In der Mathematik, einer polynomischen Folge, d. h., einer Folge von Polynomen, die durch {0, 1, 2, 3 mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind...}, in dem der Index jedes Polynoms seinem Grad gleichkommt, wird gesagt, des binomischen Typs zu sein, wenn es die Folge der Identität befriedigt

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Viele solche Folgen bestehen. Der Satz aller dieser Folgen bildet eine Lüge-Gruppe unter der Operation der umbral Zusammensetzung, die unten erklärt ist. Jede Folge des binomischen Typs kann in Bezug auf die Polynome von Bell ausgedrückt werden. Jede Folge des binomischen Typs ist eine Folge von Sheffer (aber die meisten Folgen von Sheffer sind nicht des binomischen Typs). Polynomische Folgen ziehen Unternehmen an, das die vagen Begriffe des 19. Jahrhunderts der umbral Rechnung marschiert.

Beispiele

• Infolge von dieser Definition kann der binomische Lehrsatz durch den Ausspruch dass die Folge {x festgesetzt werden: n = 0, 1, 2...} ist des binomischen Typs.
• Die Folge "tiefer factorials" wird durch definiert

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: (In der Theorie von speziellen Funktionen zeigt diese dieselbe Notation oberen factorials an, aber dieser gegenwärtige Gebrauch ist unter combinatorialists universal.), wie man versteht, ist das Produkt 1, wenn n = 0, da es in diesem Fall ein leeres Produkt ist. Diese polynomische Folge ist des binomischen Typs.

• Ähnlich der "obere factorials"

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:are eine polynomische Folge des binomischen Typs.

• Die Polynome von Abel

:::are eine polynomische Folge des binomischen Typs.

• Die Touchard Polynome

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:where S (n, k) ist die Zahl von Teilungen einer Reihe der Größe n in zusammenhanglose nichtleere Teilmengen von k, ist eine polynomische Folge des binomischen Typs. Eric Temple Bell hat diese genannt die "Exponentialpolynome" und dieser Begriff werden auch manchmal in der Literatur gesehen. Die Koeffizienten S (n, k) sind "Zahlen von Stirling der zweiten Art". Diese Folge hat eine neugierige Verbindung mit dem Vertrieb von Poisson: Wenn X eine zufällige Variable mit einem Vertrieb von Poisson mit dem erwarteten Wert &lambda ist; dann E (X) = p (&lambda). Insbesondere wenn λ = 1 sehen wir, dass der n-te Moment des Vertriebs von Poisson mit dem erwarteten Wert 1 die Zahl von Teilungen einer Reihe der Größe n, genannt die n-te Zahl von Bell ist. Diese Tatsache über den n-ten Moment dieses besonderen Vertriebs von Poisson ist "die Formel von Dobinski".

Charakterisierung durch Delta-Maschinenbediener

Es kann dass eine polynomische Folge {p (x) gezeigt werden: n = 0, 1, 2...} ist des binomischen Typs, wenn, und nur wenn alle drei der folgenden Bedingungen halten:

• Die geradlinige Transformation auf dem Raum von Polynomen in x, der durch charakterisiert wird

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:is-shift-equivariant und

• p (x) = 1 für den ganzen x und
• p (0) = 0 für n> 0.

(Die Behauptung, dass dieser Maschinenbediener shift-equivariant ist, ist dasselbe, sagend dass die polynomische Folge eine Folge von Sheffer ist; der Satz von Folgen des binomischen Typs wird innerhalb des Satzes von Folgen von Sheffer richtig eingeschlossen.)

Delta-Maschinenbediener

Diese geradlinige Transformation ist klar ein Delta-Maschinenbediener, d. h., shift-equivariant geradlinige Transformation auf dem Raum von Polynomen in x, der Grade von Polynomen um 1 reduziert. Die offensichtlichsten Beispiele von Delta-Maschinenbedienern sind Unterschied-Maschinenbediener und Unterscheidung. Es kann gezeigt werden, dass jeder Delta-Maschinenbediener als eine Macht-Reihe der Form geschrieben werden kann

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wo D Unterscheidung ist (bemerken Sie, dass tiefer bestimmt der Summierung 1 ist). Jeder Delta-Maschinenbediener Q hat eine einzigartige Folge "grundlegender Polynome", d. h., eine polynomische Folge, die befriedigt

Wurde 1973 durch den Abwechselnden Dienst, Kahaner und Odlyzko gezeigt, dass eine polynomische Folge vom binomischen Typ ist, wenn, und nur wenn es die Folge von grundlegenden Polynomen von einem Delta-Maschinenbediener ist. Deshalb beläuft sich dieser Paragraf auf ein Rezept, um so viele polynomische Folgen des binomischen Typs zu erzeugen, wie man wünschen kann.

Charakterisierung durch Glockenpolynome

Für jede Folge a, a, lassen a... Skalare,

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Wo B (a..., a) das Polynom von Bell ist. Dann ist diese polynomische Folge des binomischen Typs. Bemerken Sie das für jeden n ≥ 1,

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Hier ist das Hauptergebnis dieser Abteilung:

Lehrsatz: Alle polynomischen Folgen des binomischen Typs sind dieser Form.

Ein Ergebnis in Mullin und Rota, der im Abwechselnden Dienst, Kahaner und Odlyzko wiederholt ist (sieh Verweisungen unten), stellt fest, dass jede polynomische Folge {p (x)} des binomischen Typs durch die Folge {p&prime bestimmt wird; (0)}, aber jene Quellen erwähnen Polynome von Bell nicht.

Diese Folge von Skalaren ist auch mit dem Delta-Maschinenbediener verbunden. Lassen Sie

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Dann

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ist der Delta-Maschinenbediener dieser Folge.

Charakterisierung durch eine Gehirnwindungsidentität

Für Folgen a, b, n = 0, 1, 2 definieren... eine Art Gehirnwindung durch

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Lassen Sie, der n-te Begriff der Folge zu sein

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Dann für jede Folge a, ich = 0, 1, 2..., mit = 0, die Folge, die durch p (x) = 1 und definiert ist

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für n ≥ 1, ist des binomischen Typs, und jede Folge des binomischen Typs ist dieser Form. Dieses Ergebnis ist wegen Alessandro di Bucchianicos (sieh Verweisungen unten).

Charakterisierung durch das Erzeugen von Funktionen

Polynomische Folgen des binomischen Typs sind genau diejenigen, deren erzeugende Funktionen (nicht notwendigerweise konvergent) Macht-Reihe der Form formell

sind:

wo f (t) eine formelle Macht-Reihe ist, deren unveränderlicher Begriff Null ist, und dessen Begriff des ersten Grades nicht Null ist. Es kann durch den Gebrauch der Version der Macht-Reihe der Formel von Faà di Bruno das gezeigt werden

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Der Delta-Maschinenbediener der Folge ist f (D), so dass

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Eine Weise, an diese Erzeugen-Funktionen zu denken

Die Koeffizienten im Produkt von zwei formellen Macht-Reihen

:und:

sind

:

(sieh auch Produkt von Cauchy). Wenn wir an x als ein Parameter denken, der eine Familie solcher Macht-Reihe mit einem Inhaltsverzeichnis versieht, dann sagt die binomische Identität tatsächlich, dass die Macht-Reihe, die durch x + y mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, das Produkt von denjenigen ist, die durch x und durch y mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind. So ist der x das Argument für eine Funktion, dass Karten zu Produkten resümieren: eine Exponentialfunktion

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wo f (t) die Form oben geben ließ.

Zusammensetzung von Umbral von polynomischen Folgen

Der Satz aller polynomischen Folgen des binomischen Typs ist eine Gruppe, in der die Gruppenoperation "umbral Zusammensetzung" von polynomischen Folgen ist. Diese Operation wird wie folgt definiert. Denken Sie {p (x): n = 0, 1, 2, 3...} und {q (x): n = 0, 1, 2, 3...} sind polynomische Folgen und

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Dann ist die umbral Komposition p o q die polynomische Folge, deren n-ter Begriff ist

:

(die Subschrift n erscheint in p, da das der n Begriff dieser Folge, aber nicht in q ist, da sich das auf die Folge als Ganzes aber nicht einen seiner Begriffe bezieht).

Mit dem Delta-Maschinenbediener, der durch eine Macht-Reihe in D als oben definiert ist, ist die natürliche Bijektion zwischen Delta-Maschinenbedienern und polynomischen Folgen des binomischen Typs, der auch oben definiert ist, ein Gruppenisomorphismus, in dem die Gruppenoperation auf der Macht-Reihe formelle Zusammensetzung der formellen Macht-Reihe ist.

Cumulants und Momente

Die Folge κ Koeffizienten der Begriffe des ersten Grades in einer polynomischen Folge des binomischen Typs kann der cumulants der polynomischen Folge genannt werden. Es kann gezeigt werden, dass die ganze polynomische Folge des binomischen Typs durch seinen cumulants in einem in betiteltem cumulant des Artikels besprochenen Weg bestimmt wird. So

: der n-te cumulant

und

: der n-te Moment.

Das ist "formeller" cumulants und "formelle" Momente, im Vergleich mit cumulants eines Wahrscheinlichkeitsvertriebs und Momente eines Wahrscheinlichkeitsvertriebs.

Lassen Sie

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seien Sie die (formelle) Cumulant-Erzeugen-Funktion. Dann

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ist der Delta-Maschinenbediener, der mit der polynomischen Folge vereinigt ist, d. h. wir haben

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Anwendungen

Das Konzept des binomischen Typs hat Anwendungen in combinatorics, Wahrscheinlichkeit, Statistik und einer Vielfalt anderer Felder.

Siehe auch

• Liste von factorial und binomischen Themen
• Binom-QMF (Elementarwelle-Filter von Daubechies)
• G.-C. Abwechselnder Dienst, D. Kahaner und A. Odlyzko, "Begrenzte Maschinenbediener-Rechnung," Zeitschrift der Mathematischen Analyse und seine Anwendungen, vol. 42, Nr. 3, Juni 1973. Nachgedruckt im Buch mit demselben Titel, Akademischer Presse, New York, 1975.
• R. Mullin und G.-C. Abwechselnder Dienst, "Auf den Fundamenten der Kombinatorischen Theorie III: Theorie der Binomischen Enumeration," in der Graph-Theorie und Seinen Anwendungen, die von Bernard Harris, Akademischer Presse, New York, 1970 editiert sind.

Wie der Titel darauf hinweist, ist der zweite vom obengenannten ausführlich über Anwendungen auf die kombinatorische Enumeration.

• di Bucchianico, Alessandro. Probabilistic und Analytical Aspects der Umbral Rechnung, Amsterdams, CWI, 1997.