Mathematik>

:

\textbf {L} _ {k} [\textbf {F} _ {k} ^ {-1}] ^ {\\Text {T} }\\Hut {\\textbf {y}} _ {k-1|k-1} </Mathematik>

Bemerken Sie, dass, wenn F und Q Zeit invariant diese Werte sind, versteckt werden kann. Bemerken Sie auch, dass F und Q invertible sein müssen.

Glatterer fester Zeitabstand

Der optimale glattere feste Zeitabstand stellt die optimale Schätzung seit einem gegebenen festen Zeitabstand mit den Maßen von dazu zur Verfügung. Es kann mit der vorherigen Theorie über einen vermehrten Staat abgeleitet werden, und die Hauptgleichung des Filters ist der folgende:

:

\begin {bmatrix }\

\hat {\\textbf {x}} _ {t|t} \\

\hat {\\textbf {x}} _ {t-1|t} \\

\vdots \\

\hat {\\textbf {x}} _ {t-N+1|t} \\

\end {bmatrix }\

=

\begin {bmatrix }\

Ich \\

0 \\

\vdots \\ 0 \\ \end {bmatrix }\

\hat {\\textbf {x}} _ {t|t-1 }\

+

\begin {bmatrix }\

0 & \ldots & 0 \\

I & 0 & \vdots \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \ldots & I \\

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

\hat {\\textbf {x}} _ {t-1|t-1} \\

\hat {\\textbf {x}} _ {t-2|t-1} \\

\vdots \\

\hat {\\textbf {x}} _ {t-N+1|t-1} \\

\end {bmatrix }\ + \begin {bmatrix }\

K^ {(0)} \\

K^ {(1)} \\

\vdots \\

K^ {(N-1)} \\

\end {bmatrix }\

y_ {t|t-1 }\

</Mathematik>

wo:

• wird über einen Standard Filter von Kalman geschätzt;

• ist das erzeugte Betrachten der Neuerung der Schätzung des Standards Filter von Kalman;
• die verschiedenen damit sind neue Variablen, d. h. sie erscheinen im Standard Filter von Kalman nicht;
• die Gewinne werden über das folgende Schema geschätzt:

::

K^ {(i)} =

P^ {(i)} H^ {T }\

\left [

H P H^ {T} + R

\right] ^ {-1 }\

</Mathematik>

:and

::

P^ {(i)} =

P

\left [

\left [

F - K H

\right] ^ {T }\

\right] ^ {ich }\

</Mathematik>

:where und sind die Vorhersagefehlerkovarianz und die Gewinne des Standards Filter von Kalman (d. h.,).

Wenn die Bewertungsfehler-Kovarianz so dass definiert wird

:

P_ {ich}: =

E

\left [

\left (

\textbf {x} _ {t-i} - \hat {\\textbf {x}} _ {t-i|t }\

\right) ^ {* }\

\left ( \textbf {x} _ {t-i} - \hat {\\textbf {x}} _ {t-i|t }\

\right)

|

z_ {1} \ldots z_ {t }\

\right],

</Mathematik>

dann haben wir das durch die Verbesserung auf der Bewertung dessen wird gegeben:

:

P - P_ {ich} =

\sum_ {j = 0} ^ {ich }\

\left [

P^ {(j)} H^ {T }\

\left [ H P H^ {T} + R

\right] ^ {-1 }\

H \left (P^ {(i)} \right) ^ {T }\

\right]

</Mathematik>

Fester Zwischenraum smoothers

Der optimale glattere feste Zwischenraum stellt die optimale Schätzung dessen zur Verfügung (

Rauch-Tung-Striebel

Glatterer Rauch-Tung-Striebel (RTS) ist ein effizienter Zwei-Pässe-Algorithmus für das feste Zwischenraum-Glanzschleifen.

Die Hauptgleichungen des glatteren sind das folgende (das Annehmen):

• schicken Sie Pass nach: regelmäßiger Filteralgorithmus von Kalman
• rückwärts gerichteter Pass:

, wo

Modifizierter glatterer Bryson-Frazier

Eine Alternative zum RTS Algorithmus ist befestigter Zwischenraum des modifizierten Brysons-Fraziers (MBF) glatter entwickelt von Bierman. Das verwendet auch einen rückwärts gerichteten Pass, der Daten bearbeitet, die vom Filter von Kalman Vorwärtspass gespart sind. Die Gleichungen für den rückwärts gerichteten Pass schließen den rekursiven ein

die Berechnung von Daten, die in jedem Beobachtungsmal verwendet werden, um den geglätteten Staat und die Kovarianz zu schätzen.

Die rekursiven Gleichungen sind

::::::

wo die restliche Kovarianz ist und. Der geglättete Staat und die Kovarianz können dann durch den Ersatz in den Gleichungen gefunden werden

::oder:

:.

Ein wichtiger Vorteil des MBF besteht darin, dass er Entdeckung des Gegenteils der Kovarianz-Matrix nicht verlangt.

Nichtlineare Filter

Der grundlegende Filter von Kalman wird auf eine geradlinige Annahme beschränkt. Kompliziertere Systeme können jedoch nichtlinear sein. Die Nichtlinearität kann entweder mit dem Prozessmodell oder mit dem Beobachtungsmodell oder mit beiden vereinigt werden.

Verlängerter Filter von Kalman

Im verlängerten Filter von Kalman (EKF) brauchen die Zustandübergang- und Beobachtungsmodelle nicht geradlinige Funktionen des Staates zu sein, aber können stattdessen nichtlineare Funktionen sein. Diese Funktionen sind des differentiable Typs.

::

Die Funktion f kann verwendet werden, um den vorausgesagten Staat von der vorherigen Schätzung zu schätzen, und ähnlich kann die Funktion h verwendet werden, um das vorausgesagte Maß vom vorausgesagten Staat zu schätzen. Jedoch kann f und h nicht auf die Kovarianz direkt angewandt werden. Stattdessen wird eine Matrix von partiellen Ableitungen (Jacobian) geschätzt.

An jedem timestep wird Jacobian mit vorausgesagten Staaten des Stroms bewertet. Diese matrices können in den Filtergleichungen von Kalman verwendet werden. Dieser Prozess im Wesentlichen linearizes die nichtlineare Funktion um die aktuelle Schätzung.

Parfümfreier Filter von Kalman

Wenn die Zustandübergang- und Beobachtungsmodelle - d. h. die Voraussagen- und Aktualisierungsfunktionen und (sieh oben) - hoch nichtlinear sind, kann der verlängerte Filter von Kalman besonders schlechte Leistung geben. Das ist, weil die Kovarianz durch linearization des zu Grunde liegenden nichtlinearen Modells fortgepflanzt wird. Der parfümfreie Filter von Kalman (UKF) verwendet ein deterministisches bekanntes Stichprobenverfahren, weil sich die parfümfreien verwandeln, um einen minimalen Satz von Beispielpunkten (genannt Sigma-Punkte) um das bösartige aufzupicken. Diese Sigma-Punkte werden dann durch die nichtlinearen Funktionen fortgepflanzt, von denen das bösartige und die Kovarianz der Schätzung dann wieder erlangt werden. Das Ergebnis ist ein Filter, der genauer das wahre bösartige und die Kovarianz gewinnt. (Das kann mit Monte Carlo nachgeprüft werden, der ausfällt oder durch eine Reihenentwicklung von Taylor der späteren Statistik.) Außerdem entfernt diese Technik die Voraussetzung, um Jacobians ausführlich zu berechnen, der für komplizierte Funktionen eine schwierige Aufgabe an sich sein kann (d. h., komplizierte Ableitungen, wenn getan, analytisch verlangend oder wenn getan, numerisch rechenbetont kostspielig seiend).

Sagen Sie voraus

Als mit dem EKF kann die UKF Vorhersage unabhängig von der UKF-Aktualisierung, in der Kombination mit einem geradlinigen (oder tatsächlich EKF) Aktualisierung, oder umgekehrt verwendet werden.

Der geschätzte Staat und die Kovarianz werden mit dem bösartigen und der Kovarianz des Prozess-Geräusches vermehrt.

::

Eine Reihe 2L+1 weist Sigma hin wird aus dem vermehrten Staat und der Kovarianz abgeleitet, wo L die Dimension des vermehrten Staates ist.

:wo:

ist die ith Säule der Matrixquadratwurzel von

:

das Verwenden der Definition: Quadratwurzel der Matrix B befriedigt

:

Die Matrixquadratwurzel sollte mit numerisch effizienten und stabilen Methoden wie die Zergliederung von Cholesky berechnet werden.

Die Sigma-Punkte werden durch die Übergang-Funktion f fortgepflanzt.

:

wo. Die belasteten Sigma-Punkte werden wiederverbunden, um den vorausgesagten Staat und die Kovarianz zu erzeugen.

::

wo durch die Gewichte für den Staat und die Kovarianz gegeben wird:

::::

und kontrollieren Sie die Ausbreitung der Sigma-Punkte. ist mit dem Vertrieb dessen verbunden.

Normale Werte sind, und. Wenn der wahre Vertrieb dessen Gaussian ist, ist optimal.

Aktualisierung

Der vorausgesagte Staat und die Kovarianz werden wie zuvor vermehrt, außer jetzt mit dem bösartigen und der Kovarianz des Maß-Geräusches.

::

Wie zuvor eine Reihe 2L + weist 1 Sigma hin wird aus dem vermehrten Staat und der Kovarianz abgeleitet, wo L die Dimension des vermehrten Staates ist.

:

Wechselweise, wenn die UKF Vorhersage verwendet worden ist, können die Sigma-Punkte selbst entlang den folgenden Linien vermehrt werden

:wo:

Die Sigma-Punkte werden durch die Beobachtungsfunktion h geplant.

:

Die belasteten Sigma-Punkte werden wiederverbunden, um das vorausgesagte Maß und die vorausgesagte Maß-Kovarianz zu erzeugen.

::

Die Zustandmaß-Quer-Kovarianz-Matrix,

:

wird verwendet, um den UKF Gewinn von Kalman zu schätzen.

:

Als mit dem Filter von Kalman ist der aktualisierte Staat der vorausgesagte Staat plus die Neuerung, die durch den Gewinn von Kalman, beschwert ist

:

Und die aktualisierte Kovarianz ist die vorausgesagte Kovarianz minus die vorausgesagte Maß-Kovarianz, die durch den Gewinn von Kalman beschwert ist.

:

Filter von Kalman-Bucy

Der Filter von Kalman-Bucy (genannt nach Richard Snowden Bucy) ist eine dauernde Zeitversion des Filters von Kalman.

Es basiert auf dem Zustandraummodell

::

wo durch die Kovarianzen der Geräuschbegriffe und und beziehungsweise gegeben wird.

Der Filter besteht aus zwei Differenzialgleichungen, ein für die Zustandschätzung und ein für die Kovarianz:

::

wo der Gewinn von Kalman durch gegeben wird

:

Bemerken Sie, dass in diesem Ausdruck für die Kovarianz des Beobachtungsgeräusches zur gleichen Zeit die Kovarianz des Vorhersagefehlers (oder Neuerung) vertritt; diese Kovarianzen sind nur im Fall von der dauernden Zeit gleich.

Die Unterscheidung zwischen der Vorhersage und den Aktualisierungsschritten der diskreten Zeit Kalman, der durchscheint, besteht in der dauernden Zeit nicht.

Die zweite Differenzialgleichung, für die Kovarianz, ist ein Beispiel einer Gleichung von Riccati.

Hybride Filter von Kalman

Die meisten physischen Systeme werden als dauernd-malige Modelle vertreten, während Maße der diskreten Zeit oft für die Zustandbewertung über einen Digitalverarbeiter genommen werden. Deshalb werden das Systemmodell und Maß-Modell durch gegeben

:

\begin {richten }\aus

\dot {\\mathbf {x}} (t) &= \mathbf {F} (t) \mathbf {x} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t) + \mathbf {w} (t), &\\mathbf {w} (t) &\\sim N\bigl (\mathbf {0}, \mathbf {Q} (t) \bigr) \\

\mathbf {z} _k &= \mathbf {H} _k\mathbf {x} _k +\mathbf {v} _k, &\\mathbf {v} _k &\\sim N (\mathbf {0}, \mathbf {R} _k)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo

:.

Initialisieren Sie

:

\hat {\\mathbf {x}} _ {0|0} =E\bigl [\mathbf {x} (t_0) \bigr], \mathbf {P} _ {0|0} =Var\bigl [\mathbf {x} (t_0) \bigr]

</Mathematik>Sagen Sie voraus:\begin {richten }\aus

&\\Punkt {\\Hut {\\mathbf {x}}} (t) = \mathbf {F} (t) \hat {\\mathbf {x}} (t) + \mathbf {B} (t) \mathbf {u} (t)

\text {mit }\

\hat {\\mathbf {x}} (t_ {k-1}) = \hat {\\mathbf {x}} _ {k-1|k-1} \\

\Rightarrow

&\\Hut {\\mathbf {x}} _ {k|k-1} = \hat {\\mathbf {x}} (t_k) \\

&\\Punkt {\\mathbf {P}} (t) = \mathbf {F} (t) \mathbf {P} (t) + \mathbf {P} (t) \mathbf {F} (t) ^T +\mathbf {Q} (t)

\text {mit }\

\mathbf {P} (t_ {k-1}) = \mathbf {P} _ {k-1|k-1 }\\\

\Rightarrow

&\\mathbf {P} _ {k|k-1} = \mathbf {P} (t_k)

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Vorhersagegleichungen werden aus denjenigen des dauernd-maligen Filters von Kalman ohne Aktualisierung von Maßen abgeleitet, d. h.. Der vorausgesagte Staat und die Kovarianz werden beziehungsweise durch das Lösen einer Reihe von Differenzialgleichungen mit dem Anfangswert berechnet, der der Schätzung auf den vorherigen Schritt gleich ist.

Aktualisierung:::

Die Aktualisierungsgleichungen sind zu denjenigen der diskreten Zeit Filter von Kalman identisch.

Filtervarianten von Kalman für die Wiederherstellung von spärlichen Signalen

Kürzlich ist der traditionelle Filter von Kalman für die Wiederherstellung von spärlichen, vielleicht dynamisch, Signale von verwendet worden

laute Beobachtungen. Beide Arbeiten und verwerten Begriffe aus der Theorie der komprimierten Abfragung/Stichprobenerhebung, wie das eingeschränkte Isometrie-Eigentum und die verwandten probabilistic Wiederherstellungsargumente, für den spärlichen Staat in wirklich niedrig-dimensionalen Systemen folgend zu schätzen.

Anwendungen

• Einstellung und gehende Bezugssysteme
• Automatische Kurssteuerung
• Batteriebewertung der Ladungszustand (SoC)

http://dx.doi.org/10.1016/j.jpowsour.2007.04.011http://dx.doi.org/10.1016/j.enconman.2007.05.017

• Gehirncomputer-Schnittstelle
• Chaotische Signale
• Das Verfolgen von Gegenständen in der Computervision
• Dynamische Positionierung
• Volkswirtschaft, in der besonderen Makrovolkswirtschaft, Zeitreihe und econometrics
• Trägheitsleitungssystem
• Bahn-Entschluss
• Radarspurenleser
• Satellitennavigationssysteme
• Seismologie

http://adsabs.harvard.edu/abs/2008AGUFM.G43B..01B

• Gleichzeitige Lokalisierung und kartografisch darstellend
• Rede-Erhöhung
• Wetter, das voraussagt
• Navigationssystem
• Das 3D-Modellieren
• Strukturgesundheit, die kontrolliert

Siehe auch

• Alpha-Beta-Filter
• Kovarianz-Kreuzung
• Datenassimilation
• Ensemble Filter von Kalman
• Verlängerter Filter von Kalman
• Invariant hat Filter von Kalman erweitert
• Schneller Filter von Kalman
• Vergleichen Sie sich mit: Filter von Wiener und der mehrmodale Partikel-Filtervorkalkulator.
• Die Entstörung des Problems (stochastische Prozesse)
• Anpassungsfähiger Kernfilter
• Nichtlinearer Filter
• Prophet corrector
• Rekursiv kleinste Quadrate
• Das Schieben der Weise-Kontrolle - beschreibt einen gleitenden Weise-Beobachter, der ähnliche Geräuschleistung zum Filter von Kalman hat
• Trennungsgrundsatz
• Gleichung von Zakai
• Stochastische Differenzialgleichungen
• Filter von Schmidt-Kalman
• Reihe von Volterra

Weiterführende Literatur

• Thomas Kailath, Ali H. Sayed, und Babak Hassibi, Geradlinige Bewertung, Prentice-Saal, New Jersey, 2000, internationale Standardbuchnummer 978-0-13-022464-4.
• Ali H. Sayed, Anpassungsfähige Filter, Wiley, New Jersey, 2008, internationale Standardbuchnummer 978-0-470-25388-5.

Links

• Eine Neue Annäherung an Geradlinige durchscheinende und Vorhersageprobleme, durch R. E. Kalman, 1960
• Filter von Kalman-Bucy, eine gute Abstammung des Filters von Kalman-Bucy
• MIT Videovortrag auf dem Filter von Kalman
• Eine Einführung in den Filter von Kalman, SIGGRAPH 2001-Kurs, Greg Welch und Gary Bishop
• Kalman, der Kapitel von Stochastischen Modellen, Bewertung und Kontrolle, vol filtert. 1, durch Peter S. Maybeck
• Kalman Filter webpage, mit vielen Verbindungen
• Kalman, der durchscheint
• Kalman Filters, gründliche Einführung in mehrere Typen, zusammen mit Anwendungen auf die Roboter-Lokalisierung
• Filter von Kalman, die in Wettermodellen, SIAM Nachrichten, Band 36, Nummer 8, Oktober 2003 verwendet sind.
• Kritische Einschätzung der Verlängerten Bewertung des Kalman Filterings und Bewegenden Horizonts, Indiana. Eng. Chem. Res. 44 (8), 2451-2460, 2005.
• Quellcode für den Propeller-Mikroprozessor: Gut dokumentierter für den Parallaxe-Propeller-Verarbeiter geschriebener Quellcode.
• Die Bewertungsunterprogramm-Bibliothek von Gerald J. Bierman: Entspricht dem Code in der Forschungsmonografie "Factorization Methoden für die Getrennte Folgende Bewertung, die" ursprünglich durch die Akademische Presse 1977 veröffentlicht ist. Neu veröffentlicht durch Dover.
• Matlab Toobox, der Teile der Bewertungsunterprogramm-Bibliothek von Gerald J. Bierman durchführt: UD / UDU' und LD / LDL' factorization mit der verbundenen Zeit und den Maß-Aktualisierungen, die den Filter von Kalman zusammensetzen.
• Der Matlab Werkzeugkasten von Kalman Filtering hat für die Gleichzeitige Lokalisierung gegolten und Kartografisch darzustellen: Fahrzeug, das sich in 1D, 2. und 3D bewegt
• Abstammung 6D EKF Lösung der Gleichzeitigen Lokalisierung und (In der alten Version PDF) Kartografisch darstellend. Siehe auch den Tutorenkurs beim Einführen eines Filters von Kalman mit dem MRPT C ++ Bibliotheken.
• Der Kalman Filter Explained Ein sehr einfacher Tutorenkurs.
• Der Filter von Kalman im Reproduzieren von Hilbert Kernräumen Eine umfassende Einführung.
• Matlab codieren, um Zinsmodell von Cox-Ingersoll-Ross mit Kalman Filter zu schätzen: Entspricht dem Papier "das Schätzen und die Prüfung von Exponential-Affine-Begriff-Struktur-Modellen durch den kalman Filter, der" durch die Rezension der Quantitativen Finanz und Buchhaltung 1999 veröffentlicht ist.
• Verlängerter Kalman Filters hat im Zusammenhang von Simulation, Bewertung, Kontrolle und Optimierung erklärt