In der numerischen Analyse, den Formeln von Newton-Ställen, hat auch die Quadratur-Regeln von Newton-Ställen oder einfach Regeln von Newton-Ställen genannt, sind eine Gruppe von Formeln für die numerische Integration (auch genannt Quadratur) gestützt auf dem Auswerten des integrand an Punkten ebenso unter Drogeneinfluss. Sie werden nach Isaac Newton und Roger Cotes genannt.

Formeln von Newton-Ställen können nützlich sein, wenn der Wert des integrand an Punkten ebenso unter Drogeneinfluss gegeben wird. Wenn es möglich ist, die Punkte zu ändern, an denen der integrand bewertet wird, dann sind andere Methoden wie Quadratur von Gaussian und Quadratur von Clenshaw-Curtis wahrscheinlich passender.

Beschreibung

Es wird dass der Wert einer Funktion &fnof angenommen; definiert auf [a, b] ist an Punkten ebenso unter Drogeneinfluss x, weil ich = 0, …, n, wo x = a und x = b bekannt. Es gibt zwei Typen von Formeln von Newton-Ställen, der "geschlossene" Typ, der den Funktionswert an allen Punkten und den "offenen" Typ verwendet, der die Funktionswerte an den Endpunkten nicht verwendet. Die geschlossene Formel von Newton-Ställen des Grads n wird als festgesetzt

wo x = h i + x,

mit h (hat die Schritt-Größe genannt), gleich dem. Die w werden Gewichte genannt.

Wie in der folgenden Abstammung gesehen werden kann, werden die Gewichte aus den Basispolynomen von Lagrange abgeleitet. Das bedeutet, dass sie nur vom x und nicht von der Funktion &fnof abhängen;. lassen Sie L (x) das Interpolationspolynom in der Form von Lagrange für die gegebenen Datenpunkte, dann sein

\sum_ {ich

0\^n f (x_i) \underbrace {\\Int_a^b l_i (x) \, dx} _ {w_i}. </Mathematik>

Die offene Formel von Newton-Ställen des Grads n wird als festgesetzt

Die Gewichte werden gewissermaßen ähnlich der geschlossenen Formel gefunden.

Instabilität für den hohen Grad

Eine Formel von Newton-Ställen jedes Grads n kann gebaut werden. Jedoch für großen n kann eine Regel von Newton-Ställen manchmal unter dem Phänomen des katastrophalen Runges leiden, wo der Fehler exponential für großen n wächst. Methoden wie Quadratur von Gaussian und Quadratur von Clenshaw-Curtis mit ungleich Punkten unter Drogeneinfluss (hat sich an den Endpunkten des Integrationszwischenraums gesammelt), sind stabil und viel genauer, und werden normalerweise in die Newton-Ställe bevorzugt. Wenn diese Methoden nicht verwendet werden können, weil der integrand nur am festen equidistributed Bratrost gegeben wird, dann kann das Phänomen von Runge durch das Verwenden einer zerlegbaren Regel, wie erklärt, unten vermieden werden.

Geschlossene Formeln von Newton-Ställen

Dieser Tisch verzeichnet einige der Formeln von Newton-Ställen des geschlossenen Typs. Die Notation ist eine Schnellschrift für, mit x =, und n der Grad.

Die Regierung von Boole wird manchmal die Regierung von Bode wegen der Fortpflanzung eines Druckfehlers in Abramowitz und Stegun, einem frühen Nachschlagewerk irrtümlicherweise genannt.

Die Hochzahl der Segment-Größe b  im Fehlerbegriff zeigt die Rate, an der der Annäherungsfehler abnimmt. Die Ableitung &fnof; in den Fehlerbegriff-Shows, welche Polynome genau (d. h. mit dem Fehler integriert werden können, der der Null gleich ist). Bemerken Sie dass die Ableitung &fnof; im Fehler nennen Zunahmen durch 2 für jede andere Regel. Die Zahl ist zwischen a und b.

Öffnen Sie Formeln von Newton-Ställen

Dieser Tisch verzeichnet einige der Formeln von Newton-Ställen des offenen Typs. Wieder, &fnof; ist eine Schnellschrift für &fnof; (x), mit x =, und n der Grad.

Zerlegbare Regeln

Für die Regeln von Newton-Ställen, genau zu sein, muss die Schritt-Größe h klein sein, was bedeutet, dass der Zwischenraum der Integration selbst klein sein muss, der den größten Teil der Zeit nicht wahr ist. Deshalb führt man gewöhnlich numerische Integration durch, indem man sich in kleinere Subzwischenräume aufspaltet, eine Regel von Newton-Ställen auf jedem Subzwischenraum anwendend, und die Ergebnisse zusammenzählend. Das wird eine zerlegbare Regel genannt, sieh Numerische Integration.

Siehe auch

• Quadratur (Mathematik)
• Interpolation
• Fugenbrett-Interpolation
• M. Abramowitz und ich. A. Stegun, Hrsg.-Handbuch von Mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und Mathematischen Tischen. New York: Dover, 1972. (Sieh Abschnitt 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm und Cleve B. Moler. Computermethoden für die Mathematische Berechnung. Englewood Klippen, New Jersey: Prentice-Saal, 1977. (Sieh Abschnitt 5.1.)
• Josef Stoer und Roland Bulirsch. Einführung in die Numerische Analyse. New York: Springer-Verlag, 1980. (Sieh Abschnitt 3.1.)

Links

• Formeln von Newton-Ställen auf www.math-linux.com
• Formeln von Newton-Ställen
• Modul für die Integration von Newton-Ställen, fullerton.edu
• Integration von Newton-Ställen, numericalmathematics.com
• Die Newton-Ställe herrschen mit der verbesserten Stabilität und Geräuschunterdrückung