Eine Sammelleitung von Calabi-Yau ist ein spezieller Typ der Sammelleitung, die in bestimmten Zweigen der Mathematik wie algebraische Geometrie, sowie in der theoretischen Physik auftaucht. Besonders in der Superschnur-Theorie werden die Extradimensionen der Raum-Zeit manchmal vermutet, um die Form einer 6-dimensionalen Sammelleitung von Calabi-Yau anzunehmen.

Sammelleitungen von Calabi-Yau sind komplizierte Sammelleitungen, die hoch-dimensionale Entsprechungen von K3-Oberflächen sind. Sie werden manchmal als Kompaktsammelleitungen von Kähler definiert, deren kanonisches Bündel trivial ist, obwohl viele andere ähnliche, aber inequivalent Definitionen manchmal verwendet werden. Sie wurden "Räume von Calabi-Yau" von danach genannt, wer sie zuerst studiert hat, und wer bewiesen hat, dass Calabi vermuten, dass sie Wohnungsmetrik von Ricci haben.

In der Superschnur-Theorie werden die Extradimensionen der Raum-Zeit manchmal vermutet, um die Form einer 6-dimensionalen Sammelleitung von Calabi-Yau anzunehmen, die zur Idee von der Spiegelsymmetrie geführt hat.

Definitionen

Es gibt viele verschiedene inequivalent Definitionen einer von verschiedenen Autoren verwendeten Sammelleitung von Calabi-Yau. Diese Abteilung fasst einige der allgemeineren Definitionen und der Beziehungen zwischen ihnen zusammen.

Ein Calabi-Yau n-fold oder Sammelleitung von Calabi-Yau der Dimension n werden manchmal als eine n-dimensional KompaktsammelleitungsM von Kähler Zufriedenheit von einer der folgenden gleichwertigen Bedingungen definiert:

• Das kanonische Bündel der M ist trivial.
• M hat eine holomorphic N-Form, die nirgends verschwindet.
• Die Struktur-Gruppe der M kann von U (n) zu SU (n) reduziert werden.
• M hat Kähler, der mit globalem holonomy metrisch ist, der in SU (n) enthalten ist.

Diese Bedingungen deuten an, dass die erste integrierte Klasse c (M) von Chern der M verschwindet, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Die einfachsten Beispiele, wo das geschieht, sind hyperelliptische Oberflächen, begrenzte Quotienten eines komplizierten Rings der komplizierten Dimension 2, die die verschwindende erste integrierte Klasse von Chern haben, aber das kanonische Bündel ist nicht trivial.

Weil kompakter n-dimensional Kähler M die folgenden Bedingungen vervielfältigt, sind zu einander gleichwertig, aber sind schwächer als die Bedingungen oben, und werden manchmal als die Definition einer Sammelleitung von Calabi-Yau verwendet:

• M hat die verschwindende erste echte Klasse von Chern.
• M hat mit der verschwindenden Krümmung von Ricci metrischen Kähler.
• M hat Kähler, der mit lokalem holonomy metrisch ist, der in SU (n) enthalten ist.

• Eine positive Macht des kanonischen Bündels der M ist trivial.
• M hat einen begrenzten Deckel, der triviales kanonisches Bündel hat.
• M hat einen begrenzten Deckel, der ein Produkt eines Rings und einer einfach verbundenen Sammelleitung mit dem trivialen kanonischen Bündel ist.

Insbesondere, wenn eine Kompaktsammelleitung von Kähler einfach dann verbunden wird, ist die schwache Definition oben zur stärkeren Definition gleichwertig. Oberflächen von Enriques führen Beispiele von komplizierten Sammelleitungen an, die Ricci-flache Metrik haben, aber ihre kanonischen Bündel sind nicht trivial, so sind sie Sammelleitungen von Calabi-Yau gemäß dem zweiten, aber nicht der ersten Definition oben. Ihre doppelten Deckel sind Sammelleitungen von Calabi-Yau für beide Definitionen (tatsächlich K3 Oberflächen).

Bei weitem beweist der härteste Teil, die Gleichwertigkeiten zwischen den verschiedenen Eigenschaften zu beweisen, oben die Existenz der Ricci-flachen Metrik. Das folgt aus dem Beweis von Yau der Vermutung von Calabi, die andeutet, dass eine Kompaktsammelleitung von Kähler mit einer verschwindenden ersten echten Klasse von Chern Kähler hat, der in derselben Klasse mit der verschwindenden Krümmung von Ricci metrisch ist. (Die Klasse von metrischem Kähler ist die cohomology Klasse seines verbundenen 2-Formen-.) hat Calabi gezeigt, dass solch ein metrisches einzigartig ist.

Es gibt viele andere inequivalent Definitionen von Sammelleitungen von Calabi-Yau, die manchmal verwendet werden, die sich auf die folgenden Weisen (unter anderen) unterscheiden:

• Die erste Klasse von Chern kann als eine integrierte Klasse oder als eine echte Klasse verschwinden.
• Die meisten Definitionen behaupten, dass Sammelleitungen von Calabi-Yau kompakt sind, aber einige erlauben ihnen, nichtkompakt zu sein. In der Generalisation zu Nichtkompaktsammelleitungen muss der Unterschied asymptotisch verschwinden. Hier, ist die Form von Kähler, die mit metrischem Kähler vereinigt ist.
• Einige Definitionen stellen Beschränkungen der grundsätzlichen Gruppe einer Sammelleitung von Calabi-Yau, wie das Verlangen dass es, begrenzt oder trivial sein. Jede Sammelleitung von Calabi-Yau hat einen begrenzten Deckel, der das Produkt eines Rings und einer einfach verbundenen Sammelleitung von Calabi-Yau ist.
• Einige Definitionen verlangen, dass die holonomy SU (n) aber nicht eine Untergruppe davon genau gleich sind, die andeutet, dass die Zahlen von Hodge h für 0]] verschwinden, der die algebraische Vielfalt ist, die aus allen Nullen eines homogenen quintic Polynoms in den homogenen Koordinaten des BEDIENUNGSFELDES besteht. Ein anderes Beispiel ist ein glattes Modell des Barth-Nieto quintic. Einige getrennte Quotienten des quintic durch verschiedene Z Handlungen sind auch Calabi-Yau und haben viel Aufmerksamkeit in der Literatur erhalten. Einer von diesen ist mit dem ursprünglichen quintic durch die Spiegelsymmetrie verbunden.

Für jede positive ganze Zahl n ist der Nullsatz eines nichtsingulären homogenen Grads n+2 Polynom in den homogenen Koordinaten des komplizierten projektiven Raum-BEDIENUNGSFELDES ein kompakter Calabi-Yau n-fold. Der Fall n=1 beschreibt eine elliptische Kurve, während für n=2 man eine K3-Oberfläche erhält.

Alle Hyper-Kähler-Sammelleitungen sind Calabi-Yau.

Anwendungen in der Superschnur-Theorie

Sammelleitungen von Calabi-Yau sind in der Superschnur-Theorie wichtig. In den herkömmlichsten Superschnur-Modellen sollen zehn mutmaßliche Dimensionen in der Schnur-Theorie kommen, als von dem vier wir bewusst sind, eine Art fibration mit der Faser-Dimension sechs tragend. Compactification auf N-Falten von Calabi-Yau sind wichtig, weil sie etwas von der ursprünglichen Supersymmetrie ungebrochen verlassen. Genauer, ohne Flüsse, compactification auf einem Calabi-Yau 3-fach (echte Dimension 6) verlässt ein Viertel der ursprünglichen Supersymmetrie ungebrochen, wenn der holonomy der volle SU (3) ist.

Mehr allgemein verlässt ein compactification ohne Flüsse auf einer N-Sammelleitung mit holonomy SU (n) 2 der ursprünglichen Supersymmetrie ungebrochen, entsprechend 2 lädt in einem compactification des Superernstes des Typs II über, oder 2 lädt in einem compactification des Typs I über. Wenn Flüsse eingeschlossen werden, deutet die Supersymmetrie-Bedingung stattdessen an, dass die Compactification-Sammelleitung ein verallgemeinerter Calabi-Yau, ein Begriff ist, der dadurch eingeführt ist. Diese Modelle sind als Fluss compactifications bekannt.

Im Wesentlichen sind Sammelleitungen von Calabi-Yau Gestalten, die die Voraussetzung des Raums für die sechs "ungesehenen" Raumdimensionen der Schnur-Theorie befriedigen, die kleiner sein kann als unsere zurzeit erkennbaren Längen, weil sie noch nicht entdeckt worden sind. Eine populäre als große Extradimensionen bekannte Alternative, der häufig in braneworld Modellen vorkommt, ist, dass der Calabi-Yau groß ist, aber wir werden auf eine kleine Teilmenge beschränkt, auf der es einen D-brane durchschneidet.

F-Theorie compactifications auf verschiedenen vier Falten von Calabi-Yau versorgt Physiker mit einer Methode, eine Vielzahl der klassischen Lösung in der so genannten Schnur-Theorie-Landschaft zu finden.

• Chan, Yat-Ming (2004) "Desingularization Von 3 Falten von Calabi-Yau Mit Einer Konischen Eigenartigkeit"
• Greene, Brian "Schnur-Theorie über Sammelleitungen von Calabi-Yau"
• Im, Mee Seong (2008) "Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Eigenartigkeiten in Varianten von Calabi-Yau"

Links

• Calabi-Yau Homepage ist eine interaktive Verweisung, die viele Beispiele und Klassen von Sammelleitungen von Calabi-Yau und auch den physischen Theorien beschreibt, in denen sie erscheinen.
• Das Drehen des Videos von Calabi-Yau Space.
• Calabi-Yau Space durch Andrew J. Hanson mit zusätzlichen Beiträgen durch Jeff Bryant, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• (ähnlich)