Das Vereinheitlichen von Theorien in der Mathematik

Es hat mehrere Versuche in der Geschichte gegeben, um eine vereinigte Theorie der Mathematik zu erreichen. Einige der größten Mathematiker haben Ansichten ausgedrückt, dass das ganze Thema eine Theorie eingebaut werden sollte.

Historische Perspektive

Der Prozess der Vereinigung könnte als das Helfen gesehen werden zu definieren, was Mathematik als eine Disziplin einsetzt.

Zum Beispiel wurden Mechanik und mathematische Analyse in ein Thema während des 18. Jahrhunderts allgemein verbunden, das durch das Differenzialgleichungskonzept vereinigt ist; während Algebra und Geometrie größtenteils verschieden betrachtet wurden. Jetzt denken wir Analyse, Algebra, und Geometrie, aber nicht Mechanik als Teile der Mathematik, weil sie in erster Linie deduktive formelle Wissenschaften sind, während die Mechanik wie Physik von Beobachtung ausgehen muss. Es gibt keinen Hauptverlust des Inhalts mit der analytischen Mechanik im alten Sinn, der jetzt in Bezug auf die symplectic Topologie ausgedrückt ist, die auf der neueren Theorie von Sammelleitungen gestützt ist.

Mathematische Theorien

Der Begriff Theorie wird informell innerhalb der Mathematik gebraucht, um einen konsequenten Körper von Definitionen, Axiomen, Lehrsätzen, Beispielen und so weiter zu bedeuten. (Beispiele schließen Gruppentheorie, Theorie von Galois, Steuerungstheorie und K-Theorie ein.) Insbesondere gibt es keine Konnotation von hypothetischen. So ist die Begriff-Vereinheitlichen-Theorie mehr einem soziologischen Begriff ähnlich, der gebraucht ist, um die Handlungen von Mathematikern zu studieren. Es kann nichts Mutmaßliches annehmen, das einer unentdeckten wissenschaftlichen Verbindung analog sein würde. Es gibt wirklich keinen Blutsverwandten innerhalb der Mathematik zu solchen Konzepten wie Proto-Welt in der Linguistik oder der Hypothese von Gaia.

Dennoch hat es mehrere Episoden innerhalb der Geschichte der Mathematik gegeben, in der, wie man fand, Sätze von individuellen Lehrsätzen spezielle Fälle eines einzelnen Vereinheitlichen-Ergebnisses waren, oder in dem man eine einzelne Perspektive über wie weitergeht, als das Entwickeln eines Gebiets der Mathematik fruchtbar auf vielfache Zweige des Themas angewandt werden konnte.

Geometrische Theorien

Ein wohl bekanntes Beispiel war die Entwicklung der analytischen Geometrie, die in den Händen von Mathematikern wie Descartes und Fermat gezeigt hat, dass viele Lehrsätze über Kurven und Oberflächen von speziellen Typen auf der algebraischen Sprache festgesetzt werden konnten (dann neu), von denen jeder dann verwendend derselben Techniken bewiesen werden konnte. D. h. die Lehrsätze waren algebraisch sehr ähnlich, selbst wenn die geometrischen Interpretationen verschieden waren.

Am Ende des 19. Jahrhunderts hat Felix Klein bemerkt, dass die vielen Zweige der Geometrie, die während dieses Jahrhunderts entwickelt worden war (affine Geometrie, projektive Geometrie, Hyperbelgeometrie, usw.) alle auf eine gleichförmige Weise behandelt werden konnten. Er hat das getan, indem er die Gruppen gedacht hat, unter denen die Gegenstände invariant waren. Diese Vereinigung der Geometrie geht durch den Namen des Programmes von Erlangen.

Durch - axiomatisation

Am Anfang des 20. Jahrhunderts haben viele Teile der Mathematik begonnen, durch das Skizzieren nützlicher Sätze von Axiomen und dann das Studieren ihrer Folgen behandelt zu werden. So, zum Beispiel, wurden die Studien von "hyperkomplexen Zahlen", solcher, wie betrachtet, durch die Quaternion Gesellschaft, auf einen axiomatischen Stand als Zweige der Ringtheorie gestellt (in diesem Fall, mit der spezifischen Bedeutung von assoziativen Algebra über das Feld von komplexen Zahlen.) In diesem Zusammenhang ist das Quotient-Ringkonzept einer der stärksten unifiers.

Das war eine allgemeine Änderung der Methodik, seitdem die Bedürfnisse nach Anwendungen herauf bis dann beabsichtigten so viel Mathematik hatten, wurde mittels Algorithmen (oder Prozesse in der Nähe davon unterrichtet, algorithmisch zu sein). Arithmetik wird noch dieser Weg unterrichtet. Es war eine Parallele zur Entwicklung der mathematischen Logik als ein eigenständiger Zweig der Mathematik. Vor den 1930er Jahren wurde symbolische Logik selbst innerhalb der Mathematik entsprechend eingeschlossen.

In den meisten Fällen können mathematische Gegenstände unter der Studie (obgleich nichtkanonisch) als Sätze oder mehr informell definiert werden, weil mit der zusätzlichen Struktur wie eine Hinzufügungsoperation untergeht. Mengenlehre dient jetzt als eine Verkehrssprache für die Entwicklung von mathematischen Themen.

Bourbaki

Die Ursache der axiomatischen Entwicklung wurde als Anzahlung von der Gruppe von Bourbaki von Mathematikern aufgenommen. Gebracht in sein Extrem, wie man dachte, hat diese Einstellung in seiner größten Allgemeinheit entwickelte Mathematik gefordert. Ein hat von den allgemeinsten Axiomen angefangen, und hat sich dann, zum Beispiel, durch das Einführen von Modulen über Ersatzringe und das Begrenzen auf Vektorräume über die reellen Zahlen, nur wenn absolut notwendig, spezialisiert. Die Geschichte ist auf diese Mode weitergegangen, selbst wenn die Spezialisierungen die Lehrsätze vom primären Interesse waren.

Insbesondere diese Perspektive hat wenig Wert auf Feldern der Mathematik gelegt (wie combinatorics), wessen Gegenstände der Studie sehr häufig speziell, oder in Situationen gefunden sind, die nur mit mehr axiomatischen Zweigen des Themas oberflächlich verbunden sein können.

Kategorie-Theorie als ein Rivale

Kategorie-Theorie ist eine Vereinheitlichen-Theorie der Mathematik, die in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts am Anfang entwickelt wurde. In dieser Beziehung ist es eine Alternative und Ergänzung zur Mengenlehre. Ein Schlüsselthema aus dem "kategorischen" Gesichtspunkt ist, dass Mathematik nicht nur bestimmte Arten von Gegenständen verlangt (Lügen Sie Gruppen, Banachräume, usw.) sondern auch mappings zwischen ihnen, die ihre Struktur bewahren.

Insbesondere das klärt genau, was es für mathematische Gegenstände bedeutet, betrachtet zu werden, dasselbe zu sein. (Zum Beispiel, sind alle gleichseitigen Dreiecke dasselbe, oder ist Größe von Bedeutung?) Saunders Mac Lane hat dass jedes Konzept mit genug 'Allgegenwart' vorgeschlagen (in verschiedenen Zweigen der Mathematik vorkommend), das verdiente Isolieren und Studieren in seinem eigenen Recht. Kategorie-Theorie wird an dieses Ende wohl besser angepasst als jede andere aktuelle Annäherung. Die Nachteile des Verlassens auf den so genannten abstrakten Quatsch sind eine bestimmte Höflichkeit und Abstraktion im Sinne des Losreißens von den Wurzeln in konkreten Problemen. Dennoch sind die Methoden der Kategorie-Theorie in der Annahme, in zahlreichen Gebieten (von D-Modulen bis kategorische Logik) fest vorwärts gegangen.

Das Vereinigen von Theorien

Auf einer weniger grandiosen Skala gibt es häufige Beispiele, in denen es scheint, dass Sätze dessen auf zwei verschiedene Zweige der Mathematik hinauslaufen, sind ähnlich, und man könnte fragen, ob es ein Vereinheitlichen-Fachwerk gibt, das die Verbindungen klärt. Wir haben bereits das Beispiel der analytischen Geometrie bemerkt, und mehr allgemein entwickelt das Feld der algebraischen Geometrie gründlich die Verbindungen zwischen geometrischen Gegenständen (algebraische Varianten, oder mehr allgemein Schemas) und algebraische (Ideale); das Prüfstein-Ergebnis hier ist der Nullstellensatz von Hilbert der grob sprechende Shows, dass es eine natürliche isomorphe Ähnlichkeit zwischen den zwei Typen von Gegenständen gibt.

Man kann andere Lehrsätze in demselben Licht ansehen. Zum Beispiel behauptet der Hauptsatz der Theorie von Galois, dass es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Erweiterungen eines Feldes und Untergruppen der Gruppe von Galois des Feldes gibt. Die Taniyama-Shimura-Vermutung für elliptische Kurven (jetzt bewiesen) gründet eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Kurven, die als Modulformen und elliptische über die rationalen Zahlen definierte Kurven definiert sind. Ein Forschungsgebiet manchmal hat mit einem Spitznamen bezeichneter Monströser Mondschein Verbindungen zwischen Modulformen und der begrenzten einfachen als das Ungeheuer bekannten Gruppe entwickelt, allein mit der Überraschungsbeobachtung anfangend, dass in jedem von ihnen die ziemlich ungewöhnliche Nummer 196884 sehr natürlich entstehen würde. Ein anderes Feld, das als das Programm von Langlands bekannt ist, fängt ebenfalls mit anscheinend willkürlichen Ähnlichkeiten (in diesem Fall, zwischen mit der Zahl theoretischen Ergebnissen und Darstellungen von bestimmten Gruppen) an und sucht nach Aufbauten, von denen beide Sätze von Ergebnissen Folgeerscheinungen sein würden.

Referenzliste von Hauptvereinheitlichen-Konzepten

Eine kurze Liste dieser Theorien könnte einschließen:

Wir illustrieren das Konzept, indem wir einige dieser Themen im Detail besprechen.

Neue Entwicklungen in der Beziehung mit der Modultheorie

Ein wohl bekanntes Beispiel ist die Taniyama-Shimura-Vermutung, jetzt der Modularitätslehrsatz, der vorgeschlagen hat, dass jede elliptische Kurve über die rationalen Zahlen in eine Modulform (auf solche Art und Weise übersetzt werden kann, um die verbundene L-Funktion zu bewahren). Es gibt Schwierigkeiten, das mit einem Isomorphismus in jedem strengen Sinn des Wortes zu identifizieren. Wie man bekannt hatte, waren bestimmte Kurven beide elliptische Kurven (der Klasse 1) und Modulkurven gewesen, bevor die Vermutung (1955) formuliert wurde. Der überraschende Teil der Vermutung war die Erweiterung auf Faktoren von Jacobians von Modulkurven der Klasse> 1. Es war wahrscheinlich plausibel nicht geschienen, dass es 'genug' solche vernünftigen Faktoren geben würde, bevor die Vermutung behauptet wurde; und tatsächlich waren die numerischen Beweise ungefähr bis 1970 gering, als Tische begonnen haben, es zu bestätigen. Der Fall von elliptischen Kurven mit der komplizierten Multiplikation wurde von Shimura 1964 bewiesen. Diese Vermutung hat seit Jahrzehnten gestanden, bevor sie in der Allgemeinheit bewiesen wird.

Tatsächlich ist das Programm von Langlands (oder Philosophie) viel mehr einem Web ähnlich, Vermutungen zu vereinigen; es verlangt wirklich, dass die allgemeine Theorie von Automorphic-Formen von den von Robert Langlands vorgestellten L-Gruppen geregelt wird. Sein Grundsatz von functoriality in Bezug auf die L-Gruppe hat einen sehr großen erklärenden Wert in Bezug auf bekannte Typen des Hebens von Automorphic-Formen (jetzt weit gehender studiert als automorphic Darstellungen). Während diese Theorie in gewisser Hinsicht mit der Taniyama-Shimura-Vermutung nah verbunden wird, sollte es verstanden werden, dass die Vermutung wirklich in der entgegengesetzten Richtung funktioniert. Es verlangt die Existenz einer Automorphic-Form, mit einem Gegenstand anfangend, der (sehr abstrakt) in einer Kategorie von Motiven liegt.

Ein anderer bedeutender zusammenhängender Punkt ist, dass die Annäherung von Langlands von der ganzen Entwicklung zur Seite steht, die durch den monströsen Mondschein (Verbindungen zwischen elliptischen Modulfunktionen als Reihe von Fourier und die Gruppendarstellungen der Ungeheuer-Gruppe und anderen sporadischen Gruppen) ausgelöst ist. Die Langlands Philosophie weder ahnen lassen noch ist im Stande gewesen, diese Linie der Forschung einzuschließen.

Isomorphismus mutmaßt in der K-Theorie

Ein anderer Fall, der bis jetzt weniger gut entwickelt wird, aber eine breite Reihe der Mathematik bedeckt, ist die mutmaßliche Basis von einigen Teilen der K-Theorie. Die Vermutung von Baum-Connes, jetzt ein langjähriges Problem, ist durch andere in einer Gruppe angeschlossen worden, die als die Isomorphismus-Vermutungen in der K-Theorie bekannt ist. Diese schließen die Vermutung von Farrell-Jones und Vermutung von Bost ein.

Siehe auch

Philosophie der Mathematik

Der Himmel nachts / Johannisbeere von Zante
Impressum & Datenschutz