Delta von Kronecker

In der Mathematik, dem Delta von Kronecker oder dem Delta von Kronecker, genannt nach Leopold Kronecker, ist eine Funktion von zwei Variablen, gewöhnlich ganze Zahlen, der 1 ist, wenn sie gleich sind und 0 sonst. Also, zum Beispiel,

: aber

:

Es wird als das Symbol δ geschrieben, und als eine notational Schnellschrift aber nicht als eine Funktion behandelt.

:

0, & \mbox {wenn} ich \ne j \\

1, & \mbox {wenn} i=j \end {Matrix-}\\Recht. </math>

Abwechselnde Notation

Das Verwenden der Klammer von Iverson:

:

Häufig wird die Notation verwendet.

:

0, & \mbox {wenn} ich \ne 0 \\

1, & \mbox {wenn} i=0 \end {Fälle} </Mathematik>

In der geradlinigen Algebra kann davon als ein Tensor gedacht werden und wird geschrieben.

Manchmal wird das Delta von Kronecker den Ersatz-Tensor genannt.

Digitalsignalverarbeitung

Ähnlich in der Digitalsignalverarbeitung wird dasselbe Konzept wie eine Funktion auf (die ganzen Zahlen) vertreten:

:

\delta [n] = \begin {Fälle} 0, & n \ne 0 \\1, & n = 0.\end {Fälle} </Mathematik>

Die Funktion wird einen Impuls oder Einheitsimpuls genannt. Und wenn es ein Signalverarbeitungselement stimuliert, wird die Produktion die Impuls-Antwort des Elements genannt.

Eigenschaften der Delta-Funktion

Das Kronecker Delta hat das so genannte durchrieselnde Eigentum das für:

:

und wenn die ganzen Zahlen als ein Maß-Raum angesehen, mit dem Zählen-Maß ausgestattet werden, dann fällt dieses Eigentum mit dem Definieren-Eigentum der Delta-Funktion von Dirac zusammen

:

und tatsächlich wurde das Delta von Dirac nach dem Delta von Kronecker wegen dieses analogen Eigentums genannt. Im Signal, das es bearbeitet, ist gewöhnlich der Zusammenhang (getrennte oder dauernde Zeit), der Kronecker und Dirac "Funktionen" unterscheidet. Und durch die Tagung, zeigt allgemein dauernde Zeit (Dirac) an, wohingegen Argumente wie ich, j, k, l, M und n gewöhnlich für die diskrete Zeit (Kronecker) vorbestellt werden. Eine andere übliche Praxis soll getrennte Folgen mit eckigen Klammern vertreten; so:. Es ist wichtig zu bemerken, dass das Delta von Kronecker nicht das Ergebnis ist, direkt die Delta-Funktion von Dirac zu probieren.

Das Kronecker Delta wird in vielen Gebieten der Mathematik verwendet.

Geradlinige Algebra

In der geradlinigen Algebra kann die Identitätsmatrix als geschrieben werden.

Wenn es als ein Tensor, der Tensor von Kronecker betrachtet wird, kann es geschrieben werden

mit einem kovarianten Index j und kontravariantem Index i.

Dieser (1,1) vertritt Tensor:

Beziehung zur Delta-Funktion von Dirac

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik können das Delta von Kronecker und die Delta-Funktion von Dirac beide verwendet werden, um einen getrennten Vertrieb zu vertreten. Wenn die Unterstützung eines Vertriebs aus Punkten mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten besteht, dann kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion des Vertriebs, mit dem Delta von Kronecker, als geschrieben werden

:

Gleichwertig kann die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des Vertriebs mit der Delta-Funktion von Dirac als geschrieben werden

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Unter bestimmten Bedingungen kann das Delta von Kronecker daraus entstehen, eine Delta-Funktion von Dirac zu probieren. Zum Beispiel, wenn ein Delta-Impuls von Dirac genau an einer Stützstelle vorkommt und (mit der Abkürzung an der kritischen Frequenz) pro Abtasttheorem von Nyquist-Shannon ideal gelowpass-filtert wird, wird das resultierende Signal der diskreten Zeit eine Delta-Funktion von Kronecker sein.

Erweiterungen der Delta-Funktion

Auf dieselbe Mode können wir eine analoge, mehrdimensionale Funktion von vielen Variablen definieren

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Diese Funktion nimmt den Wert 1, wenn, und nur wenn alle oberen Indizes die entsprechenden niedrigeren und die Wertnull sonst vergleichen.

Integrierte Darstellungen

Für jede ganze Zahl n mit einer Standardrückstand-Berechnung können wir eine integrierte Darstellung für das Delta von Kronecker als das Integral unten schreiben, wohin die Kontur des Integrals gegen den Uhrzeigersinn um die Null geht. Diese Darstellung ist auch zu einem bestimmten Integral durch eine Folge im komplizierten Flugzeug gleichwertig.

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Der Kronecker-Kamm

Die Kronecker-Kamm-Funktion mit der Periode N wird (das Verwenden der Digitalnotation) als definiert:

:

wo N und n ganze Zahlen sind. Der Kronecker-Kamm besteht so aus einer unendlichen Reihe von Einheitsimpulsen N Einheiten einzeln, und schließt den Einheitsimpuls an der Null ein. Wie man betrachten kann, ist es das getrennte Analogon des Kamms von Dirac.

Integrierter Kronecker

Das Kronecker Delta wird auch Grad davon genannt, einer Oberfläche in einen anderen kartografisch darzustellen. Nehmen Sie an, dass kartografisch darzustellen, von der Oberfläche bis das stattfindet, sind Grenzen von Gebieten, und der einfach mit der isomorphen Ähnlichkeit verbunden wird. In diesem Fachwerk, wenn s und t Rahmen für, und dazu sind, werden jeder am normalen Außenn orientiert:

:

während das normale die Richtung hat:

:

Lassen Sie x=x (u, v, w), y=y (u, v, w), z=z (u, v, w) definiert und in einem Gebiet glatt werden, das enthält, und lassen Sie diese Gleichungen definieren darin kartografisch darzustellen. Dann ist der Grad davon, kartografisch darzustellen, Zeiten der Raumwinkel des Images S in Bezug auf den Innenpunkt, O. Wenn O der Ursprung des Gebiets ist, dann der Grad, wird durch das Integral gegeben:

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Siehe auch


Die Grüne (Israel) / Philo-Semitism
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