In den mathematischen Feldern der Differenzialgeometrie und Tensor-Rechnung sind Differenzialformen eine Annäherung an die mehrvariable Rechnung, die von Koordinaten unabhängig ist. Differenzialformen stellen eine vereinigte Annäherung an das Definieren integrands über Kurven, Oberflächen, Volumina und höhere dimensionale Sammelleitungen zur Verfügung. Für den modernen Begriff von Differenzialformen wurde von Élie Cartan den Weg gebahnt. Es hat viele Anwendungen, besonders in der Geometrie, Topologie und Physik.

Zum Beispiel, der Ausdruck ƒ (x) wird dx von der Ein-Variable-Rechnung eine 1 Form genannt, und kann über einen Zwischenraum [a, b] im Gebiet ƒ: integriert werden

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und ähnlich der Ausdruck: ƒ (x, y, z) dx∧dy + g (x, y, z) dx∧dz + h (x, y, z) dy∧dz ist ein 2-Formen-

das hat ein Oberflächenintegral über eine orientierte Oberfläche S:

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Ebenfalls, ein 3-Formen-ƒ (x, y, z) dx∧dy∧dz vertritt etwas, was über ein Gebiet des Raums integriert werden kann.

Die Algebra von Differenzialformen wird in einem Weg organisiert, der natürlich die Orientierung des Gebiets der Integration widerspiegelt. Es gibt eine Operation d auf Differenzialformen, die als die Außenableitung bekannt sind, die, wenn sie einer K-Form folgt (k+1) - Form erzeugt. Diese Operation erweitert das Differenzial einer Funktion, und die Abschweifung und die Locke eines Vektorfeldes in einem passenden Sinn, der den Hauptsatz der Rechnung, des Abschweifungslehrsatzes, des Lehrsatzes von Green und des Lehrsatzes von Stokes spezielle Fälle desselben allgemeinen Ergebnisses macht, das in diesem Zusammenhang auch als der Lehrsatz von General Stokes bekannt ist. Auf eine tiefere Weise verbindet dieser Lehrsatz die Topologie des Gebiets der Integration zur Struktur der Differenzialformen selbst; die genaue Verbindung ist als der Lehrsatz von De Rham bekannt.

Die allgemeine Einstellung für die Studie von Differenzialformen ist auf einer Differentiable-Sammelleitung. Unterschiedliche 1 Formen sind zu Vektorfeldern auf einer Sammelleitung natürlich Doppel-, und die Paarung zwischen Vektorfeldern und 1 Formen wird zu willkürlichen Differenzialformen durch das Innenprodukt erweitert. Die Algebra von Differenzialformen zusammen mit der darauf definierten Außenableitung wird durch das Hemmnis unter glatten Funktionen zwischen zwei Sammelleitungen bewahrt. Diese Eigenschaft erlaubt geometrisch invariant Information, von einem Raum bis einen anderen über das Hemmnis bewegt zu werden, hat die Auskunft gegeben wird in Bezug auf Differenzialformen ausgedrückt. Als ein besonderes Beispiel wird die Änderung der Variable-Formel für die Integration eine einfache Behauptung, dass ein Integral unter dem Hemmnis bewahrt wird.

Geschichte

Differenzialformen sind ein Teil des Feldes der Differenzialgeometrie unter Einfluss der geradlinigen Algebra. Obwohl der Begriff eines Differenzials ziemlich alt ist, wird der anfängliche Versuch einer algebraischen Organisation von Differenzialformen gewöhnlich Élie Cartan in seiner 1889-Zeitung kreditiert.

Konzept

Differenzialformen stellen eine Annäherung an die mehrvariable Rechnung zur Verfügung, die von Koordinaten unabhängig ist.

Lassen Sie U ein offener Satz in R sein. Ein Differenzial 0-Formen-("Nullform") wird definiert, um eine glatte Funktion f auf U zu sein. Wenn v ein Vektor in R ist, dann hat f eine Richtungsableitung  f, der eine andere Funktion auf U ist, dessen Wert an einem Punkt p  U die Rate der Änderung (an p) f in der v Richtung ist:

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(Dieser Begriff kann zum Fall erweitert werden, den v ein Vektorfeld auf U durch das Auswerten v am Punkt p in der Definition ist.)

Insbesondere wenn v = e der Jth-Koordinatenvektor dann f ist, ist die partielle Ableitung von f in Bezug auf die Jth-Koordinatenfunktion, d. h., f / x, wo x, x... x die Koordinatenfunktionen auf U sind. Durch ihre wirkliche Definition hängen partielle Ableitungen von der Wahl von Koordinaten ab: Wenn neue Koordinaten y, y... y, dann eingeführt werden

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Die erste Idee, die zu Differenzialformen führt, ist die Beobachtung, dass  f (p) eine geradlinige Funktion von v ist:

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für irgendwelche Vektoren v, w und jede reelle Zahl c. Diese geradlinige Karte von R bis R wird df angezeigt und die Ableitung von f an p genannt. So df (v) =  f (p). Der Gegenstand df kann als eine Funktion auf U angesehen werden, dessen Wert an p nicht eine reelle Zahl, aber die geradlinige Karte df ist. Das ist gerade die übliche Ableitung von Fréchet - ein Beispiel einer unterschiedlichen 1 Form.

Seit jedem Vektoren ist v eine geradlinige Kombination  ve von seinen Bestandteilen, df wird durch df (e) für jeden j und jeden pU einzigartig bestimmt, die gerade die partiellen Ableitungen von f auf U sind. So stellt df eine Weise zur Verfügung, die partiellen Ableitungen von f zu verschlüsseln. Es kann dadurch decodiert werden zu bemerken, dass die Koordinaten x, x... x selbst Funktionen auf U sind, und so definieren Sie unterschiedliche 1 Formen dx, dx..., dx. Seitdem x / x = δ, die Delta-Funktion von Kronecker, hieraus folgt dass

Die Bedeutung dieses Ausdrucks wird durch das Auswerten beider Seiten an einem willkürlichen Punkt p gegeben: Auf der rechten Seite wird die Summe "pointwise", so dass definiert

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Beide Seiten auf e anwendend, ist das Ergebnis auf jeder Seite die jth partielle Ableitung von f an p. Seitdem p und j willkürlich waren, beweist das die Formel (*).

Mehr allgemein, für irgendwelche glatten Funktionen g und h auf U, definieren wir die unterschiedliche 1 Form α =  g dh pointwise durch

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für jeden p  U. Jede unterschiedliche 1 Form entsteht dieser Weg, und durch das Verwenden (*), hieraus folgt dass jede unterschiedliche 1 Form α auf U in Koordinaten als ausgedrückt werden kann

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für einige glatte Funktionen f auf U.

Die zweite Idee, die zu Differenzialformen führt, entsteht aus der folgenden Frage: In Anbetracht einer unterschiedlichen 1 Form α auf U, wenn wirklich dort eine Funktion f auf solchem U dass α = df besteht? Die obengenannte Vergrößerung reduziert diese Frage an die Suche nach einer Funktion f, dessen partielle Ableitungen f / x n gegeben Funktionen f gleich sind. Für n> 1 besteht solch eine Funktion nicht immer: Jede glatte Funktion f befriedigt

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so wird es unmöglich sein, solch einen f wenn zu finden

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für alles ich und j.

Die Verdrehen-Symmetrie der linken Seite in schlagen mir und j vor, ein antisymmetrisches Produkt auf unterschiedlichen 1 Formen, das Keil-Produkt einzuführen, so dass diese Gleichungen in eine einzelne Bedingung verbunden werden können

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wo

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Das ist ein Beispiel eines 2-Formen-Differenzials: Der äußerliche abgeleitete dα von α =  f dx wird durch gegeben

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Zusammenzufassen: Dα = 0 ist eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Funktion f mit α = df.

Unterschiedliche 0 Formen, 1 Formen und 2 Formen sind spezielle Fälle von Differenzialformen. Für jeden k gibt es einen Raum von DifferenzialK-Formen, die in Bezug auf die Koordinaten als ausgedrückt werden können

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für eine Sammlung von Funktionen f. (Natürlich, wie angenommen, unten, kann man die Summe auf den Fall einschränken

Differenzialformen können zusammen mit dem Keil-Produkt, und für jede DifferenzialK-Form α multipliziert werden, es gibt ein Differenzial (k + 1) - formen sich dα hat die Außenableitung von α genannt.

Differenzialformen, das Keil-Produkt und die Außenableitung sind einer Wahl von Koordinaten unabhängig. Folglich können sie auf jeder glatten mannigfaltigen M definiert werden. Eine Weise zu tun ist das Deckel M mit Koordinatenkarten, und definieren Sie eine DifferenzialK-Form auf der M, um eine Familie von DifferenzialK-Formen auf jeder Karte zu sein, die sich über die Übergreifen einigen. Jedoch gibt es mehr innere Definitionen, die die Unabhängigkeit des Koordinatenmanifests machen.

Innere Definitionen

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein. Eine Differenzialform des Grads k ist eine glatte Abteilung der kth Außenmacht des Kotangens-Bündels der M. An jedem Punkt pM definiert eine K-Form β eine mehrgeradlinige Wechselkarte

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(mit k Faktoren von TM im Produkt), wo TM der Tangente-Raum zur M an p ist. Gleichwertig ist β ein völlig antisymmetrisches kovariantes Tensor-Feld der Reihe k.

Der Satz aller DifferenzialK-Formen auf einer mannigfaltigen M ist ein Vektorraum, häufig hat Ω (M) angezeigt.

Zum Beispiel teilt eine unterschiedliche 1 Form α jedem Punkt pM einen geradlinigen funktionellen α auf TM zu. In Gegenwart von einem Skalarprodukt auf TM (veranlasst von Riemannian, der auf M metrisch ist), kann α als das Skalarprodukt mit einem Tangente-Vektoren X vertreten werden. Unterschiedliche 1 Formen werden manchmal kovariante Vektorfelder, covector Felder, oder "Doppelvektorfelder" besonders innerhalb der Physik genannt.

Operationen

Es gibt mehrere Operationen auf Differenzialformen: das Keil-Produkt von zwei Differenzialformen, die Außenableitung einer einzelnen Differenzialform, das Innenprodukt einer Differenzialform und eines Vektorfeldes und der Lüge-Ableitung einer Differenzialform in Bezug auf ein Vektorfeld.

Keil-Produkt

Das Keil-Produkt einer K-Form α und einer L-Form β ist (k + l) - Form hat αΛβ angezeigt. Zum Beispiel, wenn k = l = 1, dann ist αΛβ der 2-Formen-, dessen Wert an einem Punkt p die bilineare durch definierte Wechselform ist

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für v, w  TM. (In einer alternativen Tagung wird die rechte Seite durch zwei in dieser Formel geteilt.)

Das Keil-Produkt ist bilinear: Zum Beispiel, wenn α, β, und γ irgendwelche Differenzialformen, dann sind

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Es ist verdrehen auswechselbar (auch bekannt als sortiert auswechselbar), bedeutend, dass es eine Variante von anticommutativity befriedigt, der von den Graden der Formen abhängt: Wenn α eine K-Form ist und β eine L-Form, dann ist

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Sammelleitung von Riemannian

Auf einer Sammelleitung von Riemannian, oder mehr allgemein können eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung, Vektorfelder und covector Feld identifiziert werden (das metrische ist ein mit der Faser kluger Isomorphismus des Tangente-Raums und des Kotangens-Raums), und zusätzliche Operationen können so, wie der Sternmaschinenbediener von Hodge und codifferential (Grad) definiert werden, der adjoint zum Außendifferenzial d ist.

Vektorfeld-Strukturen

Auf einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung können 1 Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden; Vektorfelder haben zusätzliche verschiedene algebraische Strukturen, die hier für den Zusammenhang verzeichnet werden und Verwirrung zu vermeiden.

Erstens erzeugt jeder (co) Tangente-Raum eine Algebra von Clifford, wo das Produkt eines (co) Vektoren mit sich durch den Wert einer quadratischen Form - in diesem Fall, die natürliche durch das metrische veranlasste gegeben wird. Diese Algebra ist von der Außenalgebra von Differenzialformen verschieden, die als eine Algebra von Clifford angesehen werden können, wo die quadratische Form verschwindet (da das Außenprodukt jedes Vektoren mit sich Null ist). Algebra von Clifford sind so non-anti-commutative ("Quant") Deformierungen der Außenalgebra. Sie werden in der geometrischen Algebra studiert.

Eine andere Alternative soll Vektorfelder als Abstammungen betrachten, und die (nichtauswechselbare) Algebra von Differenzialoperatoren denken, die sie erzeugen, der die Algebra von Weyl ist, und ein nichtauswechselbarer ("Quant") Deformierung der symmetrischen Algebra in den Vektorfeldern ist.

Außendifferenzialkomplex

Ein wichtiges Eigentum der Außenableitung ist das d = 0. Das bedeutet, dass die Außenableitung einen cochain Komplex definiert:

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Durch das Lemma von Poincaré ist dieser Komplex außer an Ω (M) lokal genau. Sein cohomology ist der de Rham cohomology der M.

Hemmnis

Einer der Hauptgründe das Kotangens-Bündel aber nicht das Tangente-Bündel wird im Aufbau des Außenkomplexes verwendet, ist, dass Differenzialformen dazu fähig sind, durch glatte Karten zurückgezogen zu werden, während Vektorfelder vorwärts durch glatte Karten nicht gestoßen werden können, wenn die Karte, sagen wir, kein diffeomorphism ist. Die Existenz des Hemmnis-Homomorphismus in de Rham cohomology hängt vom Hemmnis von Differenzialformen ab.

Differenzialformen können von einer Sammelleitung bis ein anderes Verwenden einer glatten Karte bewegt werden. Wenn f: M  N ist glatt, und ω ist eine glatte K-Form auf N, dann gibt es eine Differenzialform fω auf der M, genannt das Hemmnis von ω, der das Verhalten von ω, wie gesehen, hinsichtlich f gewinnt.

Um das Hemmnis zu definieren, rufen Sie zurück, dass das Differenzial von f eine Karte f ist: TM  TN. Befestigen Sie eine DifferenzialK-Form ω auf N. Für einen Punkt p der M und Tangente-Vektoren v..., v zur M an p, wird das Hemmnis von ω durch die Formel definiert

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Abstrakter, wenn ω als eine Abteilung des Kotangens-Bündel-TN von N angesehen wird, dann ist fω die Abteilung von TM, der als die zerlegbare Karte definiert ist

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Hemmnis respektiert alle grundlegenden Operationen auf Formen:

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Das Hemmnis einer Form kann auch in Koordinaten geschrieben werden. Nehmen Sie an, dass x..., x Koordinaten auf der M sind, dass y..., y Koordinaten auf N sind, und dass diese Koordinatensysteme durch die Formeln y = f (x..., x) für alles ich verbunden sind. Dann, lokal auf N, kann ω als geschrieben werden

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wo für jede Wahl von mir..., mir, eine reellwertige Funktion von y..., y bin. Mit der Linearität des Hemmnisses und seiner Vereinbarkeit mit dem Keil-Produkt hat das Hemmnis von ω die Formel

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Jede Außenableitung df kann in Bezug auf dx..., dx ausgebreitet werden. Die resultierende K-Form kann mit Jacobian matrices geschrieben werden:

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Integration

Differenzialformen des Grads k werden über k dimensionale Ketten integriert. Wenn k = 0, das gerade Einschätzung von Funktionen an Punkten ist. Andere Werte von k = 1, 2, 3, entsprechen... Linienintegralen, Oberflächenintegralen, Volumen-Integrale usw. Einfach parametrisiert eine Kette ein Gebiet der Integration als eine Sammlung von Zellen (Images von Würfeln oder anderen Gebieten D), die zusammen geflickt werden; um zu integrieren, zieht man die Form auf jeder Zelle der Kette zu einer Form auf dem Würfel (oder anderes Gebiet) zurück und integriert dort, der gerade Integration einer Funktion darauf ist, wie die zurückgezogene Form einfach ein Vielfache der Volumen-Form Zum Beispiel ist, in Anbetracht eines Pfads, der eine Form auf dem Pfad integriert, zieht einfach die Form zu einer Funktion auf (richtig, zu einer Form) zurück und integriert die Funktion auf dem Zwischenraum.

Lassen Sie

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seien Sie eine Differenzialform und S eine differentiable K-Sammelleitung, über die wir integrieren möchten, wo S den parameterization hat

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für u im Parameter-Gebiet D. Dann definiert das Integral der Differenzialform über S als

:wo:

ist die Determinante von Jacobian. Der Jacobian besteht, weil S differentiable ist.

Mehr allgemein - kann Form über - dimensionale Subsammelleitung weil integriert werden, - Form vorzuherrschen. Das, kommt zum Beispiel, im Definieren des pushforward einer Differenzialform durch eine glatte Karte herauf, indem es versucht wird, über die Fasern dessen zu integrieren.

Der Lehrsatz von Stokes

Die grundsätzliche Beziehung zwischen der Außenableitung und Integration wird vom General gegeben Schürt Lehrsatz: Wenn n−1-form mit der Kompaktunterstützung auf der M ist und M die Grenze der M mit seiner veranlassten Orientierung, dann anzeigt

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Eine Schlüsselfolge davon ist, dass "das Integral einer geschlossenen Form über homologe Ketten gleich ist": Wenn eine geschlossene K-Form und M ist und N K-Ketten sind, die homolog sind (solch, dass M-N die Grenze (k+1) - Kette W) ist, dann da ist der Unterschied der integrierte

Zum Beispiel, wenn die Ableitung einer potenziellen Funktion auf dem Flugzeug ist oder dann das Integral über einen Pfad von bis b von der Wahl des Pfads nicht abhängt (das Integral ist), da verschiedene Pfade mit gegebenen Endpunkten homotopic, folglich homolog (eine schwächere Bedingung) sind. Dieser Fall wird den Anstieg-Lehrsatz genannt, und verallgemeinert den Hauptsatz der Rechnung). Diese Pfad-Unabhängigkeit ist in der Kontur-Integration sehr nützlich.

Dieser Lehrsatz unterliegt auch der Dualität zwischen de Rham cohomology und der Homologie von Ketten.

Beziehung mit Maßnahmen

Auf einer allgemeinen Differentiable-Sammelleitung (ohne zusätzliche Struktur) können Differenzialformen nicht über Teilmengen der Sammelleitung integriert werden; diese Unterscheidung ist Schlüssel zur Unterscheidung zwischen Differenzialformen, die über Ketten und Maßnahmen integriert werden, die über Teilmengen integriert werden. Das einfachste Beispiel versucht, die 1 Form dx über den Zwischenraum [0,1] zu integrieren. Das Annehmen der üblichen Entfernung (und messen so), auf der echten Linie, dieses Integral ist entweder 1 oder −1 abhängig von der Orientierung: Während Im Vergleich das Integral des Maßes dx auf dem Zwischenraum eindeutig 1 ist (formell, ist das Integral der unveränderlichen Funktion 1 in Bezug auf dieses Maß 1). Ähnlich unter einer Änderung von Koordinaten ändert sich eine DifferenzialN-Form durch die Determinante von Jacobian J, während sich ein Maß durch den absoluten Wert der Determinante von Jacobian ändert, die weiter das Problem der Orientierung widerspiegelt. Zum Beispiel, laut der Karte auf der Linie, zieht die Differenzialform zur Orientierung zurück hat umgekehrt; während Lebesgue messen, auch angezeigt zieht dazu zurück ändert sich nicht.

In Gegenwart von den zusätzlichen Daten einer Orientierung ist es möglich, N-Formen (spitzendimensionale Formen) über die komplette Sammelleitung oder über Kompaktteilmengen zu integrieren; die Integration über die komplette Sammelleitung entspricht Integrierung der Form über die grundsätzliche Klasse der Sammelleitung Formell in Gegenwart von einer Orientierung, man kann N-Formen mit Dichten auf einer Sammelleitung identifizieren; Dichten definieren der Reihe nach ein Maß, und können so integriert werden.

Auf einem orientable, aber nicht orientierter Sammelleitung gibt es zwei Wahlen der Orientierung; jede Wahl erlaubt, N-Formen über Kompaktteilmengen mit den zwei Wahlen zu integrieren, die sich durch ein Zeichen unterscheiden. Auf der Non-Orientable-Sammelleitung können N-Formen und Dichten nicht - namentlich identifiziert werden, jede spitzendimensionale Form muss verschwinden (es gibt keine Volumen-Formen auf Non-Orientable-Sammelleitungen), aber dort nichtverschwinden Dichten - so, während man Dichten über Kompaktteilmengen integrieren kann, kann man nicht N-Formen integrieren.

Es gibt im Allgemeinen keine bedeutungsvolle Weise, K-Formen über Teilmengen dafür zu integrieren

Auf einer Sammelleitung von Riemannian kann man ein k-dimensional Maß von Hausdorff für jeden k definieren (ganze Zahl oder echt), der über k-dimensional Teilmengen der Sammelleitung integriert werden kann. Eine Funktion Zeiten dieses Maß von Hausdorff kann dann über k-dimensional Teilmengen integriert werden, ein mit dem Maß theoretisches Analogon der Integration von K-Formen zur Verfügung stellend. Das n-dimensional Maß von Hausdorff gibt eine Dichte als oben nach.

Anwendungen in der Physik

Differenzialformen entstehen in einigen wichtigen physischen Zusammenhängen. Zum Beispiel, in der Theorie von Maxwell des Elektromagnetismus, Faraday elektromagnetische oder 2-Formen-Feldkraft, ist

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wo gebildet von den elektromagnetischen Feldern und, z.B, oder gleichwertige Definitionen zu sein.

Diese Form ist ein spezieller Fall der Krümmungsform auf dem U (1) Hauptfaser-Bündel, auf dem sowohl Elektromagnetismus als auch allgemeine Maß-Theorien beschrieben werden können. Die Verbindungsform für das Hauptbündel ist das Vektor-Potenzial, das normalerweise durch A, wenn vertreten, in etwas Maß angezeigt ist. Man hat dann

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Der 3-Formen-Strom ist

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wo die vier Bestandteile der aktuellen Dichte sind. (Hier ist es eine Sache der Tagung, um zu schreiben statt d. h. Großbuchstaben zu verwenden, und statt zu schreiben. Jedoch sollte es bemerkt werden, dass der Vektor rsp. Tensor-Bestandteile und die oben erwähnten Formen verschiedene physische Dimensionen hat. Außerdem sollte man sich erinnern, dass durch die Entscheidung einer internationalen Kommission des IUPAP der magnetische Polarisationsvektor genannt wird, seit mehreren Jahrzehnten, und durch einige Herausgeber d. h. denselben Namen wird für völlig verschiedene Mengen verwendet.)

Mit den oben erwähnten Definitionen können die Gleichungen von Maxwell sehr kompakt in geometrized Einheiten als geschrieben werden

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wo den Sternmaschinenbediener von Hodge anzeigt. Ähnliche Rücksichten beschreiben die Geometrie von Maß-Theorien im Allgemeinen.

Der 2-Formen-, der zur Form von Faraday Doppel-ist, wird auch 2-Formen-Maxwell genannt.

Elektromagnetismus ist ein Beispiel eines U (1) Maß-Theorie. Hier ist die Lüge-Gruppe U (1), die eindimensionale einheitliche Gruppe, die in besonderem abelian ist. Es gibt Maß-Theorien wie Yang-Mühle-Theorie, in der die Lüge-Gruppe nicht abelian ist. In diesem Fall bekommt man Beziehungen, die denjenigen ähnlich sind, die hier beschrieben sind. Das Analogon Feldes F in solchen Theorien ist die Krümmungsform der Verbindung, die in einem Maß durch eine Lüge Algebra-geschätzte eine Form A vertreten wird. Die Yang-Mühlen Feld F werden dann durch definiert

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Im abelian Fall, wie Elektromagnetismus, aber hält das im Allgemeinen nicht. Ebenfalls werden die Feldgleichungen durch zusätzliche Begriffe modifiziert, die Keil-Produkte von A und F infolge der Struktur-Gleichungen der Maß-Gruppe einschließen.

Anwendungen in der geometrischen Maß-Theorie

Zahlreiche Minimality-Ergebnisse für komplizierte analytische Sammelleitungen basieren auf der Ungleichheit von Wirtinger für 2 Formen. Ein kurz gefasster Beweis kann im klassischen Text von Herbert Federer Geometrische Maß-Theorie gefunden werden. Die Wirtinger Ungleichheit ist auch eine Schlüsselzutat in der Ungleichheit von Gromov für den komplizierten projektiven Raum in der systolic Geometrie.

Siehe auch

• Geschlossenes und genaues Differenzial bildet
• kompliziertes Differenzial bildet
• Vektor-geschätztes Differenzial bildet

• - Übersetzung von Formes différentielles (1967)

Links

• ein Kurs hat an der Universität von Cornell unterrichtet.

• ein Studententext].