In der Mathematik ist der Ehe-Lehrsatz des Saals oder einfach der Lehrsatz des Saals, ein kombinatorisches Ergebnis, das die Bedingung gibt, die die Auswahl an einem verschiedenen Element von jeder einer Sammlung von begrenzten Sätzen erlaubt. Es wurde dadurch bewiesen.

Definitionen und Erklärung des Lehrsatzes

Lassen Sie S eine Familie von begrenzten Sätzen sein, wo die Familie eine unendliche Zahl von Sätzen enthalten kann und die individuellen Sätze mehrmals wiederholt werden können.

Ein transversal für S ist ein Satz T und ein

Bijektion f von T bis solchen S dass für den ganzen t in T, t ist ein Mitglied von f (t).

Ein alternativer Begriff für transversal ist System von verschiedenen Vertretern

oder "SDR".

Die Sammlung S befriedigt die Ehe-Bedingung (MC) wenn und nur wenn

für jede Subsammlung haben wir

Mit anderen Worten, die Zahl von

Sätze in jeder Subsammlung W sind weniger als oder gleich der Zahl von verschiedenen Elementen im

Vereinigung über die Subsammlung W.

Der Lehrsatz des Saals stellt fest, dass S einen transversal (SDR) hat, wenn, und nur wenn S die Ehe-Bedingung befriedigt.

Diskussion und Beispiele

Beispiel 1: Denken Sie S = {A, A,} mit

:A = {1, 2, 3 }\

:A = {1, 4, 5 }\

:A = {3, 5}.

Ein gültiger SDR würde {1, 4, 5} sein. (Bemerken Sie, dass das nicht einzigartig ist: {2, 1, 3} arbeitet ebenso so, zum Beispiel.)

Beispiel 2: Denken Sie S = {A, A, A,} mit

:A = {2, 3, 4, 5 }\

:A = {4, 5 }\

:A = {5 }\

:A = {4}.

Kein gültiger SDR besteht; die Ehe-Bedingung wird verletzt, wie durch die Subsammlung {A, A,} gezeigt wird.

Beispiel 3: Denken Sie S = {A, A, A,} mit

:A = {a, b, c }\

:A = {b, d }\

:A = {a, b, d }\

:A = {b, d}.

Der einzige gültige SDR'S ist (c, b, a, d) und (c, d, a, b).

Das Standardbeispiel einer Anwendung des Ehe-Lehrsatzes soll sich zwei Gruppen vorstellen; einer von n Männern und eine von n Frauen. Für jede Frau gibt es eine Teilmenge der Männer, von denen irgendwelche sie sich glücklich verheiraten würde; und jeder Mann würde glücklich sein, eine Frau zu heiraten, die ihn heiraten will. Ziehen Sie in Betracht, ob es möglich ist, (in der Ehe) die Männer und Frauen paarweise anzuordnen, so dass jede Person glücklich ist.

Wenn wir A der Satz von Männern sein lassen, die die i-th Frau glücklich sein würde zu heiraten, dann stellt der Ehe-Lehrsatz fest, dass jede Frau einen Mann wenn und nur wenn die Sammlung von Sätzen {Ein} Entsprechen der Ehe-Bedingung glücklich heiraten kann.

Bemerken Sie, dass die Ehe-Bedingung darin besteht, dass, für jede Teilmenge der Frauen, die Zahl von Männern, die mindestens eine der Frauen glücklich sein würden, zu heiraten, mindestens so groß zu sein, wie die Zahl von Frauen in dieser Teilmenge. Es ist offensichtlich, dass diese Bedingung notwendig ist, als ob es nicht hält, gibt es nicht genug Männer, um sich unter den Frauen zu teilen. Was interessant ist, ist, dass es auch eine genügend Bedingung ist.

Graph theoretische Formulierung

Wenn S begrenzt ist, kann der Ehe-Lehrsatz mit der Fachsprache der Graph-Theorie ausgedrückt werden. Lassen Sie S = (A, A..., A), wo die A begrenzte Sätze sind, die nicht verschieden zu sein brauchen. Lassen Sie den Satz X = {A, A...,} (d. h. den Satz von Namen der Elemente von S) und den Satz Y die Vereinigung aller Elemente im ganzen A sein. Wir bilden einen begrenzten zweiteiligen Graphen G: = (X + Y, E), mit zweiteiligen Sätzen X und Y, indem es jedem Element bei Y zu jedem angeschlossen wird, dessen es ein Mitglied ist. Ein transversal (SDR) S ist ein X-Sättigen, das zusammenpasst (ein Zusammenbringen, das jeden Scheitelpunkt in X bedeckt) des zweiteiligen Graphen G.

Für einen Satz W Scheitelpunkte von G, lassen Sie zeigen die Nachbarschaft von W in G, d. h. den Satz aller Scheitelpunkte neben einem Element von W an. Der Ehe-Lehrsatz (der Lehrsatz des Saals) in dieser Formulierung stellt fest, dass ein X-Sättigen, das zusammenpasst, wenn und nur wenn für jede Teilmenge W X besteht

Mit anderen Worten hat jede Teilmenge W X genug angrenzende Scheitelpunkte in Y.

In Anbetracht eines begrenzten zweiteiligen Graphen G: = (X + Y, E), mit zweiteiligen Sätzen X und Y der gleichen Größe, stellt der Ehe-Lehrsatz notwendige und genügend Bedingungen für die Existenz eines vollkommenen Zusammenbringens im Graphen zur Verfügung.

Eine Generalisation zu willkürlichen Graphen wird durch den Lehrsatz von Tutte zur Verfügung gestellt.

Beweis des Graphen theoretische Version

Wir erweisen uns zuerst: Wenn zweiteiliger Graph G = (X + Y, E) = G (X, Y) ein X-Sättigen hat, das dann |N (W) |  |W | für den ganzen W  X zusammenpasst.

Nehmen Sie an, dass G (X, Y) ein zweiteiliger Graph ist und M ein Zusammenbringen ist, das jeden Scheitelpunkt von X. sättigt

Denken Sie den Satz aller Scheitelpunkte in Y, der einen gegebenen W durch die zusammenpassende M sättigt, um M (W). Therefore, |M (W) | = |W | durch die Definition des Zusammenbringens zu sein.

Aber M (W)  N (W), da alle Elemente der M (W) Nachbarn von W sind.

Also, |N (W) |  |M (W) | und folglich, |N (W) |  |W |.

Jetzt erweisen wir uns: Wenn |N (W) |  |W | für den ganzen W  X, dann hat G (X, Y) ein Zusammenbringen, das jeden Scheitelpunkt in X sättigt.

Nehmen Sie an, dass G (X, Y) ein zweiteiliger Graph ist, der keine zusammenpassende M hat, die alle Scheitelpunkte X sättigt.

Denken Sie einen Satz W, Scheitelpunkt u enthaltend, der durch eine maximale zusammenpassende M nicht gesättigt wird. Denken Sie alle sich vermehrenden Pfade, die von u anfangen.

Lassen Sie den Satz aller Punkte in Y, der mit u durch diese sich vermehrenden Pfade verbunden ist T sein.

Betrachten Sie Satz aller Scheitelpunkte von W (in X) in diesen Pfaden als solch, dass W \u durch die M gesättigt wird. Also, |M (W) | = |W |-1 weil ist u nicht in einem Zusammenbringen.

Aber alle Scheitelpunkte in T werden mit u verbunden, und der Satz aller Scheitelpunkte, die mit einem Scheitelpunkt in W\u verbunden sind, ist in T. Deshalb, |N (W) | = |T |.

Aber |N (u) | = |T als alle Nachbarn von u werden in T eingeschlossen. Außerdem für jeden Scheitelpunkt, der mit u in T dort verbunden ist, besteht ein entsprechendes Zusammenbringen zu einem anderen Scheitelpunkt in W.

Folglich, |N (u) | =number matchings = | M (W) | = |W |-1.

Aber |N (u) | = |T | = | N (W) |.

So |N (W) | = |W |-1, der einbezieht, ist |N (W) | im Stande gewesen, das Ergebnis in einem Weg zu zwicken, der dem Beweis erlaubt hat, für unendlichen S zu arbeiten. Diese Variante raffiniert den Ehe-Lehrsatz und stellt einen niedrigeren zur Verfügung hat zur Zahl von SDR'S gebunden, den ein gegebener S haben kann. Diese Variante ist:

Nehmen Sie an, dass (A, A..., A), wo die A begrenzte Sätze sind, die nicht verschieden zu sein brauchen, eine Familie von Sätzen ist, die die Ehe-Bedingung (MC) befriedigen, und nehmen Sie dass |A  r weil ich = 1..., n an. Dann ist die Zahl von verschiedenem SDR'S für die Familie mindestens r! wenn r  n und r (r - 1)... (r - n +1) wenn r> n.

Rufen Sie zurück, dass ein transversal für eine Familie S eine bestellte Folge ist, so konnten zwei verschiedene SDR'S genau dieselben Elemente haben. Zum Beispiel hat die Familie = {1,2,3}, = {1,2,5} sowohl (1,2) als auch (2,1) als verschiedener SDR'S.

Anwendungen

Der Lehrsatz hat viele andere interessante "Nichtheirats"-Anwendungen. Nehmen Sie zum Beispiel ein Standarddeck von Karten, und befassen Sie sich sie in 13 Stapel von 4 Karten jeder. Dann, mit dem Ehe-Lehrsatz, können wir zeigen, dass es immer möglich ist, genau 1 Karte von jedem Stapel, solch auszuwählen, dass die 13 ausgewählten Karten genau eine Karte jeder Reihe (Ass, 2, 3..., Königin, König) enthalten.

Lassen Sie abstrakter G eine Gruppe und H sein, eine begrenzte Untergruppe von G sein. Dann kann der Ehe-Lehrsatz verwendet werden, um zu zeigen, dass es einen Satz T solch gibt, dass T ein SDR sowohl für den Satz von linkem cosets als auch für das Recht cosets H in G ist.

Der Ehe-Lehrsatz wird in den üblichen Beweisen der Tatsache dass verwendet (r × n) kann lateinisches Rechteck immer zu erweitert werden ((r+1) × lateinisches N)-Rechteck wenn r = {1, 2, 3...}, = {1}, = {2}..., = {ich}...

Die Ehe-Bedingung (MC) hält für diese unendliche Familie, aber kein SDR kann gebaut werden.

Das allgemeinere Problem, (nicht notwendigerweise verschieden) auszuwählen, wird das Element von jeder einer Sammlung von Sätzen (ohne Beschränkung betreffs der Zahl von Sätzen oder der Größe der Sätze) im Allgemeinen nur erlaubt, wenn das Axiom der Wahl akzeptiert wird.

Logische Gleichwertigkeiten

Dieser Lehrsatz ist ein Teil einer Sammlung von bemerkenswert starken Lehrsätzen in combinatorics, von denen alle mit einander in einem informellen Sinn verbunden sind, in dem es aufrichtiger ist, um einen dieser Lehrsätze von einem anderen von ihnen zu beweisen, als von den ersten Grundsätzen. Diese schließen ein:

• Der König-Egerváry Lehrsatz (1931) (Dénes Kőnig, Jenő Egerváry)
• Der Lehrsatz von König
• Der Lehrsatz von Menger (1927)
• Der Max-Fluss-Lehrsatz des Minute-geschnittenen (Algorithmus von Ford-Fulkerson)
• Der Lehrsatz von Birkhoff-Von Neumann (1946)
• Der Lehrsatz von Dilworth.

Insbesondere es gibt einfache Beweise des Implikationslehrsatzes von Dilworth  der Lehrsatz des Saals  König-Egerváry Lehrsatz  der Lehrsatz von König.

Zeichen

• Halmos, Paul R. und Vaughan, Herbert E. "Das Ehe-Problem". Amerikanische Zeitschrift der Mathematik 72, (1950). 214-215.

Außenverbindungen

• Ehe-Lehrsatz an der Knoten-Kürzung
• Ehe-Lehrsatz und Algorithmus an der Knoten-Kürzung