Ein attractor ist ein Satz, zu dem sich eine Variable, sich gemäß dem Diktieren eines dynamischen Systems bewegend, mit der Zeit entwickelt. D. h. Punkte, die nah genug am attractor werden, bleiben nah selbst wenn ein bisschen gestört. Die sich entwickelnde Variable kann algebraisch als ein n-dimensional Vektor vertreten werden. Der attractor ist ein Gebiet im n-dimensional Raum. In physischen Systemen können die n Dimensionen, zum Beispiel, zwei oder drei Stellungskoordinaten für jede von einer oder mehr physischen Entitäten sein; in Wirtschaftssystemen können sie getrennte Variablen wie die Inflationsrate und die Arbeitslosigkeitsrate sein.

Wenn die sich entwickelnde Variable zwei - oder dreidimensional ist, kann der attractor des dynamischen Prozesses geometrisch in zwei oder drei Dimensionen, bezüglich des Beispiels im dreidimensionalen Fall gezeichnet nach rechts vertreten werden. Ein attractor kann ein Punkt, ein begrenzter Satz von Punkten, einer Kurve, einer Sammelleitung oder sogar einem komplizierten Satz mit einer fractal als ein fremder attractor bekannten Struktur sein. Wenn die Variable ein Skalar ist, ist der attractor eine Teilmenge der Linie der reellen Zahl. Das Beschreiben des attractors von chaotischen dynamischen Systemen ist eines der Ergebnisse der Verwirrungstheorie gewesen.

Eine Schussbahn des dynamischen Systems im attractor muss keine speziellen Einschränkungen abgesehen vom Bleiben auf dem attractor befriedigen. Die Schussbahn kann periodisch oder chaotisch sein. Wenn eine Reihe von Punkten periodisch oder chaotisch ist, aber der Fluss in der Nachbarschaft ist weg vom Satz, ist der Satz nicht ein attractor, aber wird stattdessen einen repeller (oder repellor) genannt.

Motivation

Ein dynamisches System wird allgemein von einem beschrieben oder unterschiedlicher oder Unterschied-Gleichungen. Die Gleichungen eines gegebenen dynamischen Systems geben sein Verhalten im Laufe jeder gegebenen kurzen Zeitspanne an. Um das Verhalten des Systems seit einer längeren Periode zu bestimmen, ist es notwendig, die Gleichungen entweder durch analytische Mittel oder durch die Wiederholung häufig mithilfe von Computern zu integrieren.

Dynamische Systeme in der physischen Welt neigen dazu, dissipative zu sein: Ohne eine treibende Kraft würde die Bewegung aufhören. (Verschwendung kann aus der inneren Reibung, den thermodynamischen Verlusten oder dem Verlust des Materials unter vielen Ursachen kommen.) Die Verschwendung und die treibende Kraft neigen dazu sich zu verbinden, um anfängliche Übergangsprozesse zu töten und das System in sein typisches Verhalten zu setzen. Dieser Teil des Phase-Raums des dynamischen Systems entsprechend dem typischen Verhalten ist der attractor, auch bekannt als die Anziehen-Abteilung oder attractee.

Sätze von Invariant und Grenze-Sätze sind dem attractor Konzept ähnlich. Ein Invariant-Satz ist ein Satz, der sich zu sich unter der Dynamik entwickelt. Attractors kann Invariant-Sätze enthalten. Ein Grenze-Satz ist eine Reihe von solchen Punkten, dass dort ein anfänglicher Staat besteht, der willkürlich in der Nähe vom Grenze-Satz endet (d. h. zu jedem Punkt des Satzes), als Zeit zur Unendlichkeit geht. Attractors sind Grenze-Sätze, aber nicht alle Grenze-Sätze sind attractors: Es ist möglich, einige Punkte eines Systems zu haben, laufen zu einem Grenze-Satz zusammen, aber verschiedene Punkte, wenn gestört, ein bisschen vom Grenze-Satz können abgeschlagen werden und nie zur Umgebung des Grenze-Satzes zurückkehren.

Zum Beispiel hat das gedämpfte Pendel zwei Invariant-Punkte: der Punkt der minimalen Höhe und der Punkt der maximalen Höhe. Der Punkt ist auch ein Grenze-Satz, weil Schussbahnen dazu zusammenlaufen; der Punkt ist nicht ein Grenze-Satz. Wegen der Verschwendung ist der Punkt auch ein attractor. Wenn es keine Verschwendung gäbe, würde kein attractor sein.

Mathematische Definition

Lassen Sie t Zeit vertreten und f lassen (t, ·), eine Funktion sein, die die Dynamik des Systems angibt. D. h. wenn eines N-Dimensional-Punkts im Phase-Raum zu sein, den anfänglichen Staat des Systems vertretend, dann ist f (0, a) = a und, für einen positiven Wert von t, f (t, a) das Ergebnis der Evolution dieses Staates danach t Einheiten der Zeit. Zum Beispiel, wenn das System die Evolution einer freien Partikel in einer Dimension dann beschreibt, ist der Phase-Raum das Flugzeug R mit Koordinaten (x, v), wo x die Position der Partikel ist, ist v seine Geschwindigkeit, = (x, v), und die Evolution wird durch gegeben

:

Ein attractor ist eine Teilmenge vom durch die folgenden drei Bedingungen charakterisierten Phase-Raum:

• A ist fortgeschrittener invariant unter f: Wenn eines Elements dessen zu sein, dann auch f (t, a), für den ganzen t> 0 ist.
• Dort besteht eine Nachbarschaft von A, genannt die Waschschüssel der Anziehungskraft für A und angezeigten B (A), der aus allen Punkten b besteht, die "in der Grenze t   hereingehen". Mehr formell B ist (A) der Satz aller Punkte b im Phase-Raum mit dem folgenden Eigentum:

:: Für jede offene Nachbarschaft N A gibt es einen positiven unveränderlichen solchen T dass f (t, b)  N für den ganzen echten t> T.

• Es gibt keine richtige Teilmenge, die ersten zwei Eigenschaften zu haben.

Da die Waschschüssel der Anziehungskraft einen offenen Satz enthält, der A enthält, wird jeder Punkt, der genug A nah ist, von A angezogen. Die Definition eines attractor verwendet einen metrischen auf dem Phase-Raum, aber der resultierende Begriff hängt gewöhnlich nur von der Topologie des Phase-Raums ab. Im Fall von R wird die Euklidische Norm normalerweise verwendet.

Viele andere Definitionen von attractor kommen in der Literatur vor. Zum Beispiel verlangen einige Autoren, dass ein attractor positives Maß hat (einen Punkt davon abhaltend, ein attractor zu sein), entspannen andere die Voraussetzung dass B (A), eine Nachbarschaft sein.

Typen von attractors

Attractors sind Teile des Phase-Raums des dynamischen Systems. Bis zu den 1960er Jahren, wie gezeigt, durch Lehrbücher dieses Zeitalters, wurde von attractors als seiend einfache geometrische Teilmengen des Phase-Raums gedacht: Punkte, Linien, Oberflächen, Volumina. Wie man dachte, waren die (topologisch) wilden Sätze, die beobachtet worden waren, zerbrechliche Anomalien. Stephen Smale ist im Stande gewesen zu zeigen, dass seine Hufeisen-Karte robust war, und dass sein attractor die Struktur eines Kantor-Satzes hatte.

Zwei einfache attractors sind der feste Punkt und der Grenze-Zyklus. Es kann viele andere geometrische Sätze geben, die attractors sind. Wenn diese Sätze (oder die Bewegungen auf ihnen), härter sind zu beschreiben als die klassischen geometrischen Gegenstände, dann ist der attractor ein fremder attractor, wie beschrieben, in der Abteilung unten.

Fester Punkt

Ein fester Punkt ist ein Punkt einer Funktion, die sich unter etwas Transformation nicht ändert. Wenn wir die Evolution eines dynamischen Systems als eine Reihe von Transformationen betrachten, dann dort kann oder kann kein Punkt sein, der fest unter jeder Transformation bleibt. Der Endstaat, den ein dynamisches System zu, wie die Endstaaten eines fallenden Kieselsteins, eines gedämpften Pendels oder des Wassers in einem Glas entwickelt, entspricht befestigtem Punkt eines Anziehens der Evolutionsfunktion, aber die zwei Konzepte sind nicht gleichwertig, weil nicht alle festen Punkte die Evolution von nahe gelegenen Punkten anziehen. Ein Marmorrollen ringsherum in einer Waschschüssel kann einen festen Punkt haben, aber wenn der Marmor äußerlich gesteuert wird, darf es nicht von diesem festen Punkt angezogen werden. Aber ohne eine äußerliche treibende Kraft wird es sich in den festen Punkt an der Unterseite von der Schüssel so in diesem Fall niederlassen, dass Punkt ein attractor ist.

Grenze-Zyklus

:See Hauptartikel-Grenze-Zyklus

Ein Grenze-Zyklus ist eine periodische Bahn des Systems, das isoliert wird. Beispiele schließen die Anschläge einer Pendel-Uhr, den stimmenden Stromkreis eines Radios und den Herzschlag ein, während sie sich ausruhen. (Der Grenze-Zyklus eines idealen Pendels ist nicht ein Beispiel eines Grenze-Zyklus attractor, weil seine Bahnen nicht isoliert werden: Im Phase-Raum des idealen Pendels in der Nähe von jedem Punkt einer periodischen Bahn gibt es einen anderen Punkt, der einer verschiedenen periodischen Bahn gehört, so zieht die ehemalige Bahn nicht an).

Grenze-Ringe

Es kann mehr als eine Frequenz in der periodischen Schussbahn des Systems durch den Staat eines Grenze-Zyklus geben. Wenn zwei dieser Frequenzen einen vernunftwidrigen Bruchteil bilden (d. h. sie unvereinbar sind), wird die Schussbahn nicht mehr geschlossen, und der Grenze-Zyklus wird ein Grenze-Ring. Diese Art von attractor wird - Ring genannt, wenn es unvereinbare Frequenzen gibt. Zum Beispiel ist hier ein 2-Ringe-:

Eine Zeitreihe entsprechend diesem attractor ist eine quasiperiodische Reihe: Eine getrennt probierte Summe von periodischen Funktionen (nicht notwendigerweise Sinus-Wellen) mit unvereinbaren Frequenzen. Solch eine Zeitreihe hat keine strenge Periodizität, aber sein Macht-Spektrum besteht noch nur aus scharfen Linien.

Fremder attractor

Ein attractor wird sonderbar genannt, wenn er Dimension der nichtganzen Zahl hat. Das ist häufig der Fall, wenn die Triebkräfte darauf chaotisch sind, aber dort bestehen auch fremde attractors, die nicht chaotisch sind. Der Begriff wurde von David Ruelle und Floris Takens ins Leben gerufen, um den attractor zu beschreiben, der sich aus einer Reihe von Gabelungen eines Systems ergeben hat, das Flüssigkeitsströmung beschreibt.

Fremde attractors sind häufig differentiable in einigen Richtungen, aber einige sind einem Kantor-Staub, und deshalb nicht differentiable ähnlich. Fremder attractors kann auch in die Anwesenheit des Geräusches gefunden werden, wo, wie man zeigen kann, sie invariant zufällige Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen des Typs Sinai-Ruelle-Bowen unterstützen; sieh Chekroun u. a. (2011).

Beispiele von fremdem attractors schließen die Doppelte Schriftrolle attractor, Hénon attractor, Rössler attractor, Lorenz attractor und Tamari attractor ein.

Teilweise Differenzialgleichungen

Parabolische teilweise Differenzialgleichungen können endlich-dimensionalen attractors haben. Der sich verbreitende Teil der Gleichungsfeuchtigkeiten höhere Frequenzen und führt in einigen Fällen zu einem globalen attractor. Der Ginzburg-Landauer, der Kuramoto-Sivashinsky, und das zweidimensionale, gezwungene Navier-schüren, wie man alles bekannt, haben Gleichungen globalen attractors der begrenzten Dimension.

Für das dreidimensionale Navier-schürt incompressible Gleichung mit periodischen Grenzbedingungen, wenn es einen globalen attractor hat, dann wird dieser attractor von begrenzten Dimensionen sein.

Numerische Lokalisierung (Vergegenwärtigung) von attractors

Chaotischer verborgener attractor (grünes Gebiet) im System von Chua.]]

Aus einem rechenbetonten Gesichtspunkt kann attractors als Selbstaufregen attractors oder natürlich betrachtet werden

verborgener attractors.

Selbstaufregen attractors kann numerisch durch rechenbetonte Standardverfahren lokalisiert werden, in denen nach einer vergänglichen Folge eine Schussbahn, die von einem Punkt auf einer nicht stabilen Sammelleitung in einer kleinen Nachbarschaft eines nicht stabilen Gleichgewichts anfängt, einen attractor (wie klassischer attractors im Van der Pol, Beluosov-Zhabotinsky, Lorenz und vielen anderen dynamischen Systemen) erreicht.

Im Gegensatz enthält die Waschschüssel der Anziehungskraft eines verborgenen attractor Nachbarschaft des Gleichgewichts nicht, so kann der verborgene attractor nicht durch rechenbetonte Standardverfahren lokalisiert werden.

Siehe auch

• Stabiler attractor
• Hyperbelsatz
• Stabile Sammelleitung
• Unveränderlicher Staat
• Waschschüssel von Wada

Weiterführende Literatur

• Edward N. Lorenz (1996) Die Essenz der internationalen Verwirrungsstandardbuchnummer 0-295-97514-8
• James Gleick (1988) Verwirrung: Das Bilden einer Neuen internationalen Wissenschaftsstandardbuchnummer 0-14-009250-1

Links

• Waschschüssel der Anziehungskraft auf Scholarpedia
• Eine Galerie von trigonometrischem fremdem attractors
• Doppelte Schriftrolle attractor die Stromkreis-Simulation von Chua
• Eine Galerie von polynomischem fremdem attractors
• Belebter Pickover fremder Attractors
• Chaoscope, ein 3D Fremder Attractor, der freeware macht
• 1D, 2. und 3D von fremdem attractors, schließen Tamari Attractor ein
• Forschungsauszug und [ftp://ftp2.sco.com/pub/skunkware/src/x11/misc/mathrec-1.1c.tar.gz Softwarelaboratorium]
• Attractors fremder Online-Generator
• Tamari attractor