In der numerischen Analyse ist die Regierung von Simpson eine Methode für die numerische Integration, die numerische Annäherung von bestimmten Integralen. Spezifisch ist es die folgende Annäherung:

:

Die Regierung von Simpson entspricht auch der 3-Punkte-Quadratur-Regel von Newton-Ställen.

Die Methode wird dem Mathematiker Thomas Simpson (1710-1761) von Leicestershire, England kreditiert. Kepler hat ähnliche Formeln mehr als 100 vorherige Jahre verwendet, und in Deutsch wird die Methode manchmal aus diesem Grund genannt.

Die Regierung von Simpson ist eine Heftklammer der wissenschaftlichen Datenanalyse und Technik. Es wird zum Beispiel von Marinearchitekten weit verwendet, um Rumpf-Ausgleiche und Querschnittsflächen numerisch zu integrieren, um Volumina und centroids von Schiffen oder Rettungsbooten zu bestimmen.

Abstammung

Die Regierung von Simpson kann auf verschiedene Weisen abgeleitet werden.

Quadratische Interpolation

Eine Abstammung ersetzt den integrand durch das quadratische Polynom, das dieselben Werte nimmt, wie am Ende a und b und den Mittelpunkt M = (+ b) / 2 anspitzt. Man kann Polynom-Interpolation von Lagrange verwenden, um einen Ausdruck für dieses Polynom, zu finden

:</Mathematik>

Ein leichter (obgleich langweilig) Berechnung zeigt dem

:

Diese Berechnung kann leichter ausgeführt werden, wenn ein erster bemerkt, dass (durch das Schuppen) es keinen Verlust der Allgemeinheit im Annehmen davon gibt und.

Die Mittelwertbildung des Mittelpunkts und der trapezoiden Regeln

Eine andere Abstammung baut die Regierung von Simpson von zwei einfacheren Annäherungen: die Mittelpunkt-Regel

:

und die trapezoide Regel

:

Die Fehler in diesen Annäherungen sind

:

beziehungsweise. Hieraus folgt dass der Hauptfehlerbegriff verschwindet, wenn wir den gewogenen Mittelwert nehmen

:

Dieser gewogene Mittelwert ist genau die Regierung von Simpson.

Mit einer anderen Annäherung (zum Beispiel weist die trapezoide Regel damit doppelt so viele hin), ist es möglich, einen passenden gewogenen Mittelwert zu nehmen und einen anderen Fehlerbegriff zu beseitigen. Das ist die Methode von Romberg.

Unentschiedene Koeffizienten

Die dritte Abstammung fängt vom ansatz an

:

Die Koeffizienten α, β und γ können durch das Verlangen dass diese Annäherung befestigt werden, für alle quadratischen Polynome genau sein. Das gibt die Regierung von Simpson nach.

Fehler

Der Fehler im Approximieren einem Integral durch die Regierung von Simpson ist

:

wo eine Zahl zwischen ist und.

Der Fehler ist dazu asymptotisch proportional. Jedoch deuten die obengenannten Abstammungen einen Fehler an, der dazu proportional ist. Die Regierung von Simpson gewinnt eine Extraordnung, weil die Punkte, an denen der integrand bewertet wird, symmetrisch im Zwischenraum [a, b] verteilt werden.

Da der Fehlerbegriff zur vierten Ableitung von f daran proportional ist, zeigt das, dass die Regierung von Simpson genaue Ergebnisse für jedes Polynom f vom Grad drei oder weniger zur Verfügung stellt, da die vierte Ableitung solch eines Polynoms Null an allen Punkten ist.

Die Regierung von zerlegbarem Simpson

Wenn der Zwischenraum der Integration in einem "kleinen" Sinn ist, dann wird die Regierung von Simpson eine entsprechende Annäherung an das genaue Integral zur Verfügung stellen. Durch den kleinen, was wir wirklich vorhaben, ist, dass die Funktion, die wird integriert, ist, relativ bemänteln den Zwischenraum. Für solch eine Funktion wird ein glatter quadratischer interpolant wie in der Regierung von Simpson verwendeter derjenige gute Ergebnisse geben.

Jedoch ist es häufig der Fall, dass die Funktion, die wir versuchen zu integrieren, nicht ist, bemänteln den Zwischenraum. Gewöhnlich bedeutet das, dass entweder die Funktion hoch Schwingungs-ist, oder sie an Ableitungen an bestimmten Punkten Mangel hat. In diesen Fällen kann die Regierung von Simpson sehr schlechte Ergebnisse geben. Eine allgemeine Weise, dieses Problem zu behandeln, ist dadurch, den Zwischenraum in mehrere kleine Subzwischenräume zu zerbrechen. Die Regierung von Simpson wird dann auf jeden Subzwischenraum mit den Ergebnissen angewandt, die summieren werden, um eine Annäherung für das Integral über den kompletten Zwischenraum zu erzeugen. Diese Sorte der Annäherung wird die Regierung von zerlegbarem Simpson genannt.

Nehmen Sie an, dass der Zwischenraum in Subzwischenräumen mit einer geraden Zahl aufgeteilt wird. Dann wird die Regierung von zerlegbarem Simpson durch gegeben

:

\frac {h} {3 }\\bigg [f (x_0) +2\sum_ {j=1} ^ {n/2-1} f (x_ {2j}) +

4\sum_ {j=1} ^ {n/2} f (x_ {2j-1}) +f (x_n)

\bigg], </Mathematik>

wo für damit; insbesondere und. Die obengenannte Formel kann auch als geschrieben werden

:

\frac {h} {3 }\\bigg [f (x_0) +4f (x_1) +2f (x_2) +4f (x_3) +2f (x_4) + \cdots+4f (x_ {n-1}) +f (x_n) \bigg]. </Mathematik>

Der durch die Regierung von zerlegbarem Simpson begangene Fehler wird (im absoluten Wert) durch begrenzt

:

wo die "Schritt-Länge", gegeben durch ist

Diese Formulierung spaltet den Zwischenraum in Subzwischenräumen der gleichen Länge. In der Praxis ist es häufig vorteilhaft, Subzwischenräume von verschiedenen Längen zu verwenden, und die Bemühungen auf die Plätze zu richten, wo der integrand weniger wohl erzogen ist. Das führt zur Methode des anpassungsfähigen Simpsons.

Alternative hat die Regierung von Simpson erweitert

Das ist eine andere Formulierung einer Regierung von zerlegbarem Simpson: Anstatt die Regierung von Simpson anzuwenden, Segmente des näher zu kommenden Integrals auseinander zu nehmen, wird die Regierung von Simpson auf überlappende Segmente angewandt, tragend:

:

\int_a^b f (x) \, dx\approx

\frac {h} {48 }\\bigg [17f (x_0) +59f (x_1) +43f (x_2) +49f (x_3) +48 \sum_ {i=4} ^ {n-4} f (x_i) +49f (x_ {n-3}) +43f (x_ {n-2}) +59f (x_ {n-1}) +17f (x_n) \bigg].

</Mathematik>

Die 3/8-Regierung von Simpson

Die 3/8-Regierung von Simpson ist eine andere Methode für die numerische von Thomas Simpson vorgeschlagene Integration. Es basiert auf eine Kubikinterpolation aber nicht eine quadratische Interpolation. Die 3/8-Regierung von Simpson ist wie folgt:

:

\frac {(b-a)} {8 }\\hat [f (a) + 3f\left (\frac {2a+b} {3 }\\Recht) + 3f\left (\frac {a+2b} {3 }\\Recht) + f (b) \right] \, </Mathematik> verlassen

wo b - = 3h. Der Fehler dieser Methode ist:

:

wo eine Zahl zwischen ist und. So ist die 3/8-Regel ungefähr zweimal so genau wie die Standardmethode, aber es verwendet einen mehr Funktionswert. Eine Zusammensetzung 3/8 Regel besteht auch ähnlich als oben.

Beispieldurchführung

Eine Durchführung der Regierung von zerlegbarem Simpson in der Pythonschlange:

def simpson (f, a, b, n):

" ""f=function, a=initial Wert, b=end Wert, n=number doppelter Zwischenräume der Größe 2h"""

n * = 2

h = (b - a) / n;

S = f (ein)

weil ich in der Reihe (1, n, 2):

x = + h * ich

S + = 4 * f (x)

weil ich in der Reihe (2, n-1, 2):

x = + h * ich

S + = 2 * f (x)

S + = f (b)

F = h * S / 3

geben Sie F zurück

</Quelle>

Siehe auch

• Quadratur von Gaussian
• Rechteck-Methode
• Trapezoide Regel

Referenzen

• .

Links

• Die Regierung von Simpson für die numerische Integration
• Anwendung der Regierung von Simpson - Erdwall-Ausgrabung (Zeichen: Die in dieser Seite beschriebene Formel ist richtig, aber es gibt Fehler in der Berechnung, die ein Ergebnis 569m3 und nicht 623m3, wie festgesetzt, geben sollte)
• Die 1/3. Regierung von Simpson der Integration - Zeichen, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Ahorn an Numerischen Methoden für den STAMM-Studenten
• Ein Detaillieren einer Computerdurchführung wird von Dorai Sitaram darin beschrieben Unterrichten Sich Schema in Fixnum Tagen, Anhang C
• Programm der c Sprache, um die Regierung von Simpson durchzuführen