Ein getrennter Hartley verwandelt sich (DHT) ist ein Fourier-zusammenhängender verwandeln sich von getrennten, periodischen Daten, die dem getrennten Fourier verwandelt sich (DFT), mit analogen Anwendungen in der Signalverarbeitung und den verwandten Feldern ähnlich sind. Seine Hauptunterscheidung vom DFT ist, dass er echte Eingänge in echte Produktionen ohne innere Beteiligung von komplexen Zahlen umgestaltet. Da der DFT die getrennte Entsprechung des dauernden Fouriers ist, verwandeln sich, der DHT ist die getrennte Entsprechung des dauernden Hartleys verwandeln sich, eingeführt von R. V. L. Hartley 1942.

Weil es schnelle Algorithmen für das DHT analoge dem schnellen Fourier verwandelt sich (FFT) gibt, wurde der DHT von R. N. Bracewell 1983 als ein effizienteres rechenbetontes Werkzeug im allgemeinen Fall ursprünglich vorgeschlagen, wo die Daten rein echt sind. Es wurde nachher jedoch behauptet, dass FFT Algorithmen für echte Eingänge spezialisiert hat oder Produktionen normalerweise mit ein bisschen weniger Operationen gefunden werden können als jeder entsprechende Algorithmus für den DHT (sieh unten).

Definition

Formell, der getrennte Hartley verwandeln sich ist ein geradliniger, invertible Funktion H: R R (wo R den Satz von reellen Zahlen anzeigt). Die N reellen Zahlen x...., x werden in die N reellen Zahlen H..., H gemäß der Formel umgestaltet

:

\quad \quad

k = 0, \dots, n-1 </Mathematik>.

Die Kombination wird manchmal angezeigt, und sollte mit gegenübergestellt werden, der in der DFT Definition erscheint (wo ich die imaginäre Einheit bin).

Als mit dem DFT ist der gesamte Einteilungsfaktor vor dem Umgestalten und dem Zeichen des Sinus-Begriffes eine Sache der Tagung. Obwohl sich diese Vereinbarung gelegentlich zwischen Autoren ändert, betreffen sie die wesentlichen Eigenschaften des Umgestaltens nicht.

Eigenschaften

Das Umgestalten kann als die Multiplikation des Vektoren (x...., x) durch eine N-by-N Matrix interpretiert werden; deshalb, der getrennte Hartley verwandeln sich ist ein geradliniger Maschinenbediener. Die Matrix ist invertible; die umgekehrte Transformation, die erlaubt, den x vom H wieder zu erlangen, ist einfach der DHT von mit 1/N multipliziertem H. D. h. der DHT ist sein eigenes Gegenteil (involutary) bis zu einem gesamten Einteilungsfaktor.

Der DHT kann verwendet werden, um den DFT, und umgekehrt zu schätzen. Für echte Eingänge x hat die DFT Produktion X einen echten Teil (H + H)/2 und einen imaginären Teil (H - H)/2. Umgekehrt ist der DHT zur Computerwissenschaft des DFT von x gleichwertig, der mit 1+i multipliziert ist, dann den echten Teil des Ergebnisses nehmend.

Als mit dem DFT eine zyklische Gehirnwindung z = x*y zwei Vektoren x = (x) und y = (y), um einen Vektoren z = zu erzeugen, wird (z), die ganze Länge N, eine einfache Operation nach dem DHT. Insbesondere nehmen Sie an, dass die Vektoren X, Y, und Z den DHT von x, y, und z beziehungsweise anzeigen. Dann wird durch die Elemente von Z gegeben:

:

Z_k & = & \left [X_k \left (Y_k + Y_ {N-k} \right)

+ X_ {N-k} \left (Y_k - Y_ {N-k} \right) \right] / 2

\\

Z_ {N-k} & = & \left [X_ {N-k} \left (Y_k + Y_ {N-k} \right)

- X_k \left (Y_k - Y_ {N-k} \right) \right] / 2

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

wo wir alle Vektoren nehmen, um in N (X = X, et cetera) periodisch zu sein. So, gerade als der DFT eine Gehirnwindung in eine pointwise Multiplikation von komplexen Zahlen (Paare von echten und imaginären Teilen) umgestaltet, gestaltet der DHT eine Gehirnwindung in eine einfache Kombination von Paaren von echten Frequenzbestandteilen um. Der umgekehrte DHT gibt dann den gewünschten Vektoren z nach. Auf diese Weise gibt ein schneller Algorithmus für den DHT (sieh unten) einen schnellen Algorithmus für die Gehirnwindung nach. (Bemerken Sie, dass das ein bisschen teurer ist als das entsprechende Verfahren für den DFT, nicht einschließlich der Kosten des Umgestaltens unten, weil die pairwise Operation oben 8 echt-arithmetische Operationen im Vergleich zu 6 einer komplizierten Multiplikation verlangt. Diese Zählung schließt die Abteilung durch 2 nicht ein, der z.B in die 1/N Normalisierung des umgekehrten DHT absorbiert werden kann.)

Schnelle Algorithmen

Ebenso für den DFT, die DHT Definition bewertend, würde direkt O (N) arithmetische Operationen verlangen (sieh Große O Notation). Es gibt schnelle Algorithmen, die dem FFT jedoch ähnlich sind, die rechnen, dasselbe laufen nur O hinaus (N loggen N) Operationen. Fast jeder FFT Algorithmus, von Cooley-Tukey bis Hauptfaktor zu Winograd (Sorensen u. a. 1985) Bruun (Bini &amp; Bozzo, 1993), hat eine direkte Entsprechung für den getrennten Hartley verwandeln sich. (Jedoch sind einige der exotischeren FFT Algorithmen, wie der QFT, im Zusammenhang des DHT noch nicht untersucht worden.)

Insbesondere die DHT Entsprechung des Cooley-Tukey Algorithmus ist als der Algorithmus von Fast Hartley Transform (FHT) allgemein bekannt, und wurde zuerst von Bracewell 1984 beschrieben. Dieser FHT Algorithmus, mindestens wenn angewandt, auf power-two Größen N, ist das Thema der offenen USA-Nummer 4,646,256, ausgegeben 1987 zur Universität von Stanford. Stanford hat dieses Patent ins öffentliche Gebiet 1994 (Bracewell, 1995) gelegt.

Wie oben erwähnt sind DHT Algorithmen normalerweise (in Bezug auf die Zahl von Schwimmpunkt-Operationen) ein bisschen weniger effizient als der entsprechende DFT Algorithmus (FFT), der für echte Eingänge (oder Produktionen) spezialisiert ist. Das wurde zuerst von Sorensen diskutiert u. a. (1987) und Duhamel & Vetterli (1987). Die letzten Autoren haben erhalten, was scheint, die niedrigste veröffentlichte Operation zu sein, sind den DHT von power-two Größen wert, einen Algorithmus der Spalt-Basis verwendend (ähnlich der Spalt-Basis FFT), der einen DHT der Länge N in einen DHT der Länge N/2 und zwei echter Eingang DFTs (nicht DHTs) der Länge N/4 bricht. Auf diese Weise haben sie behauptet, dass ein DHT der power-two Länge mit, bestenfalls, noch 2 Hinzufügungen geschätzt werden kann als die entsprechende Zahl von arithmetischen Operationen wegen des echten Eingangs DFT.

Auf heutigen Computern wird Leistung mehr durch das geheime Lager und die Zentraleinheitsrohrleitungsrücksichten bestimmt als von strengen Operationszählungen, und ein geringer Unterschied in arithmetischen Kosten wird kaum bedeutend sein. Seit FHT und echtem Eingang haben FFT Algorithmen ähnliche rechenbetonte Strukturen, keiner scheint, einen wesentlichen a priori Geschwindigkeitsvorteil (Popovic und Sevic, 1994) zu haben. Als eine praktische Sache hoch optimierter echter Eingang sind FFT Bibliotheken von vielen Quellen verfügbar (z.B von Zentraleinheitsverkäufern wie Intel), wohingegen hoch optimierte DHT Bibliotheken weniger üblich sind.

Andererseits ist die überflüssige Berechnung im FFTS wegen echter Eingänge schwieriger, für großen ersten N zu beseitigen, trotz der Existenz von O (N loggen N) Algorithmen der komplizierten Daten für solche Fälle, weil die Redundanzen hinter komplizierten Versetzungen und/oder Phase-Folgen in jenen Algorithmen verborgen werden. Im Gegensatz kann eine Standardhauptgröße FFT Algorithmus, der Algorithmus von Rader, auf den DHT von echten Daten für grob einen Faktor zwei weniger Berechnung direkt angewandt werden als dieser der gleichwertigen komplizierten FFT (Frigo und Johnson, 2005). Andererseits ist eine non-DHT-based Anpassung des Algorithmus von Rader für den echten Eingang DFTs auch möglich (Chu &amp; Burrus, 1982).

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