Fugenbrett von Bézier

Im mathematischen Feld der numerischen Analyse und in der Computergrafik ist ein Fugenbrett von Bézier eine Spline-Kurve, wo jedes Polynom des Fugenbrettes in der Form von Bézier ist.

Mit anderen Worten ist ein Fugenbrett von Bézier einfach eine Reihe von Kurven von Bézier angeschlossen der Länge nach, wo der letzte Punkt einer Kurve mit dem Startpunkt der folgenden Kurve zusammenfällt. Gewöhnlich kubische Kurven von Bézier werden verwendet, und zusätzliche Kontrollpunkte (genannt Griffe) werden hinzugefügt, um die Gestalt jeder Kurve zu definieren.

Definition

In Anbetracht eines Fugenbrettes S des Grads n mit k Knoten x können wir das Fugenbrett als ein Fugenbrett von Bézier als schreiben:

S (x): = \left\{\

\begin {Matrix-}\

S_0 (x): = & \sum_ {\\nu=0} ^ {n} \beta_ {\\nu, 0\b_ {\\nu, n\(x) & x \in [x_0, x_1) \\

S_1 (x): = & \sum_ {\\nu=0} ^ {n} \beta_ {\\nu, 1\b_ {\\nu, n\(x - x_1) & x \in [x_1, x_2) \\

\vdots & \vdots \\

S_ {k-2} (x): = & \sum_ {\\nu=0} ^ {n} \beta_ {\\nu, k-2} b_ {\\nu, n\(x - x_ {k-2}) & x \in [x_ {k-2}, x_ {k-1}] \\

\end {Matrix-}\\Recht.

</Mathematik>

Das Approximieren kreisförmigen Kreisbogen

Im Falle dass kreisförmige Kreisbogen-Primitive in einer besonderen Umgebung nicht unterstützt werden, kann ihnen durch Kurven von Bézier näher gekommen werden. Allgemein werden vier Kubiksegmente verwendet, um einem Kreis näher zu kommen. Es ist wünschenswert, die Länge von Kontrollpunkten zu finden, die auf kleinsten Annäherungsfehler hinauslaufen.

Das Verwenden von vier Kurven

Nur den mit der Einheit kreisförmigen 90-Grade-Kreisbogen im ersten Quadranten denkend, definieren wir die Endpunkte und mit Kontrollpunkten und beziehungsweise als:

:\begin {richten }\aus

\mathbf & = [0, 1] \\

\mathbf {'} & = [\mathbf {k}, 1] \\

\mathbf {B'} & = [1, \mathbf {k}] \\

\mathbf {B} & = [1, 0] \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Aus der Definition der Kubikkurve von Bézier haben wir:

:

Mit dem Punkt als der Mittelpunkt des Kreisbogens können wir die folgenden zwei Gleichungen schreiben:

:\begin {richten }\aus

\mathbf {C} &= \frac {1} {8 }\\mathbf + \frac {3} {8 }\\mathbf {'} + \frac {3} {8 }\\mathbf {B'} + \frac {1} {8 }\\mathbf {B} \\

\mathbf {C} &= \sqrt {1/2} = \sqrt {2}/2

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Lösen dieser Gleichungen für die X-Koordinate (und identisch für die Y-Koordinate) Erträge:

::

Allgemeiner Fall

Wir können einen Kreis des Radius von einer beliebigen Zahl von Kubikkurven von Bézier zusammensetzen.

Lassen Sie den Kreisbogen am Punkt und Ende am Punkt anfangen, der in gleichen Entfernungen oben und unter der X-Achse gelegt ist, einen Kreisbogen des Winkels abmessend:

:

\mathbf {Ein} _x &= \cos (\phi) \\

\mathbf {Ein} _y &= \sin (\phi) \\

\mathbf {B} _x &= \mathbf {Ein} _x \\

\mathbf {B} _y &=-\mathbf {Ein} _y

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Kontrollpunkte können als geschrieben werden:

:

\mathbf {'} _x &= \frac {4 - \mathbf {Ein} _x} {3} \\

\mathbf {'} _y &= \frac {(1 - \mathbf {Ein} _x) (3 - \mathbf {Ein} _x)} {3\mathbf {Ein} _y} \\

\mathbf {B'} _x &= \mathbf {'} _x \\

\mathbf {B'} _y &=-\mathbf {'} _y

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Beispiele

File:Circle und spitzt quadratisches bezier.svg|Eight-Segment quadratisches Fugenbrett von Bézier (das rote) Approximieren einem mit der Kontrolle (schwarzen) Kreis an

File:Circle und spitzt Kubikbezier.svg|Four-Segment Kubikfugenbrett von Bézier (das rote) Approximieren einem mit der Kontrolle (schwarzen) Kreis an

</Galerie>

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