In der Geometrie, dem Lehrsatz von Wallace-Bolyai-Gerwien, genannt nachdem stellt William Wallace, Farkas Bolyai und Paul Gerwien, fest, dass irgendwelche zwei einfachen Vielecke des gleichen Gebiets equidecomposable sind; d. h. man kann das erste in begrenzt viele polygonale Stücke schneiden und die Stücke umordnen, um das zweite Vieleck zu erhalten.

"Neuordnung" bedeutet, dass man eine Übersetzung und eine Folge zu jedem polygonalen Stück anwenden kann.

Verschieden von der verallgemeinerten Lösung des Kreisquadrieren-Problems von Tarski ist das Axiom der Wahl für den Beweis nicht erforderlich, und die Zergliederung und der Wiederzusammenbau können wirklich "physisch" ausgeführt werden; die Stücke, in der Theorie, können mit der Schere von Papier geschnitten und mit der Hand wieder versammelt werden.

Der Lehrsatz kann in zwei Schritten verstanden werden. Erstens kann jedes Vieleck in Dreiecke - für konvexe Vielecke geschnitten werden das, ist durch das Abschneiden jedes Scheitelpunkts der Reihe nach unmittelbar, während für konkave Vielecke das mehr Sorge - tatsächlich rechtwinklige Dreiecke, durch das Fallen einer Höhe verlangt. Das ist genügend, um das Gebiet leicht zu schätzen, weil jedes rechtwinklige Dreieck ein halbes Rechteck ist, oder wechselweise halbwegs geschnitten werden kann bis zu, in ein Rechteck wieder versammelt werden. Der zweite und feinere Schritt besteht darin, dass jedes rechtwinklige Dreieck (oder gleichwertig Rechteck) in ein Rechteck mit einer Seite eines gegebenen (Einheit) Länge zersetzt werden kann. Sobald das bewiesen wird, hieraus folgt dass jedes Vieleck in ein Rechteck mit der Einheitsbreite und Höhe zersetzt werden kann, die seinem Gebiet gleich ist, das den Lehrsatz beweist.

Höhere Dimensionen

Die analoge Behauptung über Polyeder in drei Dimensionen, die als das dritte Problem von Hilbert bekannt sind, ist wie bewiesen, durch Max Dehn 1900 falsch.

Geschichte

Farkas Bolyai, Vater von János Bolyai, hat zuerst die Frage formuliert. Gerwien hat den Lehrsatz 1833 bewiesen, aber tatsächlich hatte Wallace dasselbe Ergebnis bereits 1807 bewiesen.

Gemäß anderen Quellen hatten Farkas Bolyai und Gerwien den Lehrsatz 1833 und 1835 beziehungsweise unabhängig bewiesen.

Links

• Lehrsatz von Wallace-Bolyai-Gerwien
• Ein Beispiel des Bolyai-Gerwien Lehrsatzes durch Sándor Kabai, Ferenc Holló Szabó, und Lajos Szilassi, das Wolfram-Demonstrationsprojekt.