In der numerischen Analyse sind die Runge-Kutta Methoden eine wichtige Familie von impliziten und ausführlichen wiederholenden Methoden für die Annäherung von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen. Diese Techniken wurden 1900 von den deutschen Mathematikern C. Runge und M.W. Kutta entwickelt.

Sieh den Artikel über numerische gewöhnliche Differenzialgleichungen für mehr Hintergrund und andere Methoden. Siehe auch Liste von Runge-Kutta Methoden.

Allgemeine vierte Ordnung Runge-Kutta Methode

Ein Mitglied der Familie von Runge-Kutta Methoden wird so allgemein verwendet, dass sie häufig "RK4", "klassische Runge-Kutta Methode" oder einfach als "die Runge-Kutta Methode'" genannt wird.

Lassen Sie ein Anfangswert-Problem wie folgt angegeben werden.

:

In Wörtern, was das bedeutet, ist, dass die Rate, an der sich y ändert, eine Funktion von y selbst und von t (Zeit) ist. Am Anfang ist Zeit, und y ist. In der Gleichung kann y ein Skalar oder ein Vektor sein.

Die RK4 Methode für dieses Problem wird durch die folgenden Gleichungen gegeben:

:

y_ {n+1} &= y_n + \tfrac {1} {6} \left (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) \\

t_ {n+1} &= t_n + h \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo die RK4 Annäherung, und ist

:

\begin {richten }\aus

k_1 &= hf (t_n, y_n),

\\

k_2 &= hf (t_n + \tfrac {1} {2} h, y_n + \tfrac {1} {2} k_1),

\\

k_3 &= hf (t_n + \tfrac {1} {2} h, y_n + \tfrac {1} {2} k_2),

\\

k_4 &= hf (t_n + h, y_n + k_3).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

So wird der folgende Wert durch den aktuellen Wert plus der gewogene Mittelwert von vier Zunahme bestimmt, wo jede Zunahme das Produkt der Größe des Zwischenraums, h, und ein geschätzter Hang ist, der durch die Funktion f auf der rechten Seite der Differenzialgleichung angegeben ist.

• ist die Zunahme, die auf dem Hang am Anfang des Zwischenraums, Verwendens, (die Methode von Euler) gestützt ist;

• ist die Zunahme, die auf dem Hang am Mittelpunkt des Zwischenraums, damit gestützt ist;

• ist wieder die Zunahme, die auf dem Hang am Mittelpunkt, aber jetzt Verwenden gestützt ist;

• ist die Zunahme, die auf dem Hang am Ende des Zwischenraums, damit gestützt ist.

In der Mittelwertbildung der vier Deltas wird größeres Gewicht den Deltas am Mittelpunkt gegeben. Die Gewichte werden solch gewählt, dass, wenn dessen unabhängig ist, so dass die Differenzialgleichung zu einem einfachen Integral dann gleichwertig ist, RK4 die Regierung von Simpson ist.

Die RK4 Methode ist eine Methode der vierten Ordnung, bedeutend, dass der Fehler pro Schritt auf der Ordnung dessen ist, während der angesammelte Gesamtfehler Ordnung hat.

Ausführliche Runge-Kutta Methoden

Die Familie von ausführlichen Runge-Kutta Methoden ist eine Generalisation der RK4 Methode, die oben erwähnt ist. Es wird durch gegeben

:

wo

:::

:::

:

: (Zeichen: Die obengenannten Gleichungen haben verschiedene, aber gleichwertige Definitionen in verschiedenen Texten).

Um eine besondere Methode anzugeben, muss man die ganze Zahl s (die Zahl von Stufen), und die Koeffizienten zur Verfügung stellen (für 1  j (weil ich = 1, 2..., s) und c (weil ich = 2, 3..., s). Die Matrix, die zu sein, die Runge-Kutta Matrix genannt hat, während der b und c als die Gewichte und die Knoten bekannt sind. Diese Daten werden gewöhnlich in einem mnemonischen Gerät eingeordnet, das als ein Gemälde von Butcher (nach John C. Butcher) bekannt ist:

Die Runge-Kutta Methode entspricht wenn

:

Dort begleiten auch Voraussetzungen, wenn wir die Methode verlangen, einen bestimmten Auftrag p zu haben, meinend, dass der lokale Stutzungsfehler O (h) ist. Diese können aus der Definition des Stutzungsfehlers selbst abgeleitet werden. Zum Beispiel hat eine 2-stufige Methode Auftrag 2 wenn b + b = 1, bc = 1/2, und = c.

Beispiele

Die RK4 Methode fällt in diesem Fachwerk. Sein Gemälde ist:

Jedoch ist die einfachste Runge-Kutta Methode die (fortgeschrittene) Methode von Euler, die durch die Formel gegeben ist. Das ist die einzige konsequente ausführliche Runge-Kutta Methode mit einer Bühne. Das entsprechende Gemälde ist:

Methoden der zweiten Ordnung mit zwei Stufen

Ein Beispiel einer Methode der zweiten Ordnung mit zwei Stufen wird durch die Mittelpunkt-Methode zur Verfügung gestellt

:

Das entsprechende Gemälde ist:

Die Mittelpunkt-Methode ist nicht die einzige zweite Ordnung Runge-Kutta Methode mit zwei Stufen. Tatsächlich gibt es eine Familie solcher Methoden, die durch &alpha parametrisiert sind; und gegeben durch die Formel

:

Sein Metzger-Gemälde ist

In dieser Familie, gibt die Mittelpunkt-Methode und ist die Methode von Heun.

Gebrauch

Der folgende ist ein Beispiel-Gebrauch einer zweistufigen ausführlichen Runge-Kutta Methode:

das Anfangswert-Problem zu beheben

:

mit der Schritt-Größe h=0.025.

Das Gemälde gibt oben die gleichwertigen entsprechenden Gleichungen unter dem Definieren der Methode nach

:::

Die numerischen Lösungen entsprechen den unterstrichenen Werten. Bemerken Sie, dass das berechnet worden ist, um Wiederberechnung im s zu vermeiden.

Anpassungsfähige Runge-Kutta Methoden

Die anpassungsfähigen Methoden werden entworfen, um eine Schätzung des lokalen Stutzungsfehlers eines einzelnen Runge-Kutta-Schritts zu erzeugen. Das wird getan, indem es zwei Methoden im Gemälde, ein mit der Ordnung und ein mit der Ordnung gehabt wird.

Der Schritt der niedrigeren Ordnung wird durch gegeben

:

wo von demselben bezüglich der höheren Ordnungsmethode zu sein. Dann ist der Fehler

:

der ist.

Das Metzger-Gemälde für diese Art der Methode wird erweitert, um die Werte zu geben:

Die Runge-Kutta-Fehlberg Methode hat zwei Methoden von Aufträgen 5 und 4. Sein verlängertes Metzger-Gemälde ist:

Jedoch schließt die einfachste anpassungsfähige Runge-Kutta Methode das Kombinieren der Methode von Heun ein, die Auftrag 2 mit der Methode von Euler ist, die Auftrag 1 ist. Sein verlängertes Metzger-Gemälde ist:

Die Fehlerschätzung wird verwendet, um den stepsize zu kontrollieren.

Andere anpassungsfähige Runge-Kutta Methoden sind die Bogacki-Shampine Methode (Aufträge 3 und 2), die Methode von Cash-Karp und die Dormand-Prinz-Methode (beide mit Aufträgen 5 und 4).

Implizite Runge-Kutta Methoden

Alle Runge-Kutta Methoden erwähnt sind bis jetzt ausführliche Methoden. Leider sind ausführliche Runge-Kutta Methoden für die Lösung steifer Gleichungen allgemein unpassend, weil ihr Gebiet der absoluten Stabilität klein ist; insbesondere es wird begrenzt.

Dieses Problem ist in der Lösung teilweiser Differenzialgleichungen besonders wichtig.

Die Instabilität von ausführlichen Runge-Kutta Methoden motiviert die Entwicklung von impliziten Methoden. Eine implizite Runge-Kutta Methode hat die Form

:wo:

Der Unterschied mit einer ausführlichen Methode ist, dass in einer ausführlichen Methode die Summe über j nur zu mir  1 steigt. Das taucht auch im Metzger-Gemälde auf. Für eine implizite Methode ist die mitwirkende Matrix dreieckig nicht notwendigerweise niedriger:

:

\begin {Reihe} {c|cccc }\

c_1 & a_ {11} & a_ {12} & \dots & a_ {1s }\\\

c_2 & a_ {21} & a_ {22} & \dots & a_ {2s }\\\

\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots \\

c_s & a_ {s1} & a_ {s2} & \dots & a_ {ss} \\

\hline

& b_1 & b_2 & \dots & b_s \\

\end {Reihe} =

\begin {Reihe} {c|c }\

\mathbf {c} & \\

\hline

& \mathbf {b^T} \\

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Die Folge dieses Unterschieds ist, dass an jedem Schritt ein System von algebraischen Gleichungen gelöst werden muss. Das vergrößert die rechenbetonten Kosten beträchtlich. Wenn eine Methode mit s Stufen verwendet wird, um eine Differenzialgleichung mit der M Bestandteile zu lösen, dann hat das System von algebraischen Gleichungen Millisekunde-Bestandteile. In constract ein impliziter S-Schritt muss geradlinige Mehrschritt-Methode ein System von algebraischen Gleichungen mit nur s Bestandteile lösen.

Beispiele

Das einfachste Beispiel einer impliziten Runge-Kutta Methode ist die rückwärts gerichtete Methode von Euler:

:

Das Metzger-Gemälde dafür ist einfach:

:\begin {Reihe} {c|c }\

1 & 1 \\

\hline

& 1 \\

\end {ordnen }\</Mathematik>

Dieses Metzger-Gemälde entspricht den Formeln

:

der umgeordnet werden kann, um die Formel für die rückwärts gerichtete Methode von Euler zu bekommen, die oben verzeichnet ist.

Ein anderes Beispiel für eine implizite Runge-Kutta Methode ist die trapezoide Regel. Sein Metzger-Gemälde ist:

:

\begin {Reihe} {c|cc }\

0 & 0& 0 \\

1 & \frac {1} {2} & \frac {1} {2 }\\\

\hline

& \frac {1} {2} &\\frac {1} {2 }\\\

\end {ordnen }\</Mathematik>

Die trapezoide Regel ist eine Kollokationsmethode (wie besprochen, in diesem Artikel). Alle Kollokationsmethoden sind implizite Runge-Kutta Methoden, aber nicht alle impliziten Runge-Kutta Methoden sind Kollokationsmethoden.

Die Methoden von Gauss-Legendre bilden eine Familie von auf der Quadratur von Gauss gestützten Kollokationsmethoden. Eine Methode von Gauss-Legendre mit s Stufen hat Auftrag 2s (so, Methoden mit der willkürlich hohen Ordnung können gebaut werden). Die Methode mit zwei Stufen (und bestellen so vier), hat Metzger-Gemälde:

:\begin {Reihe} {c|cc }\

\frac12 - \frac16 \sqrt3 & \frac14 & \frac14 - \frac16 \sqrt3 \\

\frac12 + \frac16 \sqrt3 & \frac14 + \frac16 \sqrt3 & \frac14 \\

\hline

& \frac12 & \frac12

\end {ordnen }\</Mathematik>

Stabilität

Der Vorteil von impliziten Runge-Kutta Methoden über ausführlichen ist ihre größere Stabilität, besonders wenn angewandt, auf steife Gleichungen. Denken Sie die geradlinige Testgleichung y' = λy. Eine Runge-Kutta auf diese Gleichung angewandte Methode nimmt zur Wiederholung mit durch gegebenem r ab

:

wo e für den Vektoren von eintritt. Die Funktion r wird die Stabilitätsfunktion genannt. Es folgt aus der Formel, dass r der Quotient von zwei Polynomen des Grads s ist, wenn die Methode s Stufen hat. Ausführliche Methoden haben eine ausschließlich tiefer dreieckige Matrix A, der andeutet, dass det (Ich  zA) = 1, und dass die Stabilitätsfunktion ein Polynom ist.

Die numerische Lösung der geradlinigen Testgleichung verfällt zur Null wenn | r (z) |

Wenn die Methode Auftrag p hat, dann befriedigt die Stabilitätsfunktion als. So ist es von Interesse, um Quotienten des Polynoms von gegebenen Graden zu studieren, die der Exponentialfunktion das beste näher kommen. Diese sind als Padé approximants bekannt. Padé approximant mit dem Zähler des Grads M und Nenner des Grads n ist wenn und nur wenn M  n  M + 2 Astabil.

Die Methode von Gauss-Legendre mit s Stufen hat Auftrag 2s, so ist seine Stabilitätsfunktion Padé approximant mit der M = n = s. Hieraus folgt dass die Methode Astabil ist. Das zeigt, dass Astabiler Runge-Kutta willkürlich hohe Ordnung haben kann. Im Gegensatz kann die Ordnung von Astabilen geradlinigen Mehrschritt-Methoden nicht zwei zu weit gehen.

Abstammung der Runge-Kutta vierten Ordnungsmethode

Im Allgemeinen kann eine Runge-Kutta Methode der Ordnung als geschrieben werden:

:

wo:

:

sind das erhaltene Auswerten der Zunahme der Ableitungen an der-Th-Ordnung.

Wir entwickeln die Abstammung für die Runge-Kutta vierte Ordnungsmethode mit der allgemeinen Formel mit dem bewerteten, wie erklärt, oben, am Startpunkt, dem Mittelpunkt und dem Endpunkt jedes Zwischenraums, so wählen wir:

und sonst. Wir beginnen, indem wir die folgenden Mengen definieren:

:

Y^1_ {t+h} &= y_t + hf\left (y_t, t\right) \\

Y^2_ {t+h} &= y_t + hf\left (y^1_ {t+h/2}, t +\frac {h} {2 }\\Recht) \\

Y^3_ {t+h} &= y_t + hf\left (y^2_ {t+h/2}, t +\frac {h} {2 }\\Recht)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo und

Wenn wir definieren:

:

k_1 &= f (y_t, t) \\

k_2 &= f\left (y^1_ {t+h/2}, t + \frac {h} {2 }\\Recht) \\

k_3 &= f\left (y^2_ {t+h/2}, t + \frac {h} {2 }\\Recht) \\

k_4 &= f\left (Y^3_ {t+h}, t + h\right)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und für die vorherigen Beziehungen können wir zeigen, dass die folgenden Gleichheiten halten bis zu:

:

k_2 &= f\left (y^1_ {t+h/2}, t + \frac {h} {2 }\\Recht) = f\left (y_t + \frac {h} {2} k_1, t + \frac {h} {2 }\\Recht) \\

&= f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \\

k_3 &= f\left (y^2_ {t+h/2}, t + \frac {h} {2 }\\Recht) = f\left (y_t + \frac {h} {2} f\left (y_t + \frac {h} {2} k_1, t + \frac {h} {2 }\\Recht), t + \frac {h} {2 }\\Recht) \\

&= f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \right] \\

k_4 &= f\left (Y^3_ {t+h}, t + h\right) = f\left (y_t + h f\left (y_t + \frac {h} {2} k_2, t + \frac {h} {2 }\\Recht), t + h\right) \\

&= f\left (y_t + h f\left (y_t + \frac {h} {2} f\left (y_t + \frac {h} {2} f\left (y_t, t\right), t + \frac {h} {2 }\\Recht), t + \frac {h} {2 }\\Recht), t + h\right) \\

&= f\left (y_t, t\right) + h \frac {d} {dt} \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} hat \frac {d} {dt }\\[f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \right] \right] verlassen

\end {richten} </Mathematik> {aus}wo::

ist die Gesamtableitung in Bezug auf die Zeit.

Wenn wir jetzt das allgemeine Formel-Verwenden ausdrücken, was wir gerade abgeleitet haben, herrschen wir vor:

:

y_ {t+h} &= y_t + h \left\lbrace ein \cdot f (y_t, t) + b \cdot \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \right] \right. + \\

&+ c \cdot \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \right] \right] + \\

&+ d \cdot \left [f\left (y_t, t\right) + h \frac {d} {dt} \left [f\left (y_t, t\right) + \frac {h} {2} ist \frac {d} {dt }\\[f\left (y_t, t\right) abgereist

+ \left. \frac {h} {2} \frac {d} {dt} f\left (y_t, t\right) \right] \right] \right] \right\rbrace + \mathcal {O} (h^5) \\

&= y_t + ein \cdot h f_t + b \cdot h f_t + b \cdot \frac {h^2} {2} \frac {df_t} {dt} + c \cdot h f_t + c \cdot \frac {h^2} {2} \frac {df_t} {dt} + \\

&+ c \cdot \frac {h^3} {4} \frac {d^2f_t} {dt^2} + d \cdot h f_t + d \cdot H^2 \frac {df_t} {dt} + d \cdot \frac {h^3} {2} \frac {d^2f_t} {dt^2} + d \cdot \frac {h^4} {4} \frac {d^3f_t} {dt^3} + \mathcal {O} (h^5)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und das mit der Reihe von Taylor ungefähr vergleichend:

:

y_ {t+h} &= y_t + h \dot y_t + \frac {h^2} {2} \ddot y_t + \frac {h^3} {6} y^ {(3)} _t + \frac {h^4} {24} y^ {(4)} _t + \mathcal {O} (h^5) = \\

&= y_t + h f (y_t, t) + \frac {h^2} {2} \frac {d} {dt} f (y_t, t) + \frac {h^3} {6} \frac {d^2} {dt^2} f (y_t, t) + \frac {h^4} {24} \frac {d^3} {dt^3} f (y_t, t)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wir erhalten ein System von Einschränkungen auf die Koeffizienten:

:

\begin {richten }\aus

&a + b + c + d = 1 \\

& \frac {1} {2} b + \frac {1} {2} c + d = \frac {1} {2} \\

& \frac {1} {4} c + \frac {1} {2} d = \frac {1} {6} \\

& \frac {1} {4} d = \frac {1} {24}

\end {richten }\\Recht aus. </math>

den gelöst wie oben angegeben gibt.

Siehe auch

• Die Methode von Euler
• Runge-Kutta Methode (SDE)
• Liste von Runge-Kutta Methoden
• Numerische gewöhnliche Differenzialgleichungen
• Dynamische Fehler von numerischen Methoden der ODE discretization

Referenzen

• .

. . . .

• (sieh Kapitel 6).

. . . .

• . Außerdem Abschnitt 17.2. Anpassungsfähige Stepsize-Kontrolle für Runge-Kutta.

. .

Links

• Runge-Kutta 4. Ordnungsmethode
• Runge Kutta Methode für O.D.E.'s
• DotNumerics: Gewöhnliche Differenzialgleichungen für C# und VB.NET - Anfangswert-Problem für nichtsteife und steife gewöhnliche Differenzialgleichungen (ausführlicher Runge-Kutta, impliziter Runge-Kutta, der BDF des Zahnrades und Adams-Moulton).
• GafferOnGames - Eine Physik-Quelle für Computerprogrammierer
• PottersWheel - Parameter-Kalibrierung in ODE-Systemen mit der impliziten Runge-Kutta Integration