In der Mathematik ist ein leeres Produkt oder nullary Produkt, das Ergebnis, keine Faktoren zu multiplizieren. Es ist der multiplicative Identität 1 gleich, vorausgesetzt, dass es für die fragliche Multiplikationsoperation, ebenso die leere Summe - das Ergebnis besteht hinzuzufügen, dass keine Zahlen - Null oder die zusätzliche Identität sind.

Wenn ein mathematisches Rezept sagt, "multiplizieren alle Zahlen in dieser Liste", und die Liste enthält, sagen wir, 2, 3, 2 und 4, wir multiplizieren zuerst die erste Zahl mit dem zweiten, dann das Ergebnis durch das dritte und so weiter bis zum Ende der Liste, so würde das Produkt (2,3,2,4) 48 sein. Wenn die Liste nur eine Zahl enthält, so dass wir zuerst durch die zweite, allgemeine Tagung nicht multiplizieren können, meint, dass das 'Produkt von allen' ist, dass dieselbe Zahl, und wenn die Liste keine Zahlen überhaupt, das 'Produkt von allen' hat, 1 ist. Dieser Wert ist notwendig, um mit der rekursiven Definition dessen im Einklang stehend zu sein, was ein Produkt über eine Folge (oder, gehen gegeben commutativity unter), Mittel. Zum Beispiel,

: \begin {richten }\aus

\text {Stoß} (\{2,3,5\}) & = \text {Stoß} (\{2,3\}) \times 5 = \text {Stoß} (\{2\}) \times 3 \times 5 \\

& = \text {Stoß} (\{\\}) \times 2 \times 3 \times 5 = 1 \times 2 \times 3 \times 5.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Im Allgemeinen definieren wir

:

Das leere Produkt wird in der getrennten Mathematik, der Algebra, der Studie der Macht-Reihe und den Computerprogrammen verwendet.

Der Begriff "leeres Produkt" wird meistenteils im obengenannten Sinn gebraucht, wenn man arithmetische Operationen bespricht. Jedoch wird der Begriff manchmal verwendet, wenn man mit dem Satz theoretische Kreuzungen, kategorische Produkte und Produkte in der Computerprogrammierung bespricht; diese werden unten besprochen.

Arithmetik-Produkt von Nullary

Intuitive Rechtfertigung

Stellen Sie sich eine Rechenmaschine vor, die nur multiplizieren kann.

Es hat einen "EINGEHEN" Schlüssel und einen "KLAREN" Schlüssel.

Man würde wünschen, dass, zum Beispiel, wenn man "KLAR", 7 drückt, "HEREINGEHEN", 3 "gehen HEREIN", 4 "gehen HEREIN", dann liest die Anzeige 84, weil 7 &times; 3 &times; 4 = 84. Genauer geben wir an:

• Eine Zahl wird gerade gezeigt danach "KLAR" wird gedrückt;
• Wenn eine Zahl gezeigt wird und man in eine andere Zahl eingeht, wird das Produkt gezeigt;
• Wenn "KLAR", wird gedrückt, und dann wird in einige Zahlen eingegangen, ihr Produkt wird gezeigt.

Dann muss der Startwert danach drückend "KLAR" 1 sein. Nachdem man "klar" und getan nichts anderes gedrückt hat, ist die Zahl von Faktoren, in die man eingegangen ist, Null. Deshalb ist das Produkt von Nullzahlen 1.

Häufige Beispiele

Zwei häufig gesehene Beispiele sind = 1 (jede zur zeroth Macht gesteigerte Anzahl ist eine), und 0! = 1 (ist der factorial der Null ein).

Mehr Beispiele des Gebrauches des leeren Produktes in der Mathematik können im binomischen Lehrsatz, factorial, Hauptsatz von Arithmetik, Geburtstag-Paradox, Zahl von Stirling, Lehrsatz von König, binomischem Typ, Unterschied-Maschinenbediener, Symbol von Pochhammer, Beweis gefunden werden, dass e vernunftwidriger, erster Faktor, binomische Reihe und Mehrsatz ist.

Logarithmen

Die Definition eines leeren Produktes kann auf dieser der leeren Summe basieren:

Die Summe von zwei Logarithmen ist dem Logarithmus des Produktes ihres operands, d. h. für jede Basis b> 0 gleich:

:und:

und mehr allgemein

:

d. h. die Multiplikation über alle Elemente eines Satzes ist b zur Macht der Summe aller Logarithmen der Elemente des Satzes.

Mit diesem Eigentum als Definition, und das zum leeren Produkt erweiternd, bewertet die Rechte dieser Gleichung zu b für den leeren Satz, weil die leere Summe definiert wird, um Null zu sein, und deshalb das leere Produkt demjenigen gleichkommen muss.

0 erhobenes zur 0th Macht

In der Mengenlehre und combinatorics ist die Grundzahl n die Größe des Satzes von Funktionen von einer Reihe der Größe M in eine Reihe der Größe n. Wenn M positiv ist und n Null ist, dann gibt es keine solche Funktionen, weil es keine Elemente im letzten Satz gibt, um diejenigen des ehemaligen Satzes darin kartografisch darzustellen. So 0 = 0, wenn M positiv ist. Jedoch, wenn beide Sätze leer sind (haben Sie Größe 0), dann gibt es genau eine solche Funktion - die leere Funktion. Deshalb definieren Autoren in combinatorics und Mengenlehre oft 0, um 1 zu sein, wenn es ein leeres Produkt vertritt.

Verbindung von Nullary und Kreuzung

Aus ähnlichen Gründen ist die logische Verbindung keines Arguments die Tautologie. Entsprechend ist die Kreuzung keines Satzes dem Weltall herkömmlich gleich. Sieh nullary Kreuzung für mehr Information.

Nullary Kartesianisches Produkt

Denken Sie die allgemeine Definition des Kartesianischen Produktes:

:

Wenn ich leer bin, ist die einzige Zufriedenheit g die leere Funktion:

:

So ist der cardinality des Kartesianischen Produktes keiner Sätze 1.

Unter der vielleicht vertrauteren N-Tupel-Interpretation,

:

d. h. der Singleton-Satz, der das leere Tupel enthält. Bemerken Sie, dass in beiden Darstellungen das leere Produkt cardinality 1 hat.

Nullary Kartesianisches Produkt von Funktionen

Das leere Kartesianische Produkt von Funktionen ist wieder die leere Funktion.

Nullary kategorisches Produkt

In jeder Kategorie ist das Produkt einer leeren Familie ein Endgegenstand dieser Kategorie. Das kann durch das Verwenden der Grenze-Definition des Produktes demonstriert werden. Ein n-fold kategorisches Produkt kann als die Grenze in Bezug auf ein Diagramm definiert werden, das durch die getrennte Kategorie mit N-Gegenständen gegeben ist. Ein leeres Produkt wird dann durch die Grenze in Bezug auf die leere Kategorie gegeben, die der Endgegenstand der Kategorie ist, wenn es besteht. Diese Definition spezialisiert sich, um Ergebnisse als oben zu geben. Zum Beispiel in der Kategorie von Sätzen ist das kategorische Produkt das übliche Kartesianische Produkt, und der Endgegenstand ist ein Singleton-Satz. In der Kategorie von Gruppen ist das kategorische Produkt das Kartesianische Produkt von Gruppen, und der Endgegenstand ist eine triviale Gruppe mit einem Element. Um die übliche arithmetische Definition des leeren Produktes zu erhalten, müssen wir den decategorification des leeren Produktes in der Kategorie von begrenzten Sätzen nehmen.

Doppel-ist der coproduct einer leeren Familie ein anfänglicher Gegenstand.

Nullary kategorische Produkte oder coproducts kann in einer gegebenen Kategorie nicht bestehen; z.B in der Kategorie von Feldern besteht keiner.

In der Computerprogrammierung

Viele Programmiersprachen, wie Pythonschlange, erlauben den direkten Ausdruck von Listen von Zahlen, und fungiert sogar, die eine beliebige Zahl von Rahmen erlauben. Wenn solch eine Sprache eine Funktion hat, die das Produkt aller Zahlen in einer Liste zurückgibt, arbeitet es gewöhnlich wie das:

listprod ([2,3,5])-> 30

listprod ([2,3])-> 6

listprod ([2])-> 2

listprod ([])-> 1

Diese Tagung hilft manchmal zu vermeiden, spezielle Fälle wie codieren zu müssen, "wenn die Länge der Liste 1" ist oder, "wenn die Länge der Liste Null" als spezielle Fälle ist.

Viele Programmiersprachen erlauben den direkten Ausdruck des leeren Produktes nicht, weil sie nicht erlauben, Listen auszudrücken. Multiplikation wird genommen, um ein Infix-Maschinenbediener und deshalb ein binärer Maschinenbediener zu sein. Sprachen, die variadic Funktionen durchführen, sind die Ausnahme. Zum Beispiel, völlig parenthesized Präfix-Notation von Lispeln-Sprachen verursacht eine natürliche Notation für Nullary-Funktionen:

(* 2 2 2); bewertet zu 8

(* 2 2); bewertet zu 4

(* 2); bewertet zu 2

(*); bewertet zu 1

Siehe auch

• Wiederholte binäre Operation
• Leere Summe

Außenverbindungen

• Artikel PlanetMath über das leere Produkt