In der Differenzialgeometrie ist das Tangente-Bündel einer Differentiable-SammelleitungsM die zusammenhanglose Vereinigung der Tangente-Räume der M. Das, ist

wo TM den Tangente-Raum zur M am Punkt x anzeigt. Also, von einem Element von TM kann als ein Paar gedacht werden (x, v), wo x ein Punkt in der M ist und v ein Tangente-Vektor zur M an x ist. Es gibt einen natürlichen Vorsprung

definiert durch π (x, v) = x. Dieser Vorsprung stellt jeden Tangente-Raum TM zum einzelnen Punkt x kartografisch dar.

Das Tangente-Bündel zu einer Sammelleitung ist das archetypische Beispiel eines Vektor-Bündels (ein Faser-Bündel, dessen Fasern Vektorräume sind). Eine Abteilung von TM ist ein Vektorfeld auf der M, und das Doppelbündel zu TM ist das Kotangens-Bündel, das die zusammenhanglose Vereinigung der Kotangens-Räume der M ist. Definitionsgemäß ist eine mannigfaltige M parallelizable, wenn, und nur wenn das Tangente-Bündel trivial ist.

Definitionsgemäß wird eine mannigfaltige M eingerahmt, wenn, und nur wenn das Tangente-Bündel TM stabil trivial ist, bedeutend, dass für ein triviales Bündel E die Summe von Whitney trivial ist. Zum Beispiel wird der n-dimensional Bereich S für den ganzen n, aber parallelizable nur für n=1,3,7 (durch Ergebnisse von Bott-Milnor und Kervaire) eingerahmt.

Rolle

Die Hauptrolle des Tangente-Bündels soll ein Gebiet und Reihe für die Ableitung einer glatten Funktion zur Verfügung stellen. Nämlich, wenn eine glatte Funktion, mit und glatte Sammelleitungen ist, ist seine Ableitung eine glatte Funktion.

Topologie und glatte Struktur

Das Tangente-Bündel kommt ausgestattet mit einer natürlichen Topologie (nicht die zusammenhanglose Vereinigungstopologie) und glatte Struktur, um es in eine Sammelleitung in seinem eigenen Recht zu machen. Die Dimension von TM ist zweimal die Dimension der M.

Jeder Tangente-Raum einer N-Dimensional-Sammelleitung ist ein n-dimensional Vektorraum. Wenn U eine offene contractible Teilmenge der M ist, dann gibt es einen diffeomorphism von TU bis U × R, der auf einen geradlinigen Isomorphismus von jedem Tangente-Raum TU zu {x} &times einschränkt; R. Als eine Sammelleitung, jedoch, ist TM nicht immer diffeomorphic zur ProduktsammelleitungsM × R. Wenn es der Form M &times ist; R, dann, wie man sagt, ist das Tangente-Bündel trivial. Triviale Tangente-Bündel kommen gewöhnlich für mit einer 'vereinbaren Gruppenstruktur ausgestattete Sammelleitungen' vor; zum Beispiel, im Fall, wo die Sammelleitung eine Lüge-Gruppe ist. Das Tangente-Bündel des Einheitskreises ist trivial, weil es eine Lüge-Gruppe (unter der Multiplikation und seiner natürlichen Differenzialstruktur) ist. Es ist jedoch nicht wahr, dass alle Räume mit trivialen Tangente-Bündeln Lüge-Gruppen sind; Sammelleitungen, die ein triviales Tangente-Bündel haben, werden parallelizable genannt. Da Sammelleitungen auf dem Euklidischen Raum lokal modelliert werden, werden Tangente-Bündel auf U &times lokal modelliert; R, wo U eine offene Teilmenge des Euklidischen Raums ist.

Wenn M eine glatte N-Dimensional-Sammelleitung ist, dann kommt sie ausgestattet mit einem Atlas von Karten (U, φ), wo U ein offener Satz in der M und dem ist

ist ein diffeomorphism. Diese lokalen Koordinaten auf U verursachen einen Isomorphismus zwischen TM und R für jeden x  U. Wir können dann eine Karte definieren

durch

Wir verwenden diese Karten, um die Topologie und glatte Struktur auf TM zu definieren. Eine Teilmenge TM ist offen, wenn, und nur wenn in R für jeden α offen ist. Diese Karten sind dann homeomorphisms zwischen offenen Teilmengen von TM und R und dienen deshalb als Karten für die glatte Struktur auf TM. Die Übergang-Funktionen auf Karte-Übergreifen werden durch Jacobian matrices der verbundenen Koordinatentransformation veranlasst und sind deshalb glatte Karten zwischen offenen Teilmengen von R.

Das Tangente-Bündel ist ein Beispiel eines allgemeineren Aufbaus genannt ein Vektor-Bündel (der selbst eine spezifische Art des Faser-Bündels ist). Ausführlich kann das Tangente-Bündel zu einer N-Dimensional-SammelleitungsM als eine Reihe n Vektor-Bündel über die M definiert werden, deren Übergang-Funktionen von Jacobian der verbundenen Koordinatentransformationen gegeben werden.

Beispiele

Das einfachste Beispiel ist das von R. In diesem Fall ist das Tangente-Bündel trivial.

Ein anderes einfaches Beispiel ist der Einheitskreis, S (sieh Bild oben). Das Tangente-Bündel des Kreises ist auch trivial und zu S &times isomorph; R. Geometrisch ist das ein Zylinder der unendlichen Höhe (sieh das unterste Bild).

Die einzigen Tangente-Bündel, die sogleich vergegenwärtigt werden können, sind diejenigen der echten Linie R und des Einheitskreises S, von denen beide trivial sind. Für 2-dimensionale Sammelleitungen ist das Tangente-Bündel 4-dimensional und folglich schwierig sich zu vergegenwärtigen.

Ein einfaches Beispiel eines nichttrivialen Tangente-Bündels ist das des Einheitsbereichs S: Dieses Tangente-Bündel ist demzufolge des haarigen Ball-Lehrsatzes nichttrivial. Deshalb ist der Bereich nicht parallelizable.

Vektorfelder

Eine glatte Anweisung eines Tangente-Vektoren zu jedem Punkt einer Sammelleitung wird ein Vektorfeld genannt. Spezifisch ist ein Vektorfeld auf einer mannigfaltigen M eine glatte Karte

solch, dass das Image von x, angezeigt V, in TM, dem Tangente-Raum an x liegt. Auf der Sprache von Faser-Bündeln wird solch eine Karte eine Abteilung genannt. Ein Vektorfeld auf der M ist deshalb eine Abteilung des Tangente-Bündels der M.

Der Satz aller Vektorfelder auf der M wird durch Γ (TM) angezeigt. Vektorfelder können zusammen pointwise hinzugefügt werden

:

und multipliziert mit glatten Funktionen auf der M

andere Vektorfelder zu bekommen. Der Satz aller Vektorfelder Γ (TM) übernimmt dann die Struktur eines Moduls über die Ersatzalgebra von glatten Funktionen auf der M, hat C (M) angezeigt.

Ein lokales Vektorfeld auf der M ist eine lokale Abteilung des Tangente-Bündels. D. h. ein lokales Vektorfeld wird nur auf einem offenen Satz U in der M definiert und teilt jedem Punkt von U einen Vektoren im verbundenen Tangente-Raum zu. Der Satz von lokalen Vektorfeldern auf der M Formen eine Struktur, die als ein Bündel von echten Vektorräumen auf der M bekannt ist.

Höherwertige Tangente-Bündel

Da das Tangente-Bündel selbst eine glatte Sammelleitung ist, kann das Tangente-Bündel der zweiten Ordnung über die wiederholte Anwendung des Tangente-Bündel-Aufbaus definiert werden:

Im Allgemeinen kann das Th-Ordnungstangente-Bündel rekursiv als definiert werden.

Eine glatte Karte hat eine veranlasste Ableitung, für die das Tangente-Bündel das passende Gebiet und die Reihe ist. Ähnlich stellen höherwertige Tangente-Bündel das Gebiet und die Reihe für höherwertige Ableitungen zur Verfügung.

Ein verschiedener, aber zusammenhängender Aufbau ist die Strahlbündel auf einer Sammelleitung, die Bündel sind, die aus Strahlen bestehen.

Kanonisches Vektorfeld auf dem Tangente-Bündel

Auf jedem Tangente-Bündel-TM kann man ein kanonisches Vektorfeld definieren. Wenn (x, v) lokale Koordinaten für TM sind, hat das Vektorfeld den Ausdruck

Ziehen Sie wechselweise in Betracht, um die Skalarmultiplikationsfunktion zu sein. Die Ableitung dieser Funktion in Bezug auf die Variable in der Zeit ist eine Funktion, die eine alternative Beschreibung des kanonischen Vektorfeldes ist.

Die Existenz solch eines Vektorfeldes auf TM kann im Vergleich zur Existenz einer kanonischen 1 Form auf dem Kotangens-Bündel sein. Manchmal V wird auch das Vektorfeld von Liouville oder radiales Vektorfeld genannt. Das Verwenden V kann man das Tangente-Bündel charakterisieren. Im Wesentlichen, V kann mit 4 Axiomen charakterisiert werden, und wenn eine Sammelleitung ein Vektorfeld hat, das diese Axiome befriedigt, dann ist die Sammelleitung ein Tangente-Bündel, und das Vektorfeld ist das kanonische Vektorfeld darauf. Sieh zum Beispiel, De León und al.

Heben

Es gibt verschiedene Weisen, Gegenstände auf der M in Gegenstände auf TM zu heben. Zum Beispiel, wenn c eine Kurve in der M ist, dann ist c' (die Tangente von c) eine Kurve in TM. Lassen Sie uns darauf hinweisen, dass ohne weitere Annahmen auf der M (sagen Riemannian metrisch), es kein ähnliches Heben ins Kotangens-Bündel gibt.

Das vertikale Heben einer Funktion

ist die durch definierte Funktion

, wo der ist

kanonischer Vorsprung.

Siehe auch

• pushforward (Differenzial)
• Einheitstangente stopft
• Kotangens-Bündel
• entwickeln Sie sich stopfen
• Musikisomorphismus

Referenzen

• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 978-0-8218-4815-9
• John M. Lee, Einführung, um Sammelleitungen, (2003) Springer-Verlag, New York Zu glätten. Internationale Standardbuchnummer 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometrie und Geometrische Analyse, (2002) Springer-Verlag, Berlin. Internationale Standardbuchnummer 3-540-42627-2
• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Fundamente der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, Londons. Internationale Standardbuchnummer 0 8053 0102 X
• M. De León, E. Merinoschaf, J.A. Oubiña, M. Salgado, Eine Charakterisierung der Tangente und stabilen Tangente-Bündel, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Körperbau théorique, Vol. 61, Nr. 1, 1994, 1-15

Links

• Wolfram MathWorld: Tangente-Bündel
• PlanetMath: Tangente-Bündel