In der Topologie ist ein Clopen-Satz (ein Handkoffer von geschlossenen - offener Satz) in einem topologischen Raum ein Satz, der sowohl offen als auch geschlossen ist. Dass das für einen Satz möglich ist, ist nicht so gegenintuitiv, wie es scheinen könnte, ob sich die Begriffe öffnen und geschlossen von ihrer umgangssprachlichen Bedeutung als Antonyme genommen wurden; mathematisch sind sie nicht Antonyme. Ein Satz wird definiert, um geschlossen zu werden, wenn seine Ergänzung offen ist, der die Möglichkeit eines offenen Satzes verlässt, dessen Ergänzung selbst auch offen ist, den ersten Satz sowohl offen als auch geschlossen, und deshalb clopen machend.

Beispiele

In jedem topologischen Raum X sind der leere Satz und der ganze Raum X beide clopen.

Denken Sie jetzt den Raum X, der aus der Vereinigung der zwei Zwischenräume [0,1] und [2,3] von R besteht. Die Topologie auf X wird als die Subraumtopologie von der gewöhnlichen Topologie auf der echten Linie R geerbt. In X ist der Satz [0,1] clopen, wie der Satz [2,3] ist. Das ist ein ziemlich typisches Beispiel: Wann auch immer ein Raum aus einer begrenzten Zahl von zusammenhanglosen verbundenen Bestandteilen auf diese Weise zusammengesetzt wird, werden die Bestandteile clopen sein.

Als ein weniger triviales Beispiel, denken Sie den Raum Q von allen rationalen Zahlen mit ihrer gewöhnlichen Topologie und dem Satz von allen positiven rationalen Zahlen, deren Quadrat größer ist als 2. Mit der Tatsache, die nicht in Q ist, kann man ganz leicht zeigen, dass A eine clopen Teilmenge von Q. ist (Bemerken Sie auch, dass A nicht eine clopen Teilmenge der echten Linie R ist; es ist weder offen noch in R. geschlossen)

Eigenschaften

• Ein topologischer Raum X wird verbunden, wenn, und nur wenn die einzigen Clopen-Sätze der leere Satz und X sind.
• Ein Satz ist clopen, wenn, und nur wenn seine Grenze leer ist.
• Jeder Clopen-Satz ist eine Vereinigung (vielleicht ungeheuer viele) verbundene Bestandteile.
• Wenn alle verbundenen Bestandteile X offen sind (zum Beispiel, wenn X nur begrenzt viele Bestandteile hat, oder wenn X lokal verbunden wird), dann ist ein Satz clopen in X, wenn, und nur wenn es eine Vereinigung von verbundenen Bestandteilen ist.
• Ein topologischer Raum X ist getrennt, wenn, und nur wenn alle seine Teilmengen clopen sind.
• Mit der Vereinigung und Kreuzung als Operationen bilden die clopen Teilmengen eines gegebenen topologischen Raums X eine Algebra von Boolean. Jede Boolean Algebra kann auf diese Weise bei einem passenden topologischen Raum erhalten werden: Sieh den Darstellungslehrsatz des Steins für Algebra von Boolean.

Referenzen