In der Mathematik ist die n-te Wurzel' einer Nummer x eine Nummer r, die, wenn erhoben, zur Macht von n, x gleichkommt

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wo n der Grad der Wurzel ist. Eine Wurzel des Grads 2 wird eine Quadratwurzel und eine Wurzel des Grads 3, eine Würfel-Wurzel genannt. Wurzeln des höheren Grads werden auf das Verwenden von Ordinalzahlen, als in der vierten Wurzel, der zwanzigsten Wurzel usw. verwiesen.

Zum Beispiel:

• 2 ist eine Quadratwurzel 4, seitdem 2 = 4.
• 2 ist auch eine Quadratwurzel 4, seitdem (2) = 4.

Eine reelle Zahl oder komplexe Zahl haben n Wurzeln des Grads n. Während die Wurzeln 0 nicht verschieden sind (das ganze Entsprechen 0), sind die n n-ten Wurzeln jeder anderen reellen Zahl oder komplexer Zahl alle verschieden. Wenn n sogar ist und die Zahl echt und positiv ist, ist eine seiner n-ten Wurzeln positiv, man ist negativ, und der Rest sind kompliziert, aber nicht echt; wenn n sogar ist und die Zahl echt und negativ ist, ist keine der n-ten Wurzeln echt. Wenn n seltsam ist und die Zahl echt ist, ist eine n-te Wurzel echt und hat dasselbe Zeichen wie die Zahl, während die anderen Wurzeln nicht echt sind.

Wurzeln werden gewöhnlich mit dem radikalen Symbol geschrieben oder, mit oder die Quadratwurzel anzeigend, die Würfel-Wurzel anzeigend, die vierte Wurzel und so weiter anzeigend. Im Ausdruck wird n den Index genannt, ist das radikale Zeichen, und x wird den radicand genannt. Wenn eine Zahl unter dem radikalen Symbol präsentiert wird, muss sie nur ein Ergebnis wie eine Funktion zurückgeben, so wird eine nichtnegative echte Wurzel, genannt die n-te Hauptwurzel, aber nicht andere bevorzugt. Eine ungelöste Wurzel, besonders das ein Verwenden des radikalen Symbols, wird häufig einen irrationalen oder einen Radikalen genannt. Jeder Ausdruck, der einen Radikalen enthält, ob es eine Quadratwurzel, eine Würfel-Wurzel oder eine höhere Wurzel ist, wird einen radikalen Ausdruck genannt.

In der Rechnung werden Wurzeln als spezielle Fälle von exponentiation behandelt, wo die Hochzahl ein Bruchteil ist:

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Wurzeln sind in der Theorie der unendlichen Reihe besonders wichtig; der Wurzeltest bestimmt den Radius der Konvergenz einer Macht-Reihe. Die n-ten Wurzeln können auch für komplexe Zahlen definiert werden, und die komplizierten Wurzeln 1 (die Wurzeln der Einheit) spielen eine wichtige Rolle in der höheren Mathematik. Theorie von Galois kann verwendet werden, um zu bestimmen, welche algebraische Zahlen mit Wurzeln ausgedrückt werden können, und den Lehrsatz von Abel-Ruffini zu beweisen, der feststellt, dass eine allgemeine polynomische Gleichung des Grads fünf oder höher mit Wurzeln allein nicht gelöst werden kann; dieses Ergebnis ist auch bekannt als "die Unlösbarkeit des quintic".

Geschichte

Der Ursprung des Wurzelsymbols  ist größtenteils spekulativ. Einige Quellen deuten an, dass das Symbol zuerst von arabischen Mathematikern verwendet wurde. Einer jener Mathematiker war Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1421-1486). Legende hat es, dass es aus dem arabischen Brief  genommen wurde, der der erste Brief im Wort Jadhir "Wurzel" auf Arabisch ist. (Der dh in Jadhir ist ein stimmhafter Zwischenzahnreibelaut, wie der th in Englisch.) Glauben viele Gelehrte, jedoch, einschließlich Leonhard Eulers, dass es aus dem Brief r, dem ersten Brief der Basis "Wurzel" im lateinischen Wort entsteht, das sich auf dieselbe mathematische Operation bezieht. Das Symbol wurde zuerst im Druck ohne den vinculum gesehen (die horizontale "Bar" über die Zahlen innerhalb des radikalen Symbols) das Jahr 1525 darin Sterben Coss durch Christoff Rudolff, einen deutschen Mathematiker.

Der Begriff irrationale Spuren zurück zu al-Khwārizmī (c. 825), wer sich auf den vernünftigen und die irrationalen Zahlen als hörbar und unhörbar beziehungsweise bezogen hat. Das hat später zum arabischen asamm (taub, stumm) für die irrationale Zahl geführt, die als surdus (taub oder stumm) in Latein wird übersetzt. Gherardo von Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202) und dann Robert Recorde (1551) haben alle den Begriff gebraucht, um sich auf ungelöste irrationale Wurzeln zu beziehen.

Definition und Notation

Die n-te Wurzel' einer Nummer x, wo n eine positive ganze Zahl ist, ist eine Nummer r, deren n-te Macht x ist:

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Jede positive reelle Zahl x hat eine einzelne positive n-te Wurzel, die geschrieben wird. Für den n, der 2 gleich ist, wird das die Quadratwurzel genannt, und der n wird weggelassen. Die n-te Wurzel kann auch mit exponentiation als x vertreten werden.

Für sogar Werte von n haben positive Zahlen auch eine negative n-te Wurzel, während negative Zahlen keine echte n-te Wurzel haben. Für sonderbare Werte von n hat jede negative Zahl x eine echte negative n-te Wurzel. Zum Beispiel, 2 hat eine echte 5. Wurzel, aber 2 hat keine echten 6. Wurzeln.

Jede Nichtnull Nummer x, echt oder kompliziert, hat n verschiedene komplexe Zahl die n-ten Wurzeln einschließlich irgendwelcher positiven oder negativen Wurzeln, sieh komplizierte Wurzeln unten. Die n-te Wurzel 0 ist 0.

Für die meisten Zahlen ist eine n-te Wurzel vernunftwidrig. Zum Beispiel,

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Alle n-ten Wurzeln von ganzen Zahlen, oder tatsächlich jeder algebraischen Zahl, sind algebraisch.

Für die Erweiterung von Mächten und Wurzeln zu Indizes, die nicht positive ganze Zahlen sind, sieh exponentiation.

Die Charakter-Codes für die radikalen Symbole sind

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer Nummer x ist, dass Nummer r, die, wenn quadratisch gemacht, x wird:

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Jede positive reelle Zahl hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. Zum Beispiel sind die zwei Quadratwurzeln 25 5 und 5. Die positive Quadratwurzel ist auch bekannt als die Hauptquadratwurzel, und wird mit einem radikalen Zeichen angezeigt:

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Da das Quadrat jeder reellen Zahl eine positive reelle Zahl ist, haben negative Zahlen echte Quadratwurzeln nicht. Jedoch hat jede negative Zahl zwei imaginäre Quadratwurzeln. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln 25 5i und 5i, wo ich eine Quadratwurzel 1 vertrete.

Würfel-Wurzeln

Eine Würfel-Wurzel einer Nummer x ist eine Nummer r, deren Würfel x ist:

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Jede reelle Zahl x hat genau eine echte Würfel-Wurzel, schriftlich. Zum Beispiel,

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Jede reelle Zahl hat zwei zusätzliche komplizierte Würfel-Wurzeln (sieh komplizierte Wurzeln unten).

Identität und Eigenschaften

Jede positive reelle Zahl hat eine positive n-te Wurzel, und die Regeln für Operationen mit solchem surds sind aufrichtig:

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Das Verwenden der Hochzahl-Form als darin macht es normalerweise leichter, Mächte und Wurzeln zu annullieren.

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Probleme können vorkommen, wenn sie die n-ten Wurzeln von negativen oder komplexen Zahlen nehmen. Zum Beispiel:

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wohingegen

:wenn

man den Hauptwert der Wurzeln nimmt. Sieh Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität im exponentiation Artikel für mehr Details.

Vereinfachte Form eines radikalen Ausdrucks

Wie man

sagt, ist ein radikaler Ausdruck in der vereinfachten Form wenn

1. Es gibt keinen Faktor des radicand, der als eine Macht größer oder gleich dem Index geschrieben werden kann.
2. Es gibt keine Bruchteile unter dem radikalen Zeichen.
3. Es gibt keine Radikalen im Nenner.

Zum Beispiel, um den radikalen Ausdruck in der vereinfachten Form zu schreiben, können wir wie folgt weitergehen. Suchen Sie erstens nach einem vollkommenen Quadrat unter der Quadratwurzel unterzeichnen und entfernen es:

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Dann gibt es einen Bruchteil unter dem radikalen Zeichen, das wir wie folgt ändern:

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Schließlich entfernen wir den Radikalen vom Nenner wie folgt:

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Wenn es einen Nenner gibt, der surds einschließt, kann es möglich sein zu finden, dass ein Faktor sowohl Zähler als auch Nenner dadurch multipliziert, den Ausdruck zu vereinfachen. Zum Beispiel mit dem factorization der Summe von zwei Würfeln:

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Die Vereinfachung radikaler Ausdrücke, die verschachtelte Radikale einbeziehen, kann ziemlich schwierig sein. Es ist zum Beispiel dass nicht sofort offensichtlich:

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Unendliche Reihe

Der Radikale oder die Wurzel können durch die unendliche Reihe vertreten werden:

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(1+x) ^ {s/t} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {\\prod_ {k=0} ^ {n-1} (s-kt)} {n! t^n} x^n

</Mathematik>

damit

Rechenhauptwurzeln

Die n-te Wurzel einer ganzen Zahl ist nicht immer eine ganze Zahl, und wenn es nicht eine ganze Zahl dann ist, ist es nicht eine rationale Zahl. Zum Beispiel ist die fünfte Wurzel 34

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wo die Punkte bedeuten, dass der dezimale Ausdruck nach keiner begrenzten Zahl von Ziffern endet. Seitdem in diesem Beispiel gehen die Ziffern nach der Dezimalzahl nie in ein sich wiederholendes Muster ein, die Zahl ist vernunftwidrig.

Die n-te Wurzel einer Nummer A kann durch den n-ten Wurzelalgorithmus, einen speziellen Fall der Methode von Newton geschätzt werden. Fangen Sie mit einer anfänglichen Annahme x an und dann wiederholen Sie das Verwenden der Wiederauftreten-Beziehung

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bis die gewünschte Präzision erreicht wird.

Abhängig von der Anwendung kann es genug sein, nur den ersten Newton approximant zu verwenden:

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Zum Beispiel, um die fünfte Wurzel 34 zu finden, bemerken Sie, dass 2 = 32 und so x = 32 und y = 2 in der obengenannten Formel nehmen. Das gibt nach

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Der Fehler in der Annäherung ist nur ungefähr 0.03 %.

Die Methode des Newtons kann erweitert werden, um einen verallgemeinerten fortlaufenden Bruchteil für die n-te Wurzel zu erzeugen, die auf verschiedene Weisen, wie beschrieben, in diesem Artikel modifiziert werden kann. Zum Beispiel:

\sqrt [n] {z^m} = \sqrt [n] {(X^n+y) ^m} = X^m +\cfrac {mein} {Nx^ {n-m} + \cfrac {(n-m) y} {2x^m +\cfrac {(n+m) y} {3nx^ {n-m} + \cfrac {(2n-m) y} {2x^m +\cfrac {(2n+m) y} {5nx^ {n-m} + \cfrac {(3n-m) y} {2x^m +\ddots}}}}}};

</Mathematik>

\sqrt [n] {z^m} =x^m +\cfrac {2x^m\cdot mein} {n (2z - y) - mein-\cfrac {(1^2n^2-m^2) y^2} {3n (2z - y)-\cfrac {(2^2n^2-m^2) y^2} {5n (2z - y)-\cfrac {(3^2n^2-m^2) y^2} {7n (2z - y)-\ddots}}}}.

</Mathematik>

Im Fall von der fünften Wurzel 34 oben (nachdem das Austeilen gemeinsame Faktoren ausgewählt hat):

\sqrt [5] {34} = 2 +\cfrac {1} {40 +\cfrac {4} {4 +\cfrac {6} {120 +\cfrac {9} {4 +\cfrac {11} {200 +\cfrac {14} {4 +\ddots}}}}} }\

2 +\cfrac {4\cdot 1} {165-1-\cfrac {4\cdot 6} {495-\cfrac {9\cdot 11} {825-\cfrac {14\cdot 16} {1155-\ddots}}}}.

</Mathematik>

Komplizierte Wurzeln

Jede komplexe Zahl außer 0 hat die n verschiedenen n-ten Wurzeln.

Quadratwurzeln

Die zwei Quadratwurzeln einer komplexen Zahl sind immer Negative von einander. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln 4 2i und 2i und die Quadratwurzeln davon mir bin

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Wenn wir eine komplexe Zahl in der polaren Form ausdrücken, dann kann die Quadratwurzel durch die Einnahme der Quadratwurzel des Radius und das Halbieren des Winkels erhalten werden:

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Eine Hauptwurzel einer komplexen Zahl kann auf verschiedene Weisen, zum Beispiel gewählt werden

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der eine Zweigkürzung im komplizierten Flugzeug entlang der positiven echten Achse mit der Bedingung 0  θ Karten zur Hälfte des Flugzeugs mit dem nichtnegativen imaginären (echten) Teil einführt. Die letzte Zweigkürzung wird in der mathematischen Software wie Matlab oder Scilab vorausgesetzt.

Wurzeln der Einheit

Die Nummer 1 hat die n verschiedenen n-ten Wurzeln im komplizierten Flugzeug, nämlich

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wo

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Diese Wurzeln sind um den Einheitskreis im komplizierten Flugzeug in Winkeln gleichmäßig unter Drogeneinfluss, die Vielfachen dessen sind. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln der Einheit 1 und &minus;1, und die vierten Wurzeln der Einheit sind 1, &minus;1, und.

die n-ten Wurzeln

Jede komplexe Zahl hat die n verschiedenen n-ten Wurzeln im komplizierten Flugzeug. Das ist

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wo η eine einzelne n-te Wurzel, und 1, ω, ω ist... ω sind die n-ten Wurzeln der Einheit. Zum Beispiel sind die vier verschiedenen vierten Wurzeln 2

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In der polaren Form kann eine einzelne n-te Wurzel durch die Formel gefunden werden

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Hier ist r der Umfang (das Modul, auch genannt den absoluten Wert) von der Zahl, deren Wurzel genommen werden soll; wenn die Zahl als a+bi dann geschrieben werden kann. Außerdem ist der Winkel gebildet als Türangeln auf dem Ursprung gegen den Uhrzeigersinn von der positiven horizontalen Achse bis einen Strahl, der vom Ursprung bis die Zahl geht; es hat die Eigenschaften das und

So kann die Entdeckung der n-ten Wurzeln im komplizierten Flugzeug in zwei Schritte segmentiert werden. Erstens ist der Umfang aller n-ten Wurzeln die n-te Wurzel des Umfangs der ursprünglichen Zahl. Zweitens schließt die Richtung eines Strahls vom Ursprung bis eine der n-ten Wurzeln einen Winkel hinsichtlich der positiven horizontalen Achse ein, die 1/n Zeiten der Winkel eines Strahls vom Ursprung bis die ursprüngliche Zahl hinsichtlich der positiven horizontalen Achse ist. Außerdem sind alle n der n-ten Wurzeln in Winkeln ebenso unter Drogeneinfluss von einander.

Als mit Quadratwurzeln kann die Formel nicht oben durchweg auf das komplette komplizierte Flugzeug angewandt werden, aber führt stattdessen zu einer Zweigkürzung an den Punkten, wo θ / n plötzlich "springt".

Das Lösen von Polynomen

Es wurde einmal geglaubt, dass alle Wurzeln von Polynomen in Bezug auf Radikale und elementare Operationen ausgedrückt werden konnten; jedoch, während das für die dritten Grad-Polynome (cubics) und die vierten Grad-Polynome (quartics), der Lehrsatz von Abel-Ruffini (1824) Shows wahr ist, dass das im Allgemeinen nicht wahr ist, wenn der Grad 5 oder größer ist. Zum Beispiel, die Lösungen der Gleichung

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kann in Bezug auf Radikale nicht ausgedrückt werden. (vgl quintic Gleichung)

Um jede Gleichung des n-ten Grads numerisch zu lösen, ein Ergebnis zu erhalten, das nah ist genau willkürlich zu sein, sieh wurzelfindenden Algorithmus.

Siehe auch

• Der n-te Wurzelalgorithmus
• Die Verschiebung des Algorithmus der n-ten Wurzel
• Irrationale Zahl
• Algebraische Zahl
• Verschachtelter radikaler
• Die zwölfte Wurzel von zwei
• Superwurzel

Außenverbindungen