In der Mathematik wird das triviale Adjektiv oft für Gegenstände verwendet (für Beispiele, Gruppen oder topologische Räume), die eine sehr einfache Struktur haben. Die Substantiv-Bedeutungslosigkeit bezieht sich gewöhnlich auf einen einfachen technischen Aspekt von einem Beweis oder Definition. Der Ursprung des Begriffes auf der mathematischen Sprache kommt aus dem mittelalterlichen trivium Lehrplan.

Triviale und nichttriviale Lösungen

In der Mathematik wird der triviale Begriff oft für Gegenstände gebraucht (für Beispiele, Gruppen oder topologische Räume), die eine sehr einfache Struktur haben. Für Nichtmathematiker sind sie manchmal schwieriger, sich zu vergegenwärtigen oder zu verstehen, als anderer, mehr komplizierte Gegenstände.

Beispiele schließen ein:

• leerer Satz: Der Satz, der keine Mitglieder enthält
• triviale Gruppe: Die mathematische Gruppe, die nur das Identitätselement enthält
• trivialer Ring: Ein auf einem Singleton definierter Ring ist untergegangen.

Trivial bezieht sich auch auf Lösungen einer Gleichung, die eine sehr einfache Struktur haben, aber wegen der Vollständigkeit kann nicht weggelassen werden. Diese Lösungen werden die triviale Lösung genannt. Denken Sie zum Beispiel die Differenzialgleichung

wo y = f (x) eine Funktion ist, deren Ableitung y&prime ist;. die triviale Lösung ist

:y = 0, die Nullfunktion

während eine nichttriviale Lösung ist

:y (x) = e, die Exponentialfunktion.

Ähnlich beschreiben Mathematiker häufig den Letzten Lehrsatz von Fermat als das Erklären, dass es keine nichttrivialen Lösungen der ganzen Zahl der Gleichung gibt, wenn n größer ist als 2. Klar gibt es einige Lösungen der Gleichung. Zum Beispiel, ist eine Lösung für jeden n, Aber solche Lösungen sind alle offensichtlich und langweilig, und folglich "trivial".

Bedeutungslosigkeit im mathematischen Denken

Trivial kann sich auch auf jeden leichten Fall eines Beweises beziehen, der wegen der Vollständigkeit nicht ignoriert werden kann. Zum Beispiel haben Beweise durch die mathematische Induktion zwei Teile: Der "Grundfall", der zeigt, dass der Lehrsatz für einen besonderen Anfangswert wie n = 0 oder n = 1 und dann ein induktiver Schritt wahr ist, der zeigt, dass, wenn der Lehrsatz für einen bestimmten Wert von n wahr ist, es auch für den Wert n + 1 wahr ist. Der Grundfall ist häufig trivial und wird als solcher identifiziert, obwohl es Fälle gibt, wo der Grundfall schwierig ist, aber der induktive Schritt ist trivial. Ähnlich könnte man beweisen wollen, dass ein Eigentum von allen Mitgliedern eines bestimmten Satzes besessen wird. Die Hauptrolle des Beweises wird den Fall eines nichtleeren Satzes in Betracht ziehen, und die Mitglieder im Detail untersuchen; im Fall, wo der Satz leer ist, wird das Eigentum von allen Mitgliedern trivial besessen, da es niemanden gibt. (Siehe auch Ausdruckslose Wahrheit.)

Ein allgemeiner Witz in der mathematischen Gemeinschaft soll sagen, dass "trivial" mit "dem bewiesenen" synonymisch ist — d. h. kann jeder Lehrsatz "trivial" betrachtet werden, sobald, wie man bekannt, es wahr ist. Ein anderer Witz betrifft zwei Mathematiker, die einen Lehrsatz besprechen; der erste Mathematiker sagt, dass der Lehrsatz "trivial" ist. Als Antwort auf die Bitte eines anderen um eine Erklärung fährt er dann mit zwanzig Minuten der Ausstellung fort. Am Ende der Erklärung gibt der zweite Mathematiker zu, dass der Lehrsatz trivial ist. Diese Witze weisen auf die Subjektivität von Urteilen über die Bedeutungslosigkeit hin. Der Witz gilt auch, wenn der erste Mathematiker sagt, dass der Lehrsatz trivial ist, aber unfähig ist, es selbst zu beweisen. Häufig, als ein Witz wird der Lehrsatz dann "intuitiv offensichtlich genannt." Jemand hat in der Rechnung zum Beispiel erfahren, würde die Behauptung als das betrachten

trivial zu sein. Einem beginnenden Studenten der Rechnung aber kann das nicht überhaupt offensichtlich sein.

Bemerken Sie, dass Bedeutungslosigkeit auch von Zusammenhang abhängt. Ein Beweis in der Funktionsanalyse würde wahrscheinlich in Anbetracht einer Zahl, trivial die Existenz einer größeren Zahl annehmen. Wenn Sie grundlegende Ergebnisse über die natürlichen Zahlen in der elementaren Zahlentheorie beweisen, obwohl der Beweis sehr gut von der Bemerkung abhängen kann, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat (der dann an sich bewiesen oder als ein Axiom genommen werden sollte, sieh die Axiome von Peano).

Siehe auch

• Entartung
• Pathologischer
• Das Gesetz von Parkinson der Bedeutungslosigkeit
• Quant-Bedeutungslosigkeit
• Transformation
• Bagatellen

Links

• Trivialer Zugang an MathWorld