In der Mathematik ist das Problem von Suslin eine Frage über völlig bestellte Sätze, die von Michail Yakovlevich Suslin in einer 1920 veröffentlichten postum Arbeit aufgestellt sind.

Wie man

gezeigt hat, ist es des axiomatischen Standardsystems der als ZFC bekannten Mengenlehre unabhängig gewesen: Die Behauptung kann weder bewiesen werden noch disproven von jenen Axiomen.

(Suslin wird auch manchmal mit der französischen Transkription als Souslin vom Kyrillischen Суслин geschrieben.)

Formulierung

In Anbetracht eines nichtleeren völlig bestellten Satzes R mit den folgenden vier Eigenschaften:

1. R hat keinen meist noch ein größtes Element
2. die Ordnung auf R ist dicht (zwischen irgendwelchen zwei Elementen es gibt einen anderen)
3. die Ordnung auf R ist im Sinn abgeschlossen, dass jede nichtleere begrenzte Teilmenge ein Supremum und einen infimum hat
4. jede Sammlung gegenseitig zusammenhangloser nichtleerer offener Zwischenräume in R ist zählbar (das ist die zählbare Kettenbedingung, ccc)

ist

R zur echten Linie R notwendigerweise mit der Ordnung isomorph?

Wenn die Voraussetzung für die zählbare Kettenbedingung durch die Voraussetzung ersetzt wird, dass R eine zählbare dichte Teilmenge enthält (d. h., ist R ein trennbarer Raum) dann die Antwort ist tatsächlich ja: Jeder solcher Satz R ist zu R notwendigerweise isomorph.

Implikationen

Jeder völlig bestellte Satz, der zu R nicht isomorph ist, aber (1) - (4) befriedigt, ist als eine Linie von Suslin bekannt. Wie man bewiesen hat, ist die Existenz von Linien von Suslin zur Existenz von Bäumen von Suslin gleichwertig gewesen. Linien von Suslin bestehen, wenn das zusätzliche constructibility Axiom V gleich ist, wird L angenommen.

Die Suslin Hypothese sagt, dass es keine Linien von Suslin gibt: Dass jede zählbare Kettenbedingung dichte ganze geradlinige Ordnung ohne Endpunkte zur echten Linie isomorph ist. Gleichwertig, dass jeder Baum der Höhe ω irgendein hat einen Zweig der Länge ω oder eine Antikette von cardinality

Die verallgemeinerte Hypothese von Suslin sagt das für jeden unendlichen regelmäßigen Kardinal κ jeder Baum der Höhe κ irgendein hat einen Zweig der Länge κ oder eine Antikette von cardinality

κ.

Die Suslin Hypothese ist von ZFC unabhängig, und ist sowohl der verallgemeinerten Kontinuum-Hypothese als auch von der Ablehnung der Kontinuum-Hypothese unabhängig. Jedoch bezieht das Axiom von Martin plus die Ablehnung der Kontinuum-Hypothese die Suslin Hypothese ein. Es ist nicht bekannt, ob die Verallgemeinerte Suslin Hypothese mit der Verallgemeinerten Kontinuum-Hypothese im Einklang stehend ist; jedoch, da die Kombination die Ablehnung des Quadratgrundsatzes an einem einzigartigen starken Grenze-Kardinal — tatsächlich, an allen einzigartigen Kardinälen und allen regelmäßigen Nachfolger-Kardinälen einbezieht — deutet es an, dass das Axiom von determinacy in L(R) hält und geglaubt wird, die Existenz eines inneren Modells mit einem superstarken Kardinal einzubeziehen.

Siehe auch

• Liste von Behauptungen, die in ZFC unentscheidbar

sind

• AD+

Referenzen