In der Tensor-Analyse ist ein Mischtensor ein Tensor, der weder ausschließlich kovariant noch ausschließlich kontravariant ist; mindestens ein der Indizes eines Mischtensor werden eine (kovariante) Subschrift sein, und mindestens ein der Indizes werden ein Exponent (Kontravariante) sein.

Ein Mischtensor des Typs, auch schriftlicher "Typ (M, N)", sowohl mit M> 0 als auch mit N> 0, ist ein Tensor, der M kontravariante Indizes und N kovariante Indizes hat. Solcher Tensor kann als eine geradlinige Funktion definiert werden, die M+N-tuple der M eine Formen und N Vektoren zu einem Skalar kartografisch darstellt.

Index, der erhebt und sinkt

Denken Sie das folgende Oktett des zusammenhängenden Tensor:

T_\alpha {} ^ {\\Beta \gamma}, \T^\\Alpha {} _ {\\Beta \gamma}, \T^\\Alpha {} _ \beta {} ^\\Gamma, \

T^ {\\Alpha \beta} {} _ \gamma, \T^ {\\Alpha \beta \gamma} </Mathematik>.

Der erste, ist die letzte-Kontravariante und die restlichen gemischten kovariant. Notationally, dieser Tensor unterscheidet sich von einander durch die Kovarianz/Kontravarianz ihrer Indizes. Ein gegebener kontravarianter Index eines Tensor kann mit dem metrischen Tensor g gesenkt werden, und ein gegebener kovarianter Index kann mit dem umgekehrten metrischen Tensor g erhoben werden. So konnte g den Index-Senken-Maschinenbediener und g den Index-Aufhebungsmaschinenbediener genannt werden.

Allgemein, der kovariante metrische Tensor, der mit einem Tensor des Typs zusammengezogen ist (M, N), gibt einen Tensor des Typs nach, wohingegen sein kontravariantes Gegenteil, das mit einem Tensor des Typs zusammengezogen ist, einen Tensor des Typs nachgibt.

Beispiele

Als ein Beispiel kann ein Mischtensor des Typs (1, 2) durch die Aufhebung eines Index eines kovarianten Tensor des Typs (0, 3), erhalten werden

wo derselbe Tensor wie, weil ist

mit Kronecker δ, der hier wie eine Identitätsmatrix handelt.

Ebenfalls,

Die Aufhebung eines Index des metrischen Tensor ist zum Zusammenziehen davon mit seinem Gegenteil gleichwertig, das Delta von Kronecker, nachgebend

so wird jede Mischversion des metrischen Tensor dem Delta von Kronecker gleich sein, das auch gemischt wird.

Siehe auch

• Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren
• Tensor (innere Definition)
• Zwei-Punkte-Tensor