In der Mathematik ist eine binäre Beziehung R über einen Satz X wenn transitiv, wann auch immer ein Element mit einem Element b, und b verbunden zu sein, der Reihe nach mit einem Element c verbunden sind, dann auch mit c verbunden zu sein.

In der mathematischen Syntax:

Transitivity ist ein Schlüsseleigentum sowohl von teilweisen Ordnungsbeziehungen als auch von Gleichwertigkeitsbeziehungen.

Beispiele

Zum Beispiel, "ist größer als," "ist mindestens so groß, wie," und "" (der Gleichheit) gleich ist, sind transitive Beziehungen:

: wann auch immer > B und B > C, dann auch > C

: wann auch immer ≥ B und B ≥ C, dann auch ≥ C

: wann auch immer = B und B = C, dann auch = C.

Andererseits, "ist die Mutter" ist nicht eine transitive Beziehung, weil, wenn Alice die Mutter von Brenda ist, und Brenda die Mutter von Claire ist, dann ist Alice nicht die Mutter von Claire. Hinzu kommt noch, dass es antitransitiv ist: Alice kann die Mutter von Claire nie sein.

Andererseits in der Biologie müssen wir häufig Mutterschaft über eine beliebige Zahl von Generationen denken: Die Beziehung "ist ein matrilinear Vorfahr". Das ist eine transitive Beziehung. Genauer ist es der transitive Verschluss der Beziehung "ist die Mutter".

Mehr Beispiele von transitiven Beziehungen:

• "ist eine Teilmenge" (Satz-Einschließung)
• "teilt" "sich" (Teilbarkeit)
• "bezieht" (Implikation) "ein"

Verschluss-Eigenschaften

Die gegenteilige von einer transitiven Beziehung ist immer transitiv: Z.B das Wissen, das "eine Teilmenge ist", ist transitiv, und "ist eine Obermenge" ist sein gegenteiliges, wir können beschließen, dass der Letztere ebenso transitiv ist.

Die Kreuzung von zwei transitiven Beziehungen ist immer transitiv: Das Wissen, das "vorher" geboren gewesen ist und, "hat denselben Vornamen, wie" transitiv sind, können wir beschließen, dass "vorher geboren gewesen ist und auch denselben Vornamen hat, wie" auch transitiv ist.

Die Vereinigung von zwei transitiven Beziehungen ist nicht immer transitiv. Zum Beispiel "ist vorher geboren gewesen oder hat denselben Vornamen, wie" nicht allgemein eine transitive Beziehung ist.

Die Ergänzung einer transitiven Beziehung ist nicht immer transitiv. Zum Beispiel, während "gleich" transitiv ist, "nicht gleich" ist nur auf Sätzen mit höchstens einem Element transitiv.

Andere Eigenschaften, die transitivity verlangen

• Vorordnung - eine reflexive transitive Beziehung
• teilweise Ordnung - eine antisymmetrische Vorordnung
• Gesamtvorordnung - eine Gesamtvorordnung
• Gleichwertigkeitsbeziehung - eine symmetrische Vorordnung
• Strenge schwache Einrichtung - eine strenge teilweise Ordnung, in der incomparability eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist
• Gesamteinrichtung - eine ganze, antisymmetrische transitive Beziehung

Das Aufzählen transitiver Beziehungen

Verschieden von anderen Beziehungseigenschaften ist keine allgemeine Formel, die die Zahl von transitiven Beziehungen auf einem begrenzten Satz aufzählt, bekannt. Jedoch gibt es eine Formel, für die Zahl von Beziehungen zu finden, die gleichzeitig reflexiv, symmetrisch, und - mit anderen Worten, Gleichwertigkeitsbeziehungen - diejenigen transitiv sind, die symmetrisch und, diejenigen transitiv sind, die symmetrisch, transitiv, und, und diejenigen antisymmetrisch sind, die ganz, transitiv, und antisymmetrisch sind. Pfeiffer hat einige Fortschritte in dieser Richtung gemacht, Beziehungen mit Kombinationen dieser Eigenschaften in Bezug auf einander ausdrückend, aber noch ist das Berechnen von irgend jemandem schwierig. Siehe auch.

Beispiele

• Gleichheit
• weniger/größer als (oder gleich)
• Einschließung von Sätzen
• Ungleichheit ist nicht transitiver
• ein Vorfahr dessen zu sein, ist transitiver
• ein Elternteil dessen zu sein, ist nicht transitiver

Siehe auch

• Transitiver Verschluss
• Die transitive Verminderung
• Intransitivity
• Reflexive Beziehung
• Symmetrische Beziehung
• Quasitransitive Beziehung

Referenzen

• Getrennte und Kombinatorische Mathematik - die Fünfte Ausgabe - durch die internationale Standardbuchnummer von Ralph P. Grimaldi 0-201-19912-2

Links

• Transitivity in der Handlung an der Knoten-Kürzung