In der Mathematik ist der Algorithmus von Borwein ein Algorithmus, der von Jonathan und Peter Borwein ausgedacht ist, um den Wert 1/π. zu berechnen

Jonathan Borwein und die Version (1993) von Peter Borwein

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen

:

&= 63365028312971999585426220 \\

&\\Viererkabel + 28337702140800842046825600\sqrt {5} \\

&\\Viererkabel + 384\sqrt {5} (10891728551171178200467436212395209160385656017 \\

&\\qquad + 4870929086578810225077338534541688721351255040 \sqrt {5}) ^ {1/2} \\

B &= 7849910453496627210289749000 \\

&\\Viererkabel + 3510586678260932028965606400\sqrt {5} \\

&\\Viererkabel + 2515968\sqrt {3110} (6260208323789001636993322654444020882161 \\

&\\qquad + 2799650273060444296577206890718825190235\sqrt {5}) ^ {1/2} \\

C &=-214772995063512240 \\

&\\Viererkabel - 96049403338648032\sqrt {5} \\

&\\Viererkabel - 1296\sqrt {5} (10985234579463550323713318473 \\

&\\qquad + 4912746253692362754607395912\sqrt {5}) ^ {1/2 }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Dann

:

Jeder zusätzliche Begriff der Reihe gibt etwa 50 Ziffern nach.

Kubikkonvergenz (1991)

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen

:

s_0 & = \frac {\\sqrt {3} - 1\{2 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Dann wiederholen Sie

:

s_ {k+1} & = \frac {r_ {k+1} - 1} {2} \\

a_ {k+1} & = r_ {k+1} ^2 a_k - 3^k (r_ {k+1} ^2-1)

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann ein Zusammenlaufen kubisch zu 1/π; d. h. jede Wiederholung verdreifacht ungefähr die Zahl von richtigen Ziffern.

Eine andere Formel für &pi; (1989)

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

B & = 13773980892672 \sqrt {61} + 107578229802750 \\

C & = (5280 (236674+30303\sqrt {61})) ^3

\end {richten }\aus</Mathematik>Dann

:

Jeder zusätzliche Begriff der teilweisen Summe gibt etwa 31 Ziffern nach.

Quadratische Konvergenz (1987)

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

y_1 & = \sqrt [4] 2 \\

p_0 & = 2 +\sqrt2

\end {richten }\aus</Mathematik>Dann wiederholen Sie:

y_k & = \frac {y_ {k-1} x_ {k-1} ^ {1/2} + x_ {k-1} ^ {-1/2}} {y_ {k-1} +1} \\

p_k & = p_ {k-1 }\\frac {x_k+1} {y_k+1 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann läuft p monotonically zu π zusammen; mit p - π  10 für k  2.s

Der Algorithmus von Borwein (1985)

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

y_0 & = \sqrt {2} - 1

\end {richten }\aus</Mathematik>Dann wiederholen Sie:

a_ {k+1} & = a_k (1+y_ {k+1}) ^4 - 2^ {2k+3} y_ {k+1} (1 + y_ {k+1} + y_ {k+1} ^2)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Dann ein Zusammenlaufen quartically gegen 1/π; d. h. jede Wiederholung ungefähr Vierfache die Zahl von richtigen Ziffern.

Konvergenz von Quartic (1984)

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

b_0 & = 0 \\

p_0 & = 2 + \sqrt {2 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>Dann wiederholen Sie:

b_ {n+1} & = \frac {(1 + b_n) \sqrt {a_n}} {a_n + b_n} \\

p_ {n+1} & = \frac {(1 + a_ {n+1}) \, p_n b_ {n+1}} {1 + b_ {n+1} }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann läuft p quartically zu π zusammen; d. h. jede Wiederholung ungefähr Vierfache die Zahl von richtigen Ziffern. Der Algorithmus ist nicht selbstkorrigierend; jede Wiederholung muss mit der gewünschten Zahl von richtigen Ziffern von π durchgeführt werden.

Konvergenz von Quintic

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

s_0 & = 5 (\sqrt {5} - 2)

\end {richten }\aus</Mathematik>Dann wiederholen Sie:

y_ {n+1} & = (x_ {n+1} - 1) ^2 + 7 \\

z_ {n+1} & = \left (\frac {1} {2} ist x_ {n+1 }\\(y_ {n+1} + \sqrt {y_ {n+1} ^2 - 4x_ {n+1} ^3 }\\Recht) \right) abgereist, ^ {1/5} \\

a_ {n+1} & = S_n^2 a_n - 5^n\left (\frac {s_n^2 - 5} {2} + \sqrt {s_n (s_n^2 - 2s_n + 5) }\\Recht) \\

s_ {n+1} & = \frac {25} {(z_ {n+1} + x_ {n+1}/z_ {n+1} + 1) ^2 s_n }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann hält ein Zusammenlaufen quintically zu 1/π (d. h. jede Wiederholung ungefähr quintuples die Zahl von richtigen Ziffern), und die folgende Bedingung:

:

Konvergenz von Nonic

Brechen Sie auf, indem Sie untergehen:

r_0 & = \frac {\\sqrt {3} - 1\{2} \\

s_0 & = (1 - r_0^3) ^ {1/3 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>Dann wiederholen Sie:

u_ {n+1} & = (9r_n (1 + r_n + r_n^2)) ^ {1/3} \\

v_ {n+1} & = t_ {n+1} ^2 + t_ {n+1} u_ {n+1} + u_ {n+1} ^2 \\

w_ {n+1} & = \frac {27 (1 + s_n + s_n^2)} {v_ {n+1}} \\

a_ {n+1} & = w_ {n+1} a_n + 3^ {2n-1} (1-w_ {n+1}) \\

s_ {n+1} & = \frac {(1 - r_n) ^3} {(t_ {n+1} + 2u_ {n+1}) v_ {n+1}} \\

r_ {n+1} & = (1 - s_ {n+1} ^3) ^ {1/3 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann ein Zusammenlaufen nichtical zu 1/π; d. h. jede Wiederholung multipliziert ungefähr die Zahl von richtigen Ziffern um neun.

Siehe auch

• Algorithmus von Gauss-Legendre - ein anderer Algorithmus, um π\zu berechnen
• Bailey-Borwein-Plouffe Formel
• Pi-Formeln vom Wolfram MathWorld