In der Kontinuum-Mechanik ist Betonung ein Maß der inneren Kräfte, die innerhalb eines verformbaren Körpers handeln. Quantitativ ist es ein Maß der durchschnittlichen Kraft pro Einheitsgebiet einer Oberfläche innerhalb des Körpers, auf dem innere Kräfte handeln. Diese inneren Kräfte entstehen als eine Reaktion zu an den Körper angewandten Außenkräften. Weil, wie man annimmt, sich der geladene verformbare Körper als ein Kontinuum benimmt, werden diese inneren Kräfte unaufhörlich innerhalb des Volumens des materiellen Körpers verteilt, und laufen auf Deformierung der Gestalt des Körpers hinaus. Außer bestimmten Grenzen der materiellen Kraft kann das zu einer dauerhaften Gestalt-Änderung oder Strukturmisserfolg führen.

Die in der Kontinuum-Mechanik betrachteten Betonungen sind nur diejenigen, die während der Anwendung von Außenkräften und der folgenden Deformierung des Körpers, sc. Verhältnisänderungen in der Deformierung erzeugt sind, werden aber nicht absolute Werte betrachtet. Ein Körper wird stressfrei betrachtet, wenn die einzigen Kräfte präsentieren, sind jene Zwischenatomkräfte (ionisch, metallisch, und Kräfte von van der Waals) erforderlich, den Körper zusammenzuhalten und seine Gestalt ohne alle Außeneinflüsse einschließlich der Gravitationsanziehungskraft zu behalten. Betonungen, die während der Fertigung des Körpers zu einer spezifischen Konfiguration erzeugt sind, werden auch ausgeschlossen.

Die Dimension der Betonung ist die des Drucks, und deshalb ist die SI-Einheit für Betonung das Pascal (Symbol-Papa), der zu einem Newton (Kraft) pro Quadratmeter gleichwertig ist (Einheitsgebiet), der N/m ist. In Reichseinheiten wird Betonung in der Pfund-Kraft pro Quadratzoll gemessen, der als psi abgekürzt wird.

Einführung

"Betonung" misst die durchschnittliche Kraft pro Einheitsgebiet einer Oberfläche innerhalb eines verformbaren Körpers, auf dem innere Kräfte, spezifisch die Intensität der inneren Kräfte handeln, die zwischen Partikeln eines verformbaren Körpers über imaginäre innere Oberflächen handeln. Diese inneren Kräfte werden zwischen den Partikeln im Körper als eine Reaktion zu Außenkräften erzeugt. Außenkräfte sind entweder Oberflächenkräfte oder Körperkräfte. Weil, wie man annimmt, sich der geladene verformbare Körper als ein Kontinuum benimmt, werden diese inneren Kräfte unaufhörlich innerhalb des Volumens des materiellen Körpers verteilt, d. h. der Betonungsvertrieb im Körper wird als eine piecewise dauernde Funktion der Zeit und Raums ausgedrückt.

Normale Betonung

Für den einfachen Fall eines axial geladenen Körpers, z.B, hat eine Bar der Spannung oder Kompression durch eine Kraft unterworfen, die sein Zentrum (Abbildungen 1.2 und 1.3) durchführt, die Betonung (Sigma) oder Intensität von inneren Kräften, kann durch das Teilen der normalen Gesamtkraft durch die Querschnittsfläche der Bar erhalten werden. Im Fall von einer prismatischen axial geladenen Bar wird die Betonung durch einen Skalar genannt Technikbetonung oder nominelle Betonung vertreten, die eine durchschnittliche Betonung über das Gebiet vertritt, bedeutend, dass die Betonung im Querschnitt gleichförmig verteilt wird. So haben wir

:.

Die normale Kraft kann eine dehnbare Kraft sein, wenn sie äußer vom Flugzeug oder Druckkraft handelt, wenn sie nach innen zum Flugzeug handelt.

Normale Betonung kann durch mehrere ladende Methoden verursacht, am üblichsten werden, axiale Spannung und Kompression, das Verbiegen und die Reifen-Betonung seiend. Für den Fall der axialen Spannung oder Kompression (Abbildung 1.3) wird die normale Betonung in zwei Flugzeugen und der axial geladenen prismatischen Bar beobachtet. Die Betonung auf dem Flugzeug, das am Punkt der Anwendung der Last näher ist, ändert sich mehr über den Querschnitt als dieses des Flugzeugs. Jedoch, wenn die Querschnittsfläche der Bar sehr klein ist, d. h. die Bar schlank ist, ist die Schwankung der Betonung über das Gebiet klein, und durch die normale Betonung kann näher gekommen werden. Andererseits, wie man annehmen kann, ist die Schwankung der Scherspannung über die Abteilung einer prismatischen Bar nicht gleichförmig.

Im Fall vom Verbiegen einer Bar (Abbildung???), eine Seite wird gestreckt und anderes komprimiertes, auf axiale dehnbare und zusammenpressende normale Betonungen auf den jeweiligen Seiten hinauslaufend.

Reifen-Betonung (Abbildung???) wird normalerweise in Druck-Behältern gesehen, wo innerer Druck die Behälter-Wände veranlasst sich auszubreiten, der auf dehnbare normale Betonung hinausläuft.

Scherspannung

Ein verschiedener Typ der Betonung kommt vor, wenn die Kraft darin vorkommt, mähen wie gezeigt, in der Abbildung 1.4. wird die scheren Kraft genannt. Das Teilen die scheren Kraft durch die Querschnittsfläche erhalten wir die Scherspannung (tau).

:

Scherspannung kann auch durch verschiedene ladende Methoden verursacht werden, einschließlich des direkten, mähen Verdrehung, und kann im Verbiegen bedeutend sein. Eine in der Verdrehung geladene Welle sieht Scherspannung in der zu seiner Achse tangentialen Richtung. I-Balken sehen bedeutend mähen im Web unter dem Verbiegen von Lasten; das ist wegen des Webs, das die Flansche beschränkt.

Vereinigte Betonungen

Häufig erfahren mechanische Körper mehr als einen Typ der Betonung zur gleichen Zeit; das wird vereinigte Betonung genannt. Wenn zwei oder mehr betonen, folgen einem Flugzeug, d. h. dem Verbiegen und mähen, das wird zweiachsige Betonung genannt. Für vereinigte Betonungen, die in allen Richtungen, d. h. dem Verbiegen, Drehmoment und Druck handeln, ist das Triaxial-Betonung. Verschiedene Methoden, um vereinigte Betonungen zu behandeln, werden in diesen Artikel eingeschlossen.

Betonung (Cauchy) modellierend

Betonung wird allgemein über den Querschnitt durch einen materiellen Körper nicht gleichförmig verteilt. Folglich unterscheidet sich die Betonung an einem gegebenen Punkt von der durchschnittlichen Betonung über das komplette Gebiet. Deshalb ist es notwendig, die Betonung an einem spezifischen Punkt im Körper (Abbildung 1.1) zu definieren. Gemäß Cauchy wird die Betonung an jedem Punkt in einem Gegenstand, angenommen, sich als ein Kontinuum zu benehmen, durch neun Teilbetonungen völlig definiert: drei orthogonale normale Betonungen und sechs orthogonale Scherspannungen. Das kann als ein Tensor der zweiten Ordnung des als der Spannungstensor von Cauchy bekannten Typs (0,2) ausgedrückt werden.:

:

\left [{\\beginnen {Matrix-}\

\sigma _ {11} & \sigma _ {12} & \sigma _ {13} \\

\sigma _ {21} & \sigma _ {22} & \sigma _ {23} \\

\sigma _ {31} & \sigma _ {32} & \sigma _ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]

\equiv \left [{\\beginnen {Matrix-}\

\sigma _ {xx} & \sigma _ {xy} & \sigma _ {xz} \\

\sigma _ {yx} & \sigma _ {yy} & \sigma _ {yz} \\

\sigma _ {zx} & \sigma _ {zy} & \sigma _ {zz} \\

\end {matrix}-}\\Recht]\equiv \left [{\\beginnen {Matrix-}\

\sigma _x & \tau _ {xy} & \tau _ {xz} \\

\tau _ {yx} & \sigma _y & \tau _ {yz} \\

\tau _ {zx} & \tau _ {zy} & \sigma _z \\

\end {matrix}-}\\Recht]

\\! </Mathematik>

Der Cauchy Spannungstensor folgt dem Tensor-Transformationsgesetz unter einer Änderung im System von Koordinaten. Eine grafische Darstellung dieses Transformationsgesetzes ist der Kreis von Mohr des Betonungsvertriebs. Bestimmte invariants werden mit dem Spannungstensor vereinigt, dessen Werte vom Koordinatensystem gewählt oder das Bereichselement nicht abhängen, auf das der Spannungstensor funktioniert. Das sind die drei eigenvalues des Spannungstensors, die die Hauptbetonungen genannt werden.

Der Cauchy Spannungstensor wird für die Betonungsanalyse von materiellen Körpern verwendet, die kleine Deformierungen erfahren, wo die Unterschiede im Betonungsvertrieb in den meisten Fällen vernachlässigt werden können. Für große Deformierungen, auch genannt begrenzte Deformierungen, andere Maßnahmen der Betonung, wie die ersten und zweiten Spannungstensoren von Piola-Kirchhoff, sind der Spannungstensor von Biot und der Spannungstensor von Kirchhoff, erforderlich.

Gemäß dem Grundsatz der Bewahrung des geradlinigen Schwungs, wenn ein dauernder Körper im statischen Gleichgewicht ist, kann es demonstriert werden, dass die Bestandteile des Spannungstensors von Cauchy an jedem materiellen Punkt im Körper die Gleichgewicht-Gleichungen (die Gleichungen von Cauchy der Bewegung für die Nullbeschleunigung) befriedigen. Zur gleichen Zeit, gemäß dem Grundsatz der Bewahrung des winkeligen Schwungs, verlangt Gleichgewicht, dass die Summierung von Momenten in Bezug auf einen willkürlichen Punkt Null ist, die zum Beschluss führt, dass der Spannungstensor symmetrisch ist, so nur sechs unabhängige Betonungsbestandteile statt der ursprünglichen neun habend.

Festkörper, Flüssigkeiten und Benzin haben Betonungsfelder. Statische Flüssigkeiten unterstützen normale Betonung, aber werden unter der Scherspannung fließen. Das Bewegen klebriger Flüssigkeiten kann Scherspannung (dynamischer Druck) unterstützen. Festkörper können unterstützen sowohl zu mähen als auch normale Betonung, mit hämmerbaren Materialien, die darunter scheitern, mähen und spröde Materialien, die unter normaler Betonung scheitern. Alle Materialien haben abhängige Temperaturschwankungen in Betonungszusammenhängenden Eigenschaften, und nichtnewtonische Materialien haben von der Rate abhängige Schwankungen.

Betonungsanalyse

Betonungsanalyse ist der Entschluss vom inneren Vertrieb von Betonungen in einer Struktur. Es ist in der Technik für die Studie und das Design von Strukturen wie Tunnels, Dämme, mechanische Teile und Strukturrahmen unter vorgeschriebenen oder erwarteten Lasten erforderlich. Um den Vertrieb der Betonung in einer Struktur zu bestimmen, muss der Ingenieur eine Randwertaufgabe lösen, indem er die Grenzbedingungen angibt. Das sind Versetzungen und Kräfte an der Grenze der Struktur.

Bestimmende Gleichungen, wie das Gesetz von Hooke für geradlinige elastische Materialien, beschreiben die Betonungsbeanspruchungsbeziehung in diesen Berechnungen.

Wenn, wie man erwartet, eine Struktur elastisch deformiert (und seine ursprüngliche Gestalt fortzusetzen), wird eine auf der Theorie der Elastizität gestützte Randwertaufgabe mit unendlich kleinen Beanspruchungen unter Designlasten angewandt.

Wenn die angewandten Lasten dauerhaft die Struktur deformieren, gilt die Theorie der Knetbarkeit.

Betonungsanalyse wird vereinfacht, wenn die physischen Dimensionen und der Vertrieb von Lasten der Struktur erlauben, als eine - oder zweidimensional behandelt zu werden. Für eine zweidimensionale Analyse können eine Flugzeug-Betonung oder eine Flugzeug-Beanspruchungsbedingung angenommen werden. Wechselweise können Betonungen experimentell bestimmt werden.

Computergestützte Annäherungen für Randwertaufgaben können durch numerische Methoden wie die begrenzte Element-Methode, die begrenzte Unterschied-Methode und die Grenzelement-Methode erhalten werden. Analytisch oder Lösungen der geschlossenen Form kann für die einfache Geometrie, bestimmenden Beziehungen und Grenzbedingungen erhalten werden.

Theoretischer Hintergrund

Kontinuum-Mechanik befasst sich mit verformbaren Körpern im Vergleich mit starren Körpern. Die in der Kontinuum-Mechanik betrachteten Betonungen sind nur diejenigen, die während der Anwendung von Außenkräften und der folgenden Deformierung des Körpers, sc. Verhältnisänderungen in der Deformierung erzeugt sind, werden aber nicht absolute Werte betrachtet. Ein Körper wird stressfrei betrachtet, wenn die einzigen Kräfte präsentieren, sind jene Zwischenatomkräfte (ionisch, metallisch, und Kräfte von van der Waals) erforderlich, den Körper zusammenzuhalten und seine Gestalt ohne alle Außeneinflüsse einschließlich der Gravitationsanziehungskraft zu behalten. Betonungen, die während der Fertigung des Körpers zu einer spezifischen Konfiguration erzeugt sind, werden auch ausgeschlossen.

Im Anschluss an den klassischen Newtonisch und Dynamik von Eulerian wird die Bewegung eines materiellen Körpers durch die Handlung äußerlich angewandter Kräfte erzeugt, die, wie man annimmt, von zwei Arten sind: Erscheinen Sie Kräfte und Körperkräfte.

Oberflächenkräfte oder Kontakt-Kräfte, können entweder auf der begrenzenden Oberfläche des Körpers, infolge des mechanischen Kontakts mit anderen Körpern, oder auf imaginären inneren Oberflächen handeln, die Teile des Körpers, infolge der mechanischen Wechselwirkung zwischen den Teilen des Körpers zu jeder Seite der Oberfläche (#Euler–Cauchy Betonungsgrundsatz) binden. Wenn Außenkontakt-Kräfte einem Körper, innerem Kontakt-Kraft-Pass vom Punkt bis Punkt innerhalb des Körpers folgen, um ihre Handlung, gemäß dem zweiten Gesetz von Newton der Bewegung der Bewahrung des geradlinigen Schwungs und winkeligen Schwungs zu erwägen. Diese Gesetze werden die Gleichungen von Euler der Bewegung für dauernde Körper genannt. Die inneren Kontakt-Kräfte sind mit der Deformierung des Körpers durch bestimmende Gleichungen verbunden. Dieser Artikel stellt mathematische Beschreibungen von inneren Kontakt-Kräften zur Verfügung, und wie sie sich auf die Bewegung des Körpers beziehen, die des materiellen Make-Ups des Körpers unabhängig ist.

Betonung kann als ein Maß der inneren Kontakt-Kraft-Intensität gedacht werden, die zwischen Partikeln des Körpers über imaginäre innere Oberflächen handelt. Mit anderen Worten ist Betonung ein Maß der durchschnittlichen Menge der Kraft, die pro Einheitsgebiet der Oberfläche ausgeübt ist, auf der diese inneren Kräfte handeln. Die Intensität von Kontakt-Kräften ist im umgekehrten Verhältnis zum Kontakt-Gebiet. Zum Beispiel, wenn eine auf ein kleines Gebiet angewandte Kraft im Vergleich zu einer verteilten Last desselben resultierenden auf ein größeres Gebiet angewandten Umfangs ist, findet man, dass die Effekten oder Intensitäten dieser zwei Kräfte lokal verschieden sind, weil die Betonungen nicht dasselbe sind.

Körperkräfte entstehen aus Quellen außerhalb des Körpers, die seinem Volumen (oder Masse) folgen. Das deutet an, dass die inneren Kräfte durch die Kontakt-Kräfte allein erscheinen. Diese Kräfte entstehen aus der Anwesenheit des Körpers in Kraft-Feldern, (z.B, ein Schwerefeld). Da, wie man annimmt, die Masse eines dauernden Körpers unaufhörlich verteilt wird, wird jede Kraft, die aus der Masse entsteht, auch unaufhörlich verteilt. So, wie man annimmt, sind Körperkräfte über das Volumen des Körpers dauernd.

Die Dichte von inneren Kräften an jedem Punkt in einem verformbaren Körper ist nicht notwendigerweise sogar, d. h. es gibt einen Vertrieb von Betonungen. Diese Schwankung von inneren Kräften wird durch die Gesetze der Bewahrung des geradlinigen und winkeligen Schwungs geregelt, die normalerweise für eine Massenpartikel gelten, aber sich in der Kontinuum-Mechanik bis zu einen Körper der unaufhörlich verteilten Masse ausstrecken. Wenn ein Körper als ein Zusammenbau von getrennten Partikeln, jeder vertreten wird, der durch Newtonsche Gesetze der Bewegung geregelt ist, dann können die Gleichungen von Euler aus Newtonschen Gesetzen abgeleitet werden. Die Gleichungen von Euler können jedoch als Axiome genommen werden, die die Gesetze der Bewegung für verlängerte Körper unabhängig von jeder Partikel-Struktur beschreiben.

Euler-Cauchy betonen Grundsatz

Der Euler-Cauchy-Betonungsgrundsatz stellt fest, dass auf jede Oberfläche (echt oder imaginär), der den Körper teilt, die Handlung eines Teils des Körpers auf dem anderen (equipollent) zum System von verteilten Kräften und Paaren auf der Oberfläche gleichwertig ist, die den Körper teilt, und es durch ein Vektorfeld T, genannt den Betonungsvektoren vertreten wird, auf der Oberfläche S definiert hat und angenommen hat, um unaufhörlich vom Einheitsvektor der Oberfläche n abzuhängen.

Um diesen Grundsatz zu erklären, betrachten Sie eine imaginäre Oberfläche S als das Durchführen eines inneren materiellen Punkts P das Teilen des dauernden Körpers in zwei Segmente, wie gesehen, in der Abbildung 2.1a oder 2.1b (verwenden einige Autoren das Schneidflugzeug-Diagramm, und andere verwenden das Diagramm mit dem willkürlichen Volumen innerhalb des Kontinuums, das durch die Oberfläche S eingeschlossen ist). Der Körper wird äußerlichem Oberflächenkraft-F unterworfen, und Körper zwingt b. Die inneren Kontakt-Kräfte, die von einem Segment bis anderen durch das sich teilende Flugzeug, wegen der Handlung eines Teils des Kontinuums auf den anderen übersandt sind, erzeugen einen Kraft-Vertrieb auf einem kleinen Gebiet ΔS, mit einem normalen Einheitsvektor n, auf dem sich teilenden Flugzeug S. Der Kraft-Vertrieb ist equipollent zu einer Kontakt-Kraft ΔF, und ein Paar betonen ΔM, wie gezeigt, in der Abbildung 2.1a und 2.1b. Der Betonungsgrundsatz von Cauchy behauptet, dass weil ΔS sehr klein wird und zur Null neigt, wird das Verhältnis ΔF/ΔS dF/dS, und der Paar-Betonungsvektor verschwindet ΔM. In spezifischen Feldern der Kontinuum-Mechanik, wie man annimmt, verschwindet die Paar-Betonung nicht; jedoch richten klassische Zweige der Kontinuum-Mechanik nichtpolare Materialien, die Paar-Betonungen und Körpermomente nicht denken. Der resultierende Vektor dF/dS wird als der Betonungsvektor oder Traktionsvektor definiert, der durch T = T e am Punkt P gegeben ist, vereinigt mit einem Flugzeug mit einem normalen Vektoren n:

:

Diese Gleichung bedeutet, dass der Betonungsvektor von seiner Position im Körper und der Orientierung des Flugzeugs abhängt, auf dem es handelt.

Abhängig von der Orientierung des Flugzeugs unter der Rücksicht kann der Betonungsvektor nicht auf diesem Flugzeug notwendigerweise rechtwinklig sein, d. h. zu n anpassen, und kann in zwei Bestandteile (Abbildung 2.1c) aufgelöst werden:

• ein normaler zum Flugzeug, genannt normale Betonung

:

:where dF ist der normale Bestandteil der Kraft dF zum Differenzialgebiet dS

• und die andere Parallele zu diesem Flugzeug, genannt die Scherspannung

:

:where dF ist der tangentiale Bestandteil der Kraft dF zur Differenzialfläche dS. Die Scherspannung kann weiter in zwei gegenseitig rechtwinklige Vektoren zersetzt werden.

Das Postulat von Cauchy

Gemäß dem Cauchy-Postulat bleibt der Betonungsvektor T unverändert für alle Oberflächen, die den Punkt P durchführen und denselben normalen Vektoren n an P haben, d. h., eine allgemeine Tangente an P habend. Das bedeutet, dass der Betonungsvektor eine Funktion des normalen Vektoren n nur ist, und nicht unter Einfluss der Krümmung der inneren Oberflächen ist.

Das grundsätzliche Lemma von Cauchy

Eine Folge des Postulates von Cauchy ist das Grundsätzliche Lemma von Cauchy, auch genannt Cauchy gegenseitiger Lehrsatz, der feststellt, dass die Betonungsvektoren, die Gegenseiten derselben Oberfläche folgen, im Umfang und gegenüber in der Richtung gleich sind. Das grundsätzliche Lemma von Cauchy ist zum dritten Gesetz von Newton der Bewegung der Handlung und Reaktion gleichwertig, und wird als ausgedrückt

:

Der Betonungslehrsatz von Cauchy — Spannungstensor

Der Staat der Betonung an einem Punkt im Körper wird dann durch alle Betonungsvektoren T vereinigt mit allen Flugzeugen definiert (unendlich in der Zahl), die diesen Punkt durchführen. Jedoch, gemäß dem Hauptsatz von Cauchy, auch genannt den Betonungslehrsatz von Cauchy, bloß durch das Wissen der Betonungsvektoren auf drei gegenseitig rechtwinkligen Flugzeugen, kann der Betonungsvektor auf jedem anderen Flugzeug, das diesen Punkt durchführt, durch Koordinatentransformationsgleichungen gefunden werden.

Der Betonungslehrsatz von Cauchy stellt fest, dass dort ein Tensor-Feld der zweiten Ordnung σ (x, t), genannt den Spannungstensor von Cauchy besteht, der von n unabhängig ist, solch, dass T eine geradlinige Funktion von n ist:

:

Diese Gleichung deutet an, dass der Betonungsvektor T an jedem Punkt P in einem Kontinuum, das mit einem Flugzeug mit dem normalen Einheitsvektor n vereinigt ist, als eine Funktion der Betonungsvektoren auf der Flugzeug-Senkrechte zu den Koordinatenäxten, d. h. in Bezug auf die Bestandteile σ vom Spannungstensor σ ausgedrückt werden kann.

Um diesen Ausdruck zu beweisen, betrachten Sie ein Tetraeder mit drei Gesichtern als orientiert in den Koordinatenflugzeugen, und mit einem unendlich kleinen Gebiet dA orientiert in einer willkürlichen Richtung angegeben durch einen normalen Einheitsvektor n (Abbildung 2.2). Das Tetraeder wird durch das Schneiden des unendlich kleinen Elements entlang einem willkürlichen Flugzeug n gebildet. Der Betonungsvektor auf diesem Flugzeug wird durch T angezeigt. Die Betonungsvektoren, die den Gesichtern des Tetraeders folgen, werden als T, T, und T angezeigt, und sind definitionsgemäß die Bestandteile σ des Spannungstensors σ. Dieses Tetraeder wird manchmal das Tetraeder von Cauchy genannt. Das Gleichgewicht von Kräften, d. h. das erste Gesetz von Euler der Bewegung (Das zweite Gesetz des Newtons der Bewegung), gibt:

:

wo die rechte Seite das Produkt der Masse vertritt, die durch das Tetraeder und seine Beschleunigung eingeschlossen ist: &rho; ist die Dichte, der Beschleunigung zu sein, und h ist die Höhe des Tetraeders, das Flugzeug n als die Basis denkend. Das Gebiet der Gesichter der Tetraeder-Senkrechte zu den Äxten kann durch die Projektierung dA in jedes Gesicht gefunden werden (das Punktprodukt verwendend):

:::

und dann in die Gleichung vertretend, um dA zu annullieren:

:

Um den Begrenzungsfall als in Betracht zu ziehen, weicht das Tetraeder zu einem Punkt zurück, h muss zu 0 gehen (intuitiv, das Flugzeug n wird entlang n zu O übersetzt). Infolgedessen nähert sich die rechte Seite der Gleichung 0, so

:Als sie

ein materielles Element (Abbildung 2.3) mit der Flugzeug-Senkrechte zu den Koordinatenäxten eines Kartesianischen Koordinatensystems angenommen haben, haben die Betonungsvektoren mit jedem der Element-Flugzeuge verkehrt, d. h. T, T, und T können in einen normalen Bestandteil zersetzt werden, und zwei scheren Bestandteile, d. h. Bestandteile in der Richtung auf die drei Koordinatenäxte. Für den besonderen Fall einer Oberfläche mit dem normalen in der Richtung auf die X-Achse orientierten Einheitsvektor, zeigen Sie die normale Betonung durch σ und die zwei Scherspannungen als σ und σ an:

:::

In der Index-Notation ist das

:

Die neun Bestandteile &sigma; der Betonung sind Vektoren die Bestandteile einer zweiten Ordnung, die Kartesianischer Tensor den Spannungstensor von Cauchy genannt hat, der völlig den Staat der Betonung an einem Punkt definiert und durch gegeben wird

:

\mathbf {T} ^ {(\mathbf {e} _2)} \\

\mathbf {T} ^ {(\mathbf {e} _3)} \\

\end {matrix}-}\\Recht] =

\left [{\\beginnen {Matrix-}\\sigma _ {11} & \sigma _ {12} & \sigma _ {13} \\\sigma _ {21} & \sigma _ {22} & \sigma _ {23} \\\sigma _ {31} & \sigma _ {32} & \sigma _ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht] \equiv \left [{\\beginnen {Matrix-}\

\sigma _ {xx} & \sigma _ {xy} & \sigma _ {xz} \\\sigma _ {yx} & \sigma _ {yy} & \sigma _ {yz} \\\sigma _ {zx} & \sigma _ {zy} & \sigma _ {zz} \\\end {matrix}-}\\Recht] \equiv \left [{\\beginnen {Matrix-}\\sigma _x & \tau _ {xy} & \tau _ {xz} \\\tau _ {yx} & \sigma _y & \tau _ {yz} \\\tau _ {zx} & \tau _ {zy} & \sigma _z \\

\end {matrix}-}\\Recht], </Mathematik>

wo &sigma; &sigma; und &sigma; sind normale Betonungen, und &sigma; &sigma; &sigma; &sigma; &sigma; und &sigma; sind Scherspannungen. Der erste Index i zeigt an, dass die Betonung einem Flugzeug folgt, das zur X-Achse normal ist, und der zweite Index j die Richtung anzeigt, in der die Betonung handelt. Ein Betonungsbestandteil ist positiv, wenn er in der positiven Richtung der Koordinatenäxte handelt, und wenn das Flugzeug, wo er handelt, einen äußeren normalen Vektoren hat, der in der positiven Koordinatenrichtung hinweist.

So, mit den Bestandteilen des Spannungstensors

:

& = \sum_ {i=1} ^3 \mathbf {T} ^ {(\mathbf {e} _i)} n_i \\

&= \left (\sigma_ {ij }\\mathbf {e} _j \right) n_i \\

&= \sigma_ {ij} n_i\mathbf {e} _j

\end {richten} </Mathematik> {aus}

oder, gleichwertig,

:

Wechselweise in der Matrixform haben wir

:

T^ {(\mathbf n)} _1 & T^ {(\mathbf n)} _2 & T^ {(\mathbf n)} _3\end {matrix}-}\\Recht] = \left [{\\beginnen {Matrix-}\

n_1 & n_2 & n_3

\end {matrix}-}\\Recht] \cdot

\left [{\\beginnen {Matrix-}\\sigma _ {11} & \sigma _ {12} & \sigma _ {13} \\\sigma _ {21} & \sigma _ {22} & \sigma _ {23} \\\sigma _ {31} & \sigma _ {32} & \sigma _ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]. </Mathematik>

Die Notationsdarstellung von Voigt des Spannungstensors von Cauchy nutzt die Symmetrie des Spannungstensors aus, um die Betonung als ein sechsdimensionaler Vektor der Form auszudrücken:

:

Die Notation von Voigt wird umfassend im Darstellen von Betonungsbeanspruchungsbeziehungen in der festen Mechanik und für die rechenbetonte Leistungsfähigkeit in der numerischen Strukturmechanik-Software verwendet.

Transformationsregel des Spannungstensors

Es kann gezeigt werden, dass der Spannungstensor ein kontravarianter zweiter Ordnungstensor ist, der eine Behauptung dessen ist, wie er sich unter einer Änderung des Koordinatensystems verwandelt. Von einem x - System zu einem x '-System werden die Bestandteile σ im anfänglichen System in die Bestandteile σ' im neuen System gemäß der Tensor-Transformationsregel (Abbildung 2.4) umgestaltet:

:

wo A eine Folge-Matrix mit Bestandteilen a ist. In der Matrixform ist das

:

\sigma^ '_ {11} & \sigma^ '_ {12} & \sigma^ '_ {13} \\

\sigma^ '_ {21} & \sigma^ '_ {22} & \sigma^ '_ {23} \\

\sigma^ '_ {31} & \sigma^ '_ {32} & \sigma^ '_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht] = \left [{\\beginnen {Matrix-}\

a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\

a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\

a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht] \left [{\\beginnen {Matrix-}\

\sigma_ {11} & \sigma_ {12} & \sigma_ {13} \\

\sigma_ {21} & \sigma_ {22} & \sigma_ {23} \\

\sigma_ {31} & \sigma_ {32} & \sigma_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht] \left [{\\beginnen {Matrix-}\

a_ {11} & a_ {21} & a_ {31} \\

a_ {12} & a_ {22} & a_ {32} \\

a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]. </Mathematik>

Die Erweiterung der Matrixoperation und die Vereinfachung von Begriffen mit der Symmetrie des Spannungstensors, geben

::::

\sigma_ {12}' = &a_ {11} a_ {21 }\\sigma_ {11} +a_ {12} a_ {22 }\\sigma_ {22} +a_ {13} a_ {23 }\\sigma_ {33 }\\\

&+ (a_ {11} a_ {22} +a_ {12} a_ {21}) \sigma_ {12} + (a_ {12} a_ {23} +a_ {13} a_ {22}) \sigma_ {23} + (a_ {11} a_ {23} +a_ {13} a_ {21}) \sigma_ {13},

\end {richten} </Mathematik> {aus}:

\sigma_ {23}' = &a_ {21} a_ {31 }\\sigma_ {11} +a_ {22} a_ {32 }\\sigma_ {22} +a_ {23} a_ {33 }\\sigma_ {33 }\\\

&+ (a_ {21} a_ {32} +a_ {22} a_ {31}) \sigma_ {12} + (a_ {22} a_ {33} +a_ {23} a_ {32}) \sigma_ {23} + (a_ {21} a_ {33} +a_ {23} a_ {31}) \sigma_ {13}, \end {richten} </Mathematik> {aus}

:

\sigma_ {13}' = &a_ {11} a_ {31 }\\sigma_ {11} +a_ {12} a_ {32 }\\sigma_ {22} +a_ {13} a_ {33 }\\sigma_ {33 }\\\

&+ (a_ {11} a_ {32} +a_ {12} a_ {31}) \sigma_ {12} + (a_ {12} a_ {33} +a_ {13} a_ {32}) \sigma_ {23} + (a_ {11} a_ {33} +a_ {13} a_ {31}) \sigma_ {13} {richten}.\end </Mathematik> {aus}

Der Mohr Kreis für Betonung ist eine grafische Darstellung dieser Transformation von Betonungen.

Normal und Scherspannungen

Der Umfang des normalen Betonungsbestandteils &sigma; jedes Betonungsvektoren T das Folgen einem willkürlichen Flugzeug mit dem normalen Vektoren n an einem gegebenen Punkt, in Bezug auf die Bestandteile &sigma; des Spannungstensors σ, ist das Punktprodukt des Betonungsvektoren und des normalen Vektoren:

:

\sigma_\mathrm {n} &= \mathbf {T} ^ {(\mathbf {n}) }\\cdot \mathbf {n} \\

&=T^ {(\mathbf n)} _i n_i \\

&= \sigma_ {ij} n_i n_j.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der Umfang des Scherspannungsbestandteils &tau; das Handeln im Flugzeug, das durch die zwei Vektoren T und n abgemessen ist, kann dann mit dem Pythagoreischen Lehrsatz gefunden werden:

:

\tau_\mathrm {n} &= \sqrt {\left (T^ {(\mathbf n)} \right) ^2-\sigma_\mathrm {n} ^2} \\

&= \sqrt {T_i^ {(\mathbf n)} T_i^ {(\mathbf n)}-\sigma_\mathrm {n} ^2},

\end {richten} </Mathematik> {aus}wo:

Gleichgewicht-Gleichungen und Symmetrie des Spannungstensors

Wenn ein Körper im Gleichgewicht ist, befriedigen die Bestandteile des Spannungstensors in jedem Punkt des Körpers die Gleichgewicht-Gleichungen,

:

\sigma_ {ji, j} + F_i = 0

\\! </Mathematik>

Zum Beispiel, für eine hydrostatische Flüssigkeit in Gleichgewicht-Bedingungen, übernimmt der Spannungstensor die Form:

:

wo der hydrostatische Druck ist, und das kronecker Delta ist.

:

Zur gleichen Zeit verlangt Gleichgewicht, dass die Summierung von Momenten in Bezug auf einen willkürlichen Punkt Null ist, die zum Beschluss führt, dass der Spannungstensor symmetrisch ist, d. h.

::

Jedoch, in Gegenwart von Paar-Betonungen, d. h. Momente pro Einheitsvolumen, ist der Spannungstensor nichtsymmetrisch. Das ist auch der Fall, wenn die Zahl von Knudsen ein nah ist, oder das Kontinuum ein nichtnewtonsches Fluid ist, das Rotations-non-invariant zu Flüssigkeiten wie Polymer führen kann.

Rektor betont und Betonung invariants

An jedem Punkt in einem betonten Körper gibt es mindestens drei Flugzeuge, genannt Hauptflugzeuge, mit normalen Vektoren, genannt Hauptrichtungen, wo der entsprechende Betonungsvektor auf dem Flugzeug, d. h., Parallele oder in derselben Richtung wie der normale Vektor rechtwinklig ist, und wo es keine normalen Scherspannungen gibt. Die drei zu diesen Hauptflugzeugen normalen Betonungen werden Hauptbetonungen genannt.

Die Bestandteile des Spannungstensors hängen von der Orientierung des Koordinatensystems am Punkt unter der Rücksicht ab. Jedoch ist der Spannungstensor selbst eine physische Menge und als solcher, es ist des Koordinatensystems unabhängig, das gewählt ist, um es zu vertreten. Es gibt bestimmten mit jedem Tensor vereinigten invariants, die auch des Koordinatensystems unabhängig sind. Zum Beispiel ist ein Vektor ein einfacher Tensor der Reihe ein. In drei Dimensionen hat es drei Bestandteile. Der Wert dieser Bestandteile wird vom Koordinatensystem abhängen, das gewählt ist, um den Vektoren zu vertreten, aber die Länge des Vektoren ist eine physische Menge (ein Skalar) und ist des Koordinatensystems unabhängig, das gewählt ist, um den Vektoren zu vertreten. Ähnlich hat jeder zweite Reihe-Tensor (wie die Betonung und die Deformationstensoren) drei unabhängige invariant damit vereinigte Mengen. Ein Satz solchen invariants ist die Hauptbetonungen des Spannungstensors, die gerade der eigenvalues des Spannungstensors sind. Ihre Richtungsvektoren sind die Hauptrichtungen oder Eigenvektoren.

Durch eine Betonungsvektor-Parallele zum normalen Vektoren wird gegeben:

:

wo eine Konstante der Proportionalität ist, und in diesem besonderen Fall den Umfängen der normalen Betonungsvektoren oder Hauptbetonungen entspricht.

Wissend, dass und wir haben

:

T_i^ {(n)} &= \lambda n_i \\

\sigma_ {ij} n_j &= \lambda n_i \\

\sigma_ {ij} n_j-\lambda n_i &=0 \\

\left (\sigma_ {ij} - \lambda\delta_ {ij} \right) n_j &=0 \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Das ist ein homogenes System, d. h. gleich der Null von drei geradlinigen Gleichungen, wo der unknowns sind. Um eine nichttriviale (nichtnull)-Lösung für zu erhalten, muss die bestimmende Matrix der Koeffizienten der Null gleich sein, d. h. das System ist einzigartig. So,

:

\sigma_ {11} - \lambda & \sigma_ {12} & \sigma_ {13} \\

\sigma_ {21} & \sigma_ {22} - \lambda & \sigma_ {23} \\

\sigma_ {31} & \sigma_ {32} & \sigma_ {33} - \lambda \\

\end {vmatrix} =0 \, \! </math>

Erweiterung der Determinante führt zur charakteristischen Gleichung

:wo:

I_1 &= \sigma_ {11} + \sigma_ {22} + \sigma_ {33} \\

&= \sigma_ {kk} \\

I_2 &= \begin {vmatrix }\

\sigma_ {22} & \sigma_ {23} \\

\sigma_ {32} & \sigma_ {33} \\

\end {vmatrix }\

+ \begin {vmatrix }\

\sigma_ {11} & \sigma_ {13} \\

\sigma_ {31} & \sigma_ {33} \\

\end {vmatrix }\

+

\begin {vmatrix }\

\sigma_ {11} & \sigma_ {12} \\

\sigma_ {21} & \sigma_ {22} \\

\end {vmatrix} \\

&= \sigma_ {11 }\\sigma_ {22} + \sigma_ {22 }\\sigma_ {33} + \sigma_ {11 }\\sigma_ {33}-\sigma_ {12} ^2-\sigma_ {23} ^2-\sigma_ {31} ^2 \\

&= \frac {1} {sind 2 }\\(\sigma_ {ii }\\sigma_ {jj}-\sigma_ {ij }\\sigma_ {ji }\\Recht) \\abgereist

I_3 &= \det (\sigma_ {ij}) \\

&= \sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33}+2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31}-\sigma_{12}^2\sigma_{33}-\sigma_{23}^2\sigma_{11}-\sigma_{31}^2\sigma_{22} \\

\end {richten }\aus

\\! </Mathematik>

Die charakteristische Gleichung hat drei echte Wurzeln, d. h. nicht imaginär wegen der Symmetrie des Spannungstensors., und, sind die Hauptbetonungen, Funktionen des eigenvalues. Die eigenvalues sind die Wurzeln des Lehrsatzes von Cayley-Hamilton. Die Hauptbetonungen sind für einen gegebenen Spannungstensor einzigartig. Deshalb, von der charakteristischen Gleichung, haben die Koeffizienten, und, genannt die erste, zweite und dritte Betonung invariants beziehungsweise immer denselben Wert unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems.

Für jeden eigenvalue gibt es eine nichttriviale Lösung für in der Gleichung. Diese Lösungen sind die Hauptrichtungen oder Eigenvektoren, die das Flugzeug definieren, wo das Rektor Tat betont. Die Hauptbetonungen und Hauptrichtungen charakterisieren die Betonung an einem Punkt und sind der Orientierung unabhängig.

Ein Koordinatensystem mit zu den Hauptrichtungen orientierten Äxten deutet an, dass die normalen Betonungen die Hauptbetonungen sind und der Spannungstensor durch eine Diagonalmatrix vertreten wird:

:\begin {bmatrix }\

\sigma_1 & 0 & 0 \\

0 & \sigma_2 & 0 \\

0 & 0 & \sigma_3

\end {bmatrix }\\\! </Mathematik>

Die Hauptbetonungen können verbunden werden, um die Betonung invariants zu bilden, und. Die ersten und dritten invariant sind die Spur und Determinante beziehungsweise des Spannungstensors. So,

:

I_1 &= \sigma_ {1} + \sigma_ {2} + \sigma_ {3} \\

I_2 &= \sigma_ {1 }\\sigma_ {2} + \sigma_ {2 }\\sigma_ {3} + \sigma_ {3 }\\sigma_ {1} \\

I_3 &= \sigma_ {1 }\\sigma_ {2 }\\sigma_ {3} \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Wegen seiner Einfachheit ist das Hauptkoordinatensystem häufig nützlich, wenn es den Staat des elastischen Mediums an einem besonderen Punkt denkt. Hauptbetonungen werden häufig in der folgenden Gleichung ausgedrückt, um Betonungen im x und den y Richtungen oder axial zu bewerten und Betonungen auf einem Teil zu biegen. Die normalen Hauptbetonungen können dann verwendet werden, um die Betonung von von Mises und schließlich den Sicherheitsfaktor und Rand der Sicherheit zu berechnen.

:

Das Verwenden gerade des Teils der Gleichung unter der Quadratwurzel ist der maximalen und minimalen Scherspannung für plus und minus gleich. Das wird als gezeigt:

:

Maximale und minimale Scherspannungen

Die maximale Scherspannung oder maximale Hauptscherspannung sind einer Hälfte des Unterschieds zwischen den größten und kleinsten Hauptbetonungen gleich, und folgen dem Flugzeug, das den Winkel zwischen den Richtungen der größten und kleinsten Hauptbetonungen halbiert, d. h. das Flugzeug der maximalen Scherspannung von den Hauptbetonungsflugzeugen orientiert wird. Die maximale Scherspannung wird als ausgedrückt

:

Das Annehmen dann

:

Das normale Betonungsteilfolgen dem Flugzeug für die maximale Scherspannung ist Nichtnull, und es ist gleich

:

Betonen Sie deviator Tensor

Der Spannungstensor kann als die Summe von zwei anderen Spannungstensoren ausgedrückt werden:

1. ein hydrostatischer Mittelspannungstensor oder volumetrischer Spannungstensor oder normaler Mittelspannungstensor, der dazu neigt, das Volumen des betonten Körpers zu ändern; und
2. ein deviatoric Bestandteil hat die Betonung deviator Tensor genannt, der dazu neigt, es zu verdrehen.

So:

:

wo die durch gegebene Mittelbetonung ist

:

Bemerken Sie, dass sich die Tagung in der festen Mechanik ein bisschen davon unterscheidet, was oben verzeichnet wird. In der festen Mechanik wird Druck allgemein als negativ ein Drittel die Spur des Spannungstensors definiert.

Der deviatoric Spannungstensor kann durch das Abziehen des hydrostatischen Spannungstensors vom Spannungstensor erhalten werden:

:

\s_ {ij} &= \sigma_ {ij} - \frac {\\sigma_ {kk}} {3 }\\delta_ {ij}, \, \\

\left [{\\beginnen {Matrix-}\

s_ {11} & s_ {12} & s_ {13} \\

s_ {21} & s_ {22} & s_ {23} \\

s_ {31} & s_ {32} & s_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]

&= \left [beginnen {\\{Matrix-}\

\sigma_ {11} & \sigma_ {12} & \sigma_ {13} \\\sigma_ {21} & \sigma_ {22} & \sigma_ {23} \\\sigma_ {31} & \sigma_ {32} & \sigma_ {33} \\

\end {matrix}-}\\Recht]-\left [{\\beginnen {Matrix-}\

p & 0 & 0 \\

0 & p & 0 \\

0 & 0 & p \\

\end {matrix}-}\\Recht] \\

&= \left [beginnen {\\{Matrix-}\

\sigma_ {11}-p & \sigma_ {12} & \sigma_ {13} \\

\sigma_ {21} & \sigma_ {22}-p & \sigma_ {23} \\

\sigma_ {31} & \sigma_ {32} & \sigma_ {33}-p \\

\end {matrix}-}\\Recht]. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Invariants der Betonung deviator Tensor

Da es ein zweiter Ordnungstensor ist, hat die Betonung deviator Tensor auch eine Reihe von invariants, die mit demselben Verfahren erhalten werden können, das verwendet ist, um den invariants des Spannungstensors zu berechnen. Es kann gezeigt werden, dass die Hauptrichtungen der Betonung deviator Tensor dasselbe als die Hauptrichtungen des Spannungstensors sind. So ist die charakteristische Gleichung

:

wo, und die erste, zweite und dritte Deviatoric-Betonung invariants beziehungsweise sind. Ihre Werte sind der derselbe (invariant) unabhängig von der Orientierung des gewählten Koordinatensystems. Diese deviatoric betonen, dass invariants als eine Funktion der Bestandteile oder seiner Hauptwerte, und, oder wechselweise, als eine Funktion oder seine Hauptwerte ausgedrückt werden kann, und. So,

:

J_1 &= s_ {kk} =0, \, \\

J_2 &= \textstyle {\\frac {1} {2}} s_ {ij} s_ {ji} \\

&=-s_1s_2 - s_2s_3 - s_3s_1 \\

&= \tfrac {1} {sind 6 }\\[(\sigma_ {11} - \sigma_ {22}) ^2 + (\sigma_ {22} - \sigma_ {33}) ^2 + (\sigma_ {33} - \sigma_ {11}) ^2 \right] + \sigma_ {12} ^2 + \sigma_ {23} ^2 + \sigma_ {31} ^2 \\abgereist

&= \tfrac {1} {sind 6 }\\[(\sigma_1 - \sigma_2) ^2 + (\sigma_2 - \sigma_3) ^2 + (\sigma_3 - \sigma_1) ^2 \right] \\abgereist

&= \tfrac {1} {3} I_1^2-I_2, \, \\

J_3 &= \det (s_ {ij}) \\

&= \tfrac {1} {3} s_ {ij} s_ {jk} s_ {ki} \\

&= s_1s_2s_3 \\

&= \tfrac {2} {27} I_1^3 - \tfrac {1} {3} I_1 I_2 + I_3. \,

\end {richten }\aus</Mathematik>

Weil die Betonung deviator Tensor in einem Staat von reinen ist, mähen.

Eine Menge hat die gleichwertige Betonung genannt, oder Betonung von von Mises wird in der festen Mechanik allgemein verwendet. Die gleichwertige Betonung wird als definiert

:

\. </Mathematik>

Octahedral betont

Die Hauptrichtungen als die Koordinatenäxte betrachtend, wird ein Flugzeug, dessen normaler Vektor gleiche Winkel mit jeder der Hauptäxte macht (d. h. habende Richtungskosinus gleich) ein octahedral Flugzeug genannt. Es gibt insgesamt acht octahedral Flugzeuge (Abbildung 6). Die normalen und mähen Bestandteile des Spannungstensors auf diesen Flugzeugen werden octahedral normale Betonung und octahedral Scherspannung beziehungsweise genannt.

Das Wissen, dass der Spannungstensor des Punkts O (Abbildung 6) in den Hauptäxten ist

:\begin {bmatrix }\\sigma_1 & 0 & 0 \\0 & \sigma_2 & 0 \\0 & 0 & \sigma_3\end {bmatrix }\\\! </Mathematik>

durch den Betonungsvektoren auf einem octahedral Flugzeug wird dann gegeben:

:

\mathbf {T} _ \mathrm {Okt} ^ {(\mathbf {n})} &= \sigma_ {ij} n_i\mathbf {e} _j \\

&= \sigma_1n_1\mathbf {e} _1 +\sigma_2n_2\mathbf {e} _2 +\sigma_3n_3\mathbf {e} _3 \\

&= \tfrac {1} {\\sqrt {3}} (\sigma_1\mathbf {e} _1 +\sigma_2\mathbf {e} _2 +\sigma_3\mathbf {e} _3)

\end {richten }\aus\\! </Mathematik>

Der normale Bestandteil des Betonungsvektoren am Punkt O vereinigt mit dem octahedral Flugzeug ist

:

\sigma_\mathrm {Okt} &= T^ {(n)} _in_i \\

&= \sigma_ {ij} n_in_j \\

&= \sigma_1n_1n_1 +\sigma_2n_2n_2 +\sigma_3n_3n_3 \\

&= \tfrac {1} {3} (\sigma_1 +\sigma_2 +\sigma_3) = \tfrac {1} {3} I_1

\end {richten }\aus\\! </Mathematik>

der die normale Mittelbetonung oder hydrostatische Betonung ist. Dieser Wert ist dasselbe in allen acht octahedral Flugzeugen.

Die Scherspannung auf dem octahedral Flugzeug ist dann

:

\tau_\mathrm {Okt} &= \sqrt {T_i^ {(n)} T_i^ {(n)}-\sigma_\mathrm {n} ^2} \\

&= \left [\tfrac {1} {3} (\sigma_1^2 +\sigma_2^2 +\sigma_3^2)-\tfrac {1} {9} (\sigma_1 +\sigma_2 +\sigma_3) ^2\right] ^ {1/2} \\

&= \tfrac {1} {sind 3 }\\[(\sigma_1-\sigma_2) ^2 + (\sigma_2-\sigma_3 abgereist) ^2 + (\sigma_3-\sigma_1) ^2\right] ^ {1/2} = \tfrac {1} {3 }\\sqrt {2I_1^2-6I_2} = \sqrt {\\tfrac {2} {3} J_2 }\

\end {richten }\aus\\! </Mathematik>

Alternative Maßnahmen der Betonung

Andere nützliche Betonungsmaßnahmen schließen die ersten und zweiten Spannungstensoren von Piola-Kirchhoff, den Spannungstensor von Biot und den Spannungstensor von Kirchhoff ein.

Spannungstensor von Piola-Kirchhoff

Im Fall von begrenzten Deformierungen drücken die Spannungstensoren von Piola-Kirchhoff die Betonung hinsichtlich der Bezugskonfiguration aus. Das ist im Gegensatz zum Spannungstensor von Cauchy, der die Betonung hinsichtlich der gegenwärtigen Konfiguration ausdrückt. Für unendlich kleine Deformierungen oder Folgen ist der Tensor von Cauchy und Piola-Kirchhoff identisch.

Wohingegen der Spannungstensor von Cauchy, Betonungen in der aktuellen Konfiguration verbindet, werden der Deformierungsanstieg und die Deformationstensoren durch die Verbindung der Bewegung mit der Bezugskonfiguration beschrieben; so ist nicht der ganze Tensor, der den Staat des Materials beschreibt entweder in der Verweisung oder in aktuellen Konfiguration. Wenn sie die Betonung beschreiben, würden Beanspruchung und Deformierung entweder in der Verweisung oder in aktuellen Konfiguration es leichter machen, bestimmende Modelle zu definieren (zum Beispiel, der Cauchy Spannungstensor ist zu einer reinen Folge verschieden, während der Deformierungsdeformationstensor invariant ist; so Probleme im Definieren eines bestimmenden Modells schaffend, das einen unterschiedlichen Tensor, in Bezug auf einen invariant ein während der reinen Folge verbindet; da definitionsgemäß bestimmende Modelle invariant zu reinen Folgen sein müssen). Der 1. Spannungstensor von Piola-Kirchhoff, ist eine mögliche Lösung dieses Problems. Es definiert eine Familie des Tensor, der die Konfiguration des Körpers entweder im Strom oder im Bezugsstaat beschreibt.

Der 1. Spannungstensor von Piola-Kirchhoff, verbindet Kräfte in der gegenwärtigen Konfiguration mit Gebieten in der Verweisung ("Material") Konfiguration.

:

\boldsymbol {P} = J ~\boldsymbol {\\Sigma }\\cdot\boldsymbol {F} ^ {-T }\

</Mathematik>

wo der Deformierungsanstieg ist und die Determinante von Jacobian ist.

In Bezug auf Bestandteile in Bezug auf eine orthonormale Basis wird die erste Betonung von Piola-Kirchhoff durch gegeben

:

Weil es verschiedene Koordinatensysteme verbindet, ist die 1. Betonung von Piola-Kirchhoff ein Zwei-Punkte-Tensor. Im Allgemeinen ist es nicht symmetrisch. Die 1. Betonung von Piola-Kirchhoff ist die 3D-Generalisation 1D Konzept der Technikbetonung.

Wenn das Material ohne eine Änderung im Betonungsstaat rotiert (starre Folge), werden sich die Bestandteile des 1. Spannungstensors von Piola-Kirchhoff mit der materiellen Orientierung ändern.

Die 1. Betonung von Piola-Kirchhoff ist zum Deformierungsanstieg verbundene Energie.

2. Spannungstensor von Piola-Kirchhoff

Wohingegen die 1. Betonung von Piola-Kirchhoff Kräfte in der aktuellen Konfiguration zu Gebieten in der Bezugskonfiguration verbindet, verbindet der 2. Spannungstensor von Piola-Kirchhoff Kräfte in der Bezugskonfiguration zu Gebieten in der Bezugskonfiguration. Die Kraft in der Bezugskonfiguration wird darüber erhalten, kartografisch darzustellen, der die Verhältnisbeziehung zwischen der Kraft-Richtung und dem in der aktuellen Konfiguration normalen Gebiet bewahrt.

:

\boldsymbol {S} = J ~\boldsymbol {F} ^ {-1 }\\cdot\boldsymbol {\\Sigma }\\cdot\boldsymbol {F} ^ {-T} ~.

</Mathematik>

In der Index-Notation in Bezug auf eine orthonormale Basis,

:

Dieser Tensor ist symmetrisch.

Wenn das Material ohne eine Änderung im Betonungsstaat rotiert (starre Folge), bleiben die Bestandteile des 2. Spannungstensors von Piola-Kirchhoff unveränderlich ohne Rücksicht auf die materielle Orientierung.

Der 2. Spannungstensor von Piola-Kirchhoff ist zum Grünen-Lagrange begrenzten Deformationstensor verbundene Energie.

Siehe auch

• Das Verbiegen
• Untersuchung von Kelvin zwingt Mikroskop
• Restliche Betonung
• Schuss peening
• Beanspruchung
• Deformationstensor
• Betonungsenergie-Tensor
• Betonungsbeanspruchungskurve
• Betonungskonzentration
• Vergängliche Reibung, die lädt
• Virial betonen
• Ertrag-Betonung
• Ertrag-Oberfläche
• Lehrsatz von Virial

Bibliografie

Weiterführende Literatur

• Dieter, G. E. (3 Hrsg.). (1989). Mechanische Metallurgie. New York: McGraw-Hügel. Internationale Standardbuchnummer 0-07-100406-8.
• Landauer, L.D. und E.M.Lifshitz. (1959). Theorie der Elastizität.
• Liebe, A. E. H. (4 Hrsg.). (1944). Abhandlung auf der Mathematischen Theorie der Elastizität. New York: Veröffentlichungen von Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-60174-9.