In der Mathematik, wie man sagt, ist ein Polynom nicht zu vereinfachend, wenn es factored ins Produkt von zwei oder mehr nichttrivialen Polynomen nicht sein kann, deren Koeffizienten von einem angegebenen Typ sind. So im allgemeinen Zusammenhang von Polynomen mit vernünftigen Koeffizienten ist ein Polynom nicht zu vereinfachend, wenn es als das Produkt von zwei oder mehr solchen Polynomen, jeder von ihnen nicht ausgedrückt werden kann, einen niedrigeren Grad habend, als der ursprüngliche. Zum Beispiel, während über den rationals reduzierbar ist, ist nicht.

Für jedes Feld F wird der Ring von Polynomen mit Koeffizienten in F dadurch angezeigt. Ein Polynom darin wird nicht zu vereinfachend genannt, wenn es nichtunveränderlich ist und als das Produkt von zwei oder mehr nichtunveränderlichen Polynomen davon nicht vertreten werden kann. Das Eigentum von irreducibility hängt von Feld F ab; ein Polynom kann über einige Felder nicht zu vereinfachend, aber über andere reduzierbar sein. Einige einfache Beispiele werden unten besprochen.

Theorie von Galois studiert die Beziehung zwischen einem Feld, seiner Gruppe von Galois und seinen nicht zu vereinfachenden Polynomen eingehend. Interessante und nichttriviale Anwendungen können in der Studie von begrenzten Feldern gefunden werden.

Es ist nützlich, nicht zu vereinfachende Polynome mit Primzahlen zu vergleichen: Primzahlen (zusammen mit den entsprechenden negativen Zahlen des gleichen Umfangs) sind die nicht zu vereinfachenden ganzen Zahlen. Sie stellen viele der allgemeinen Eigenschaften des Konzepts von 'irreducibility' aus, die ebenso für nicht zu vereinfachende Polynome wie der im Wesentlichen einzigartige factorization in erste oder nicht zu vereinfachende Faktoren gelten:

Jedes Polynom darin kann in Polynome faktorisiert werden, die über F nicht zu vereinfachend sind. Dieser factorization ist bis zur Versetzung der Faktoren und der Multiplikation der Faktoren durch Nichtnullkonstanten von F einzigartig (weil der Ring von Polynomen über ein Feld ein einzigartiges factorization Gebiet ist, dessen Einheiten die unveränderlichen Nichtnullpolynome sind).

Der Satz von Wurzeln (in einem Erweiterungsfeld) jedes Polynoms über F muss entweder keine Wurzeln eines gegebenen nicht zu vereinfachenden Polynoms p enthalten, oder alle diese Wurzeln enthalten; das ist der irreducibility Lehrsatz von Abel.

Einfache Beispiele

Die folgenden fünf Polynome demonstrieren einige elementare Eigenschaften von reduzierbaren und nicht zu vereinfachenden Polynomen:

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Über den Ring von ganzen Zahlen sind die ersten zwei Polynome reduzierbar, die letzten zwei sind nicht zu vereinfachend. (Das dritte ist natürlich nicht ein Polynom über die ganzen Zahlen.)

Über das Feld von rationalen Zahlen sind die ersten drei Polynome reduzierbar, aber die anderen zwei Polynome sind nicht zu vereinfachend.

Über das Feld von reellen Zahlen sind die ersten vier Polynome reduzierbar, aber ist noch nicht zu vereinfachend.

Über das Feld von komplexen Zahlen sind alle fünf Polynome reduzierbar. Tatsächlich kann jedes Nichtnullpolynom factored als sein

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wo der Grad, der Hauptkoeffizient und die Nullen dessen ist. So sind die einzigen nichtunveränderlichen nicht zu vereinfachenden Polynome geradlinige Polynome. Das ist der Hauptsatz der Algebra.

Die Existenz von nicht zu vereinfachenden Polynomen des Grads, der größer ist als ein (ohne Nullen im ursprünglichen Feld) hat historisch, die Erweiterung dieses ursprünglichen numerischen Feldes motiviert, so dass sogar diese Polynome in geradlinige Faktoren reduziert werden können: von rationalen Zahlen , zur echten Teilmenge der algebraischen Zahlen , und schließlich zur algebraischen Teilmenge der komplexen Zahlen . Nach der Erfindung der Rechnung wurden jene letzten zwei Teilmengen später zu allen reellen Zahlen und alle komplexen Zahlen erweitert.

Zu algebraischen Zwecken ist die Erweiterung von rationalen Zahlen bis reelle Zahlen "zu radikal": Es führt transzendente Zahlen ein, die nicht die Lösungen algebraischer Gleichungen mit vernünftigen Koeffizienten sind. Diese Zahlen sind zum algebraischen Zweck nicht erforderlich, Polynome zu faktorisieren (aber sie sind für den Gebrauch von reellen Zahlen in der Analyse notwendig). Der Satz von algebraischen Zahlen ist der algebraische Verschluss des rationals, und enthält die Wurzeln aller Polynome (einschließlich i zum Beispiel). Das ist ein zählbares Feld und wird in den komplexen Zahlen - der Unterschied ausschließlich enthalten, der ist, dass dieses Feld " "algebraisch abgeschlossen ist (wie die Komplexe, sind), aber nicht analytisch abgeschlossen, da es am oben erwähnten transcendentals Mangel hat.

Der obengenannte Paragraf verallgemeinert, in dem es einen rein algebraischen Prozess gibt, um ein gegebenes Feld F mit einem gegebenen Polynom zu einem größeren Feld zu erweitern, wo dieses Polynom in geradlinige Faktoren reduziert werden kann. Die Studie solcher Erweiterungen ist der Startpunkt der Theorie von Galois.

Reelle Zahlen und komplexe Zahlen

Wie gezeigt, in den Beispielen oben sind nur geradlinige Polynome über das Feld von komplexen Zahlen nicht zu vereinfachend (das ist eine Folge des Hauptsatzes der Algebra). Da die komplizierten Wurzeln eines echten Polynoms in verbundenen Paaren sind, sind die nicht zu vereinfachenden Polynome über das Feld von reellen Zahlen die geradlinigen Polynome und die quadratischen Polynome ohne echte Wurzeln. Zum Beispiel,

Faktoren über die reellen Zahlen als

Generalisation

Wenn R ein integriertes Gebiet, ein Element f von R ist, der weder Null noch eine Einheit ist, wird nicht zu vereinfachend genannt, wenn es keine Nichteinheiten g und h mit f = gh gibt. Man kann zeigen, dass jedes Hauptelement nicht zu vereinfachend ist; das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr, aber hält in einzigartigen factorization Gebieten. Der polynomische Ring F [x] über Feld F (oder jedes einzigartige-factorization Gebiet) ist wieder ein einzigartiges factorization Gebiet. Induktiv bedeutet das, dass der polynomische Ring in n indeterminants (über einen Ring R) ein einzigartiges factorization Gebiet ist, wenn dasselbe für R wahr ist.

Begrenzte Felder

Factorization über ein begrenztes Feld benimmt sich ähnlich zu factorization über das vernünftige oder das komplizierte Feld. Jedoch können Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl, die über das Feld nicht zu vereinfachend sind, über ein begrenztes Feld reduzierbar sein. Zum Beispiel ist das Polynom zu Ende, aber reduzierbar über das Feld von zwei Elementen nicht zu vereinfachend. Tatsächlich, haben wir

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Der irreducibility eines Polynoms über die ganzen Zahlen ist damit über das Feld von Elementen (für eine Blüte) verbunden. Nämlich, wenn ein Polynom mit dem Hauptkoeffizienten zu Ende dann reduzierbar ist, ist es zu Ende für jede Blüte reduzierbar. Das gegenteilige ist jedoch nicht wahr.

Siehe auch

• Das Lemma von Gauss (Polynom)
• Vernünftiger Wurzellehrsatz, eine Methode zu finden, ob ein Polynom einen geradlinigen Faktor mit vernünftigen Koeffizienten hat
• Das Kriterium von Eisenstein
• Der irreducibility Lehrsatz von Hilbert
• Das irreducibility Kriterium von Cohn
• Nicht zu vereinfachender Bestandteil eines topologischen Raums
• Factorization des Polynoms über das begrenzte Feld und irreducibility prüft
• Quartic function#Factorization in quadratics
• Kubisch

function#Factorization

• Casus irreducibilis, das nicht zu vereinfachende kubische mit drei echten Wurzeln
• Quadratisch equation#Quadratic factorization

• Seiten 154.

• Seiten 91.

Außenverbindungen

• Information über primitive und nicht zu vereinfachende Polynome, den (kombinatorischen) Gegenstand-Server.

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