In den mathematischen Feldern der allgemeinen Topologie und beschreibenden Mengenlehre ist ein magerer Satz (hat auch einen spärlichen Satz oder die eine Reihe ersten Kategorie genannt), ein Satz, der, betrachtet als eine Teilmenge (gewöhnlich größer) topologischer Raum, in einem genauen Sinn klein oder unwesentlich ist. Die mageren Teilmengen eines festen Raums bilden ein Sigma-Ideal von Teilmengen; d. h. jede Teilmenge eines mageren Satzes ist mager, und die Vereinigung von zählbar vielen mageren Sätzen ist mager.

Allgemeine topologists gebrauchen den Begriff Raum von Baire, um sich auf eine breite Klasse von topologischen Räumen zu beziehen, auf denen der Begriff des mageren Satzes nicht trivial ist (insbesondere der komplette Raum ist nicht mager). Beschreibende Satz-Theoretiker studieren größtenteils magere Sätze als Teilmengen der reellen Zahlen oder mehr allgemein jeder polnische Raum, und bestellen den Begriff Raum von Baire für einen besonderen polnischen Raum vor.

Die Ergänzung eines mageren Satzes ist ein Comeagre-Satz oder restlicher Satz.

Definition

In Anbetracht eines topologischen Raums X ist eine Teilmenge X mager, wenn sie als die Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Teilmengen X ausgedrückt werden kann.

Doppel-ist ein Comeagre-Satz derjenige, dessen Ergänzung, oder gleichwertig, die Kreuzung von zählbar vielen Sätzen mit dem dichten Innere mager ist.

Eine Teilmenge B X ist nirgends dicht, wenn es keine Nachbarschaft gibt, auf der B dicht ist: Für jeden nichtleeren offenen Satz U in X gibt es einen nichtleeren offenen Satz V enthalten in solchem U, dass V und B zusammenhanglos sind.

Die Ergänzung eines nirgends dichten Satzes ist ein dichter Satz, aber nicht jeder dichte Satz ist von dieser Form. Genauer ist die Ergänzung eines nirgends dichten Satzes ein Satz mit dem dichten Interieur.

Beziehung zur Hierarchie von Borel

Da eine nirgends dichte Teilmenge nicht geschlossen zu werden braucht, aber immer in einem geschlossenen nirgends dichte Teilmenge (nämlich, sein Verschluss) enthalten wird, braucht ein magerer Satz kein F-Satz (zählbare Vereinigung von geschlossenen Sätzen) zu sein, aber wird immer in einem F-Satz gemacht aus dem Nichts dichte Sätze (durch die Einnahme des Verschlusses jedes Satzes) enthalten.

Doppel-, gerade als die Ergänzung eines nirgends dichten Satzes nicht offen zu sein braucht, aber ein dichtes Interieur hat (enthält einen dichten offenen Satz), ein Comeagre-Satz braucht kein G-Satz (zählbare Kreuzung von offenen Sätzen) zu sein, aber enthält einen dichten von dichten offenen Sätzen gebildeten G-Satz.

Fachsprache

Ein magerer Satz wird auch die eine Reihe ersten Kategorie genannt; ein nichtmagerer Satz (d. h. ein Satz, der nicht mager ist) wird auch die eine Reihe zweiten Kategorie genannt. Die zweite Kategorie bedeutet comeagre nicht - ein Satz kann weder mager sein noch comeagre (in diesem Fall es wird der zweiten Kategorie sein).

Eigenschaften

• Jede Teilmenge eines mageren Satzes ist mager; jede Obermenge eines comeagre Sätze ist comeagre.
• Die Vereinigung von zählbaren viele magere Sätze ist auch mager; die Kreuzung von zählbar vielen comeagre geht unter ist comeagre.

:: Das folgt aus der Tatsache, dass eine zählbare Vereinigung von zählbaren Sätzen zählbar ist.

Banach-Mazur Spiel

Magere Sätze haben eine nützliche alternative Charakterisierung in Bezug auf das Banach-Mazur Spiel. Wenn Y ein topologischer Raum ist, ist W eine Familie von Teilmengen von Y, die nichtleeres solches Interieur haben, dass jeder nichtleere offene Satz eine Teilmenge in W hat, und X jede Teilmenge von Y ist, dann gibt es ein Banach-Mazur Spiel entsprechend X, Y, W. Im Banach-Mazur Spiel, den zwei Spielern, P und P, Stellvertreter, der nacheinander kleiner (in Bezug auf die Teilmenge-Beziehung) Elemente von W wählt, um eine hinuntersteigende Folge zu erzeugen, Wenn die Kreuzung dieser Folge einen Punkt in X, P Gewinne enthält; sonst, P Gewinne. Wenn W eine Familie von Sätzen ist, die die obengenannten Kriterien entsprechen, dann hat P eine Gewinnen-Strategie, wenn, und nur wenn X mager ist.

Beispiele

Teilmengen des reals

• Die rationalen Zahlen sind als eine Teilmenge des reals und als ein Raum mager - sie sind nicht ein Raum von Baire.
• Der Kantor ist untergegangen ist als eine Teilmenge des reals mager, aber nicht als ein Raum, da es ein ganzer metrischer Raum ist - ist es so ein Raum von Baire durch den Kategorie-Lehrsatz von Baire.

Funktionsräume

• Der Satz von Funktionen, die eine Ableitung an einem Punkt haben, ist ein magerer Satz im Raum von allen dauernden Funktionen.

Zeichen

Siehe auch

• Kategorie-Lehrsatz von Baire
• Allgemeines Eigentum, für Analoga zu restlichem
• Unwesentlicher Satz, für Analoga zu magerem

Außenverbindungen

• Gibt es einen Maß-Nullsatz der ist nicht mager?