Das binäre Ziffer-System oder Basis 2 Zahl-System, vertritt numerische Werte mit zwei Symbolen: 0 und 1. Mehr spezifisch ist die übliche Basis 2 System eine Stellungsnotation mit einer Basis 2. Wegen seiner aufrichtigen Durchführung im elektronischen Digitalschaltsystem mit Logiktoren wird das binäre System innerlich durch fast alle modernen Computer verwendet.

Geschichte

Der Indianergelehrte Pingala (um den 5. - 2. Jahrhunderte v. Chr.) hat mathematische Konzepte entwickelt, um Prosodie zu beschreiben, und hat dabei die erste bekannte Beschreibung eines binären Ziffer-Systems präsentiert. Er hat Binärzahlen in der Form von kurzen und langen Silben (die Letzteren verwendet, die in der Länge zu zwei kurzen Silben gleich sind), es machend, ähnlich dem Morsezeichen-Code.

Der hinduistische Klassiker von Pingala hat Chandaśāstra (8.23) betitelt beschreibt die Bildung einer Matrix, um einen einzigartigen Wert jedem Meter zu geben. Ein Beispiel solch einer Matrix ist wie folgt:

: 0 0 0 0 numerischer Wert 1

: 1 0 0 0 numerischer Wert 2

: 0 1 0 0 numerischer Wert 3

: 1 1 0 0 numerischer Wert 4

Eine Reihe acht trigrams und eine Reihe waren 64 hexagrams, die den binären und Drei-Bit-Sechs-Bit-Ziffern analog sind, im alten China durch den klassischen Text I Ching bekannt. Im 11. Jahrhundert haben Gelehrter und Philosoph Shao Yong eine Methode entwickelt, für den hexagrams einzuordnen, der der Folge 0 bis 63, so vertreten in der Dualzahl mit dem Yin entspricht wie 0, yang als 1 und das am wenigsten bedeutende Bit auf der Spitze. Es, gibt jedoch, keine Beweise, dass Shao binäre Berechnung verstanden hat. Die Einrichtung ist auch die lexikografische Ordnung auf sextuples von aus einem Zwei-Elemente-Satz gewählten Elementen.

Ähnliche Sätze von binären Kombinationen sind auch in traditionellen afrikanischen Wahrsagungssystemen wie Ifá sowie in der mittelalterlichen Westgeomantie verwendet worden. Die Basis 2 in der Geomantie verwertetes System war lange im subsaharischen Afrika weit angewandt worden.

1605 hat Francis Bacon ein System besprochen, wodurch Buchstaben vom Alphabet auf Folgen von binären Ziffern reduziert werden konnten, die dann als kaum sichtbare Schwankungen in der Schriftart in jedem zufälligen Text verschlüsselt werden konnten. Wichtig für die allgemeine Theorie der binären Verschlüsselung hat er hinzugefügt, dass diese Methode mit irgendwelchen Gegenständen überhaupt verwendet werden konnte: "Vorausgesetzt dass jene Gegenstände, zu einem zweifachen Unterschied nur fähig sein; als durch Glocken, durch Trompeten, durch Lichter und Fackeln, durch den Bericht von Musketen und irgendwelche Instrumente der ähnlichen Natur". (Sieh die Ziffer von Bacon.)

Das moderne Binärzahl-System wurde von Gottfried Leibniz 1679 studiert. Sieh seinen article:Explication de l'Arithmétique Binaire (1703). Das System von Leibniz verwendet 0 und 1, wie das moderne binäre Ziffer-System. Als Sinophile war Leibniz von mir Ching bewusst und hat mit der Faszination bemerkt, wie seine hexagrams den Binärzahlen von 0 bis 111111 entsprechen und beschlossen haben, dass das kartografisch darzustellen, war Beweise von chinesischen Hauptausführungen in der Sorte der philosophischen Mathematik, die er bewundert hat.

1854 hat britischer Mathematiker George Boole eine merkliche Zeitung veröffentlicht, die über ein algebraisches System der Logik ausführlich berichtet, die bekannt als Algebra von Boolean werden würde. Seine logische Rechnung sollte instrumental im Design des elektronischen Digitalschaltsystemes werden.

1937 hat Claude Shannon die These seines Masters an MIT erzeugt, der Algebra von Boolean und binäre Arithmetik mit elektronischen Relais und Schaltern zum ersten Mal in der Geschichte durchgeführt hat. Betitelt Eine Symbolische Analyse des Relais und der Umschaltenden Stromkreise, die These von Shannon hat im Wesentlichen praktisches Digitalstromkreis-Design gegründet.

Im November 1937 hat George Stibitz, dann an Glockenlaboratorien arbeitend, einen relaisbasierten Computer vollendet er hat das "Modell K" synchronisiert (für "die Küche", wo er es gesammelt hatte), der verwendende binäre Hinzufügung berechnet hat. Glockenlaboratorien haben so ein volles Forschungsprogramm gegen Ende 1938 mit Stibitz am Ruder autorisiert. Ihr Computer der Komplexen Zahl, vollendet am 8. Januar 1940, ist im Stande gewesen, komplexe Zahlen zu berechnen. In einer Demonstration zur amerikanischen Mathematischen Gesellschaftskonferenz in der Dartmouth Universität am 11. September 1940 ist Stibitz im Stande gewesen, der Rechenmaschine der Komplexen Zahl entfernte Befehle über Telefonverbindungen durch einen Fernschreiber zu senden. Es war die erste Rechenmaschine jemals verwendet entfernt über eine Telefonlinie. Einige Teilnehmer der Konferenz, die die Demonstration bezeugt haben, waren John Von Neumann, John Mauchly und Norbert Wiener, der darüber in seinen Lebenserinnerungen geschrieben hat.

Darstellung

Jede Zahl kann durch jede Folge von Bit vertreten werden (binäre Ziffern), der der Reihe nach durch jeden Mechanismus vertreten werden kann, der dazu fähig ist, in zwei gegenseitig exklusiven Staaten zu sein. Die folgende Folge von Symbolen konnte alles als der binäre numerische Wert von 667 interpretiert werden:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1

|  |   | |  | |

x o x o o x x o x x

y n y n n y y n y y

Der numerische in jedem Fall vertretene Wert ist auf den jedem Symbol zugeteilten Wert abhängig. In einem Computer können die numerischen Werte durch zwei verschiedene Stromspannungen vertreten werden; auf einer magnetischen Platte kann magnetische Widersprüchlichkeit verwendet werden. Ein "positiver", "ja", oder "auf" dem Staat sind zum numerischen Wert von einem nicht notwendigerweise gleichwertig; es hängt von der Architektur im Gebrauch ab.

In Übereinstimmung mit der üblichen Darstellung von Ziffern mit Arabischen Ziffern werden Binärzahlen mit den Symbolen 0 und 1 allgemein geschrieben. Wenn geschrieben, sind binäre Ziffern häufig subscripted, vorbefestigt oder suffixed, um ihre Basis oder Basis anzuzeigen. Die folgenden Notationen sind gleichwertig:

:100101 binäre (ausführliche Behauptung des Formats)

:100101b (eine Nachsilbe, die binäres Format anzeigt)

:100101B (eine Nachsilbe, die binäres Format anzeigt)

:bin 100101 (ein Präfix, das binäres Format anzeigt)

:100101 (eine Subschrift, die Basis 2 (binäre) Notation anzeigt)

: %100101 (ein Präfix, das binäres Format anzeigt)

:0b100101 (ein Präfix, das binäres Format anzeigt, das auf Programmiersprachen üblich ist)

:6b100101 (eine Präfix-Anzeigen-Zahl von Bit im binären Format, das auf Programmiersprachen üblich ist)

Wenn gesprochen, sind binäre Ziffern gewöhnlich gelesene Ziffer-durch-stellig, um sie von Dezimalzahlen zu unterscheiden. Zum Beispiel wird die binäre Ziffer 100 eine Nullnull, aber nicht hundert ausgesprochen, um seine binäre Natur ausführlich, und zum Zwecke der Genauigkeit zu machen. Da die binäre Ziffer 100 dem dezimalen Wert vier gleich ist, würde es verwirrend sein, um die Ziffer als hundert zu kennzeichnen.

Das binäre Einschließen

Das binäre Einschließen ist dem Zählen in jedem anderen Zahl-System ähnlich. Der Anfang mit einer einzelnen Ziffer, das Zählen des Erlöses durch jedes Symbol, in der zunehmenden Ordnung. Das dezimale Zählen verwendet die Symbole 0 bis 9, während binär, nur verwendet die Symbole 0 und 1.

Wenn die Symbole für die erste Ziffer erschöpft werden, wird die nächst-höhere Ziffer (nach links), und zählende Anfänge erhöht

an 0. In der Dezimalzahl, Erlös wie so aufzählend:

:000, 001, 002... 007, 008, 009, (niedrigstwertige Ziffer-Anfänge und folgende Ziffer wird erhöht)

:010, 011, 012...

:...

:090, 091, 092... 097, 098, 099, (werden niedrigstwertiger zwei Ziffer-Anfang und folgende Ziffer erhöht)

:100, 101, 102...

Nachdem eine Ziffer 9 reicht, fasst eine Zunahme sie zu 0 neu sondern auch verursacht eine Zunahme der folgenden Ziffer nach links. Im binären ist das Zählen dasselbe, außer dass nur die zwei Symbole 0 und 1 verwendet werden. So, nachdem eine Ziffer 1 in der Dualzahl reicht, fasst eine Zunahme es zu 0 neu sondern auch verursacht eine Zunahme der folgenden Ziffer nach links:

:0000,

:0001, (niedrigstwertige Ziffer-Anfänge und folgende Ziffer wird erhöht)

:0010, 0011, (werden niedrigstwertiger zwei Ziffer-Anfang und folgende Ziffer erhöht)

:0100, 0101, 0110, 0111, (werden niedrigstwertiger drei Ziffer-Anfang und die folgende Ziffer erhöht)

:1000, 1001...

Da Dualzahl eine Basis 2 System ist, vertritt jede Ziffer eine zunehmende Macht 2, mit der niedrigstwertigen Ziffer, die 2, das folgende Darstellen 2, dann 2, und so weiter vertritt. Um die Dezimaldarstellung einer Binärzahl zu bestimmen, nehmen einfach die Summe der Produkte der binären Ziffern und der Mächte 2, den sie vertreten. Zum Beispiel, die Binärzahl:

100101

wird zur dezimalen Form umgewandelt durch:

[(1) × 2] + [(0) × 2] + [(0) × 2] + [(1) × 2] + [(0) × 2] + [(1) × 2] =

[1 × 32] + [0 × 16] + [0 × 8] + [1 × 4] + [0 × 2] + [1 × 1] = 37

Um höhere Zahlen zu schaffen, werden zusätzliche Ziffern einfach zur linken Seite der binären Darstellung hinzugefügt.

Bruchteile in der Dualzahl

Bruchteile in der Dualzahl enden nur, wenn der Nenner 2 als der einzige Hauptfaktor hat. Infolgedessen hat 1/10 keine begrenzte binäre Darstellung, und das veranlasst 10 × 0.1, 1 in der Schwimmpunkt-Arithmetik nicht genau gleich zu sein. Als ein Beispiel, um den binären Ausdruck für 1/3 =.010101 zu interpretieren..., bedeutet das: 1/3 = 0 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 +... = 0.3125 +... Ein genauer Wert kann mit einer Summe einer begrenzten Zahl von umgekehrten Mächten zwei, und Null- und-Stellvertreter für immer nicht gefunden werden.

Binäre Arithmetik

Die Arithmetik in der Dualzahl ist viel Arithmetik in anderen Ziffer-Systemen ähnlich. Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung können auf binären Ziffern durchgeführt werden.

Hinzufügung

Die einfachste arithmetische Operation in der Dualzahl ist Hinzufügung. Das Hinzufügen zwei einzeln-stelliger Binärzahlen ist mit einer Form des Tragens relativ einfach:

:0 + 0  0

:0 + 1  1

:1 + 0  1

:1 + 1  0, tragen Sie 1 (da 1 + 1 = 0 + 1 × binäre 10)

Wenn sie

zwei "1" beitragen, erzeugen Ziffern eine Ziffer "0", während 1 zur folgenden Säule wird hinzugefügt werden müssen. Das ist dem ähnlich, was in der Dezimalzahl geschieht, wenn bestimmte einzeln-stellige Zahlen zusammen hinzugefügt werden; wenn das Ergebnis gleichkommt oder den Wert der Basis (10) überschreitet, wird die Ziffer nach links erhöht:

:5 + 5  0, tragen Sie 1 (da 5 + 5 = 10 1 tragen)

:7 + 9  6, tragen Sie 1 (da 7 + 9 = 16 1 tragen)

Das ist als das Tragen bekannt. Wenn das Ergebnis einer Hinzufügung den Wert einer Ziffer überschreitet, soll das Verfahren den Überbetrag "tragen", der durch die Basis (d. h. 10/10) nach links geteilt ist, es zum folgenden Stellungswert hinzufügend. Das ist richtig, da die folgende Position ein Gewicht hat, das durch einen der Basis gleichen Faktor höher ist. Das Tragen arbeitet derselbe Weg in der Dualzahl:

1 1 1 1 1 (getragene Ziffern)

0 1 1 0 1

+ 1 0 1 1 1

-------------

= 1 0 0 1 0 0 = 36

In diesem Beispiel werden zwei Ziffern zusammen hinzugefügt: 01101 (13) und 10111 (23). Die Spitzenreihe zeigt die tragen verwendeten Bit. Das Starten in der niedrigstwertigen Säule, 1 + 1 = 10. 1 wird nach links getragen, und 0 wird an der Unterseite von der niedrigstwertigen Säule geschrieben. Die zweite Säule vom Recht wird hinzugefügt: 1 + 0 + 1 = 10 wieder; 1 wird getragen, und 0 wird am Boden geschrieben. Die dritte Säule: 1 + 1 + 1 = 11. Dieses Mal wird 1 getragen, und 1 wird in der untersten Reihe geschrieben. Das Verfahren wie das gibt die Endantwort 100100 (36 Dezimalzahl).

Wenn Computer zwei Zahlen, die Regel dass hinzufügen müssen:

x xor y = (x + y) mod 2

für irgendwelche zwei Bit x und y berücksichtigt sehr schnelle Berechnung ebenso.

Eine Vereinfachung für viele binäre Hinzufügungsprobleme ist das Lange Tragen Methode oder Brookhouse Methode der Binären Hinzufügung. Diese Methode ist in jeder binären Hinzufügung allgemein nützlich, wo eine der Zahlen eine lange Schnur "1" Ziffern hat. Zum Beispiel können die folgenden großen Binärzahlen in zwei einfachen Schritten ohne Vielfache hinzugefügt werden trägt von einem Platz bis das folgende.

1 1 1 1 1 1 1 1 (getragene Ziffern) (Long Carry Method)

1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0

+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 Gegen: + 1 0 0 1 1 0 0 1 fügen ausgestrichene Ziffern der erste hinzu

-----------------------+ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = Summe von ausgestrichenen Ziffern

= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1-----------------------fügen jetzt restliche Ziffern hinzu

1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

In diesem Beispiel werden zwei Ziffern zusammen hinzugefügt: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 (958) und 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 (691). Die Spitzenreihe zeigt die tragen verwendeten Bit. Statt des Standards tragen von einer Säule bis das folgende, das niedrigste Platz-geschätzt "1" mit "1" im entsprechenden Platz-Wert darunter kann hinzugefügt werden, und "1" kann zu einer Ziffer vorbei am Ende der Reihe getragen werden. Diese Zahlen müssen ausgestrichen werden, da sie bereits hinzugefügt werden. Dann einfach fügen Sie dass Ergebnis zu den unannullierten Ziffern in der zweiten Reihe hinzu. Das Verfahren wie das gibt die Endantwort 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 (1649).

Hinzufügungstisch

Der binäre Hinzufügungstisch, ist aber nicht dasselbe als die Wahrheitstabelle der Logischen Trennungsoperation ähnlich. Der Unterschied ist das, während.

Subtraktion

Subtraktion arbeitet auf die ziemlich gleiche Weise:

:0  0  0

:0  1  1, leihen Sie 1

:1  0  1

:1  1  0

Wenn sie

"1" Ziffer von "0" Abstriche macht, erzeugt Ziffer die Ziffer "1", während 1 aus der folgenden Säule wird abgezogen werden müssen. Das ist als das Borgen bekannt. Der Grundsatz ist dasselbe bezüglich des Tragens. Wenn das Ergebnis einer Subtraktion weniger als 0, der am wenigsten mögliche Wert einer Ziffer ist, soll das Verfahren das Defizit "leihen", das durch die Basis (d. h. 10/10) vom links geteilt ist, es vom folgenden Stellungswert abziehend.

* * * * (werden besternte Säulen von geliehen)

1 1 0 1 1 1 0

 1 0 1 1 1

----------------

= 1 0 1 0 1 1 1

Das Abziehen einer positiven Zahl ist zum Hinzufügen einer negativen Zahl des gleichen absoluten Werts gleichwertig; Computer verwenden normalerweise die Ergänzungsnotation von two, um negative Werte zu vertreten. Diese Notation beseitigt das Bedürfnis nach einem getrennten "ziehen" Operation "ab". Das Verwenden der Ergänzungsnotationssubtraktion von two kann durch die folgende Formel zusammengefasst werden:

Ein  B = + nicht B + 1

Für weitere Details, sieh die Ergänzung von two.

Multiplikation

Die Multiplikation in der Dualzahl ist seinem dezimalen Kollegen ähnlich. Zwei Zahlen A und B können mit teilweisen Produkten multipliziert werden: Für jede Ziffer in B wird das Produkt dieser Ziffer in A berechnet und über eine neue Linie, ausgewechselt nach links geschrieben, so dass sich seine niedrigstwertige Ziffer mit der Ziffer in B aufstellt, der verwendet wurde. Die Summe aller dieser teilweisen Produkte gibt das Endresultat.

Da es nur zwei Ziffern in der Dualzahl gibt, gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse jeder teilweisen Multiplikation:

• Wenn die Ziffer in B 0 ist, ist das teilweise Produkt auch 0
• Wenn die Ziffer in B 1 ist, ist das teilweise Produkt Einem gleich

Zum Beispiel werden die Binärzahlen 1011 und 1010 wie folgt multipliziert:

1 0 1 1 (Ein)

× 1 0 1 0 (B)

---------

0 0 0 Entspricht 0  einer Null in B

+ 1 0 1 Entspricht 1  demjenigen in B

+ 0 0 0 0

+ 1 0 1 1

---------------

= 1 1 0 1 1 1 0

Binärzahlen können auch mit Bit nach einem binären Punkt multipliziert werden:

1 0 1.1 0 1 (A) (5.625 in der Dezimalzahl)

× 1 1 0.0 1 (B) (6.25 in der Dezimalzahl)

-------------

1.0 1 1 0 Entspricht 1  demjenigen in B

+ 0 0.0 0 0 Entspricht 0  einer Null in B

+ 0 0 0.0 0 0

+ 1 0 1 1.0 1

+ 1 0 1 1 0.1

-----------------------

= 1 0 0 0 1 1.0 0 1 0 1 (35.15625 in der Dezimalzahl)

Siehe auch den Multiplikationsalgorithmus der Kabine.

Multiplikationstabelle

Die binäre Multiplikationstabelle ist dasselbe als die Wahrheitstabelle der Logischen Verbindungsoperation.

Abteilung

:

Binäre Abteilung ist wieder seinem dezimalen Kollegen ähnlich:

Hier ist der Teiler 101 oder 5 Dezimalzahl, während die Dividende 11011, oder 27 Dezimalzahl ist. Das Verfahren ist dasselbe als diese der dezimalen langen Abteilung; hier tritt der Teiler 101 in die ersten drei Ziffern 110 der Dividende eine Zeit ein, so "1" wird über die Spitzenlinie geschrieben. Dieses Ergebnis wird mit dem Teiler multipliziert, und von den ersten drei Ziffern der Dividende abgezogen; die folgende Ziffer ("1") wird eingeschlossen, um eine neue dreistellige Folge zu erhalten:

1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

 1 0 1

-----

0 1 1

Das Verfahren wird dann mit der neuen Folge wiederholt, weitergehend, bis die Ziffern in der Dividende erschöpft worden sind:

1 0 1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

 1 0 1

-----

0 1 1

 0 0 0

-----

1 1 1

 1 0 1

-----

1 0

So ist der Quotient von 11011 geteilten durch 101 101, wie gezeigt, auf der Spitzenlinie, während der Rest, der auf dem Endergebnis gezeigt ist, 10 ist. In der Dezimalzahl sind 27 geteilte durch 5 5, mit einem Rest 2.

Operationen von Bitwise

Obwohl nicht direkt verbunden mit der numerischen Interpretation von binären Symbolen Folgen von Bit mit Boolean logische Maschinenbediener manipuliert werden können. Wenn eine Reihe von binären Symbolen auf diese Weise manipuliert wird, wird es eine bitwise Operation genannt; die logischen Maschinenbediener UND, ODER, und XOR können auf entsprechenden Bit in zwei binären zur Verfügung gestellten wie eingegebenen Ziffern durchgeführt werden. Das logische NICHT Operation kann auf individuellen Bit in einer einzelnen binären zur Verfügung gestellten wie eingegebenen Ziffer durchgeführt werden. Manchmal können solche Operationen als arithmetische Abkürzungen verwendet werden, und können andere rechenbetonte Vorteile ebenso haben. Zum Beispiel ist eine arithmetische einer Binärzahl verlassene Verschiebung die Entsprechung von der Multiplikation durch (positiv, integriert) Macht 2.

Konvertierung zu und von anderen Ziffer-Systemen

Dezimalzahl

Um von einer Basis 10 Ziffer der ganzen Zahl zu seiner Basis 2 (binäre) Entsprechung umzuwandeln, wird die Zahl durch zwei geteilt, und der Rest ist meist - bedeutendes Bit. (Ganze Zahl) wird Ergebnis wieder durch zwei geteilt, sein Rest ist das folgende am wenigsten bedeutende Bit. Dieser Prozess Wiederholungen bis zum Quotienten wird Null.

Konvertierung von der Basis 2, um 10 Erlös durch die Verwendung des vorhergehenden Algorithmus zu stützen, um so rückwärts zu sprechen. Die Bit der Binärzahl werden eins nach dem anderen verwendet, mit dem bedeutendsten (leftmost) anfangend, hat gebissen. Wenn Sie mit dem Wert 0 beginnen, verdoppeln Sie wiederholt den vorherigen Wert und fügen Sie das folgende Bit hinzu, um den folgenden Wert zu erzeugen. Das kann in einem Mehrsäulentisch organisiert werden. Zum Beispiel, sich 10010101101 zur Dezimalzahl umzuwandeln:

:

Das Ergebnis ist 1197. Bemerken Sie, dass der erste Vorherige Wert von 0 einfach ein anfänglicher dezimaler Wert ist. Diese Methode ist eine Anwendung des Schemas von Horner.

Die Bruchteile einer Zahl werden mit ähnlichen Methoden umgewandelt. Sie basieren wieder auf der Gleichwertigkeit der Verschiebung mit der Verdoppelung oder dem Halbieren.

In einer Bruchbinärzahl solcher als.11010110101 ist die erste Ziffer, das zweite usw. So, wenn es 1 an erster Stelle nach der Dezimalzahl gibt, dann ist die Zahl mindestens, und umgekehrt. Doppelt, dass Zahl mindestens 1 ist. Das deutet den Algorithmus an: Verdoppeln Sie wiederholt die Zahl, die, Aufzeichnung umzuwandeln ist, wenn das Ergebnis mindestens 1 ist, und dann den Teil der ganzen Zahl wegwirft.

Zum Beispiel, in der Dualzahl, ist:

:

So ist der sich wiederholende Dezimalbruch 0.... zum sich wiederholenden binären Bruchteil 0 gleichwertig.....

Oder zum Beispiel, 0.1, in der Dualzahl, ist:

:

Das ist auch ein sich wiederholender binärer Bruchteil 0.0.... Es kann als eine Überraschung kommen, dass das Begrenzen von Dezimalbrüchen sich wiederholende Vergrößerungen in der Dualzahl haben kann. Es ist aus diesem Grund, dass viele überrascht sind zu entdecken, dass sich 0.1 +... + 0.1, (10 Hinzufügungen) von 1 in der Schwimmpunkt-Arithmetik unterscheidet. Tatsächlich sind die einzigen binären Bruchteile mit endenden Vergrößerungen der Form einer ganzen Zahl, die durch eine Macht 2 geteilt ist, der 1/10 nicht ist.

Die Endkonvertierung ist vom binären bis Dezimalbrüche. Die einzige Schwierigkeit entsteht mit sich wiederholenden Bruchteilen, aber sonst ist die Methode, den Bruchteil zu einer ganzen Zahl auszuwechseln, ihn als oben umzuwandeln, und dann sich durch die passende Macht zwei in der dezimalen Basis zu teilen. Zum Beispiel:

:

Eine andere Weise, sich vom binären bis Dezimalzahl umzuwandeln, die häufig für eine mit hexadecimal vertraute Person schneller ist, soll so indirekt tun — zuerst sich (in der Dualzahl) in (in hexadecimal) umwandelnd und dann sich (in hexadecimal) in (in der Dezimalzahl) umwandelnd.

Für die sehr große Anzahl sind diese einfachen Methoden ineffizient, weil sie eine Vielzahl von Multiplikationen oder Abteilungen durchführen, wo ein operand sehr groß ist. Ein einfacher teilen-und-überwinden Algorithmus ist asymptotisch wirksamer: In Anbetracht einer Binärzahl wird es durch 10 geteilt, wo k gewählt wird, so dass der Quotient grob dem Rest gleichkommt; dann wird jedes dieser Stücke zur Dezimalzahl umgewandelt, und die zwei werden verkettet. In Anbetracht einer Dezimalzahl kann es in zwei Stücke ungefähr derselben Größe gespalten werden, von denen jedes zur Dualzahl umgewandelt wird, woraufhin das erste umgewandelte Stück mit 10 multipliziert und zum zweiten umgewandelten Stück hinzugefügt wird, wo k die Zahl von dezimalen Ziffern im zweiten, meist - bedeutendes Stück vor der Konvertierung ist.

Hexadecimal

Binär kann zu und von hexadecimal etwas leichter umgewandelt werden. Das ist, weil die Basis des hexadecimal Systems (16) eine Macht der Basis des binären Systems (2) ist. Mehr spezifisch, 16 = 2, so braucht man vier Ziffern der Dualzahl, um eine Ziffer von hexadecimal, wie gezeigt, im Tisch nach rechts zu vertreten.

Um eine hexadecimal Zahl in seine binäre Entsprechung umzuwandeln, setzen Sie einfach die entsprechenden binären Ziffern ein:

:3A = 0011 1010

:E7 = 1110 0111

Um eine Binärzahl in seine hexadecimal Entsprechung umzuwandeln, teilen Sie es in Gruppen von vier Bit. Wenn die Zahl von Bit nicht ein Vielfache vier ist, fügen Sie einfach zusätzliche 0 Bit am linken (genannt Polstern) ein. Zum Beispiel:

:1010010 = 0101 0010 gruppierte mit dem Polstern = 52

:11011101 = 1101 1101 hat sich = DD gruppiert

Um eine hexadecimal Zahl in seine dezimale Entsprechung umzuwandeln, multiplizieren Sie die dezimale Entsprechung von jeder hexadecimal Ziffer durch die entsprechende Macht 16 und fügen Sie die resultierenden Werte hinzu:

:C0E7 = (12 × 16) + (0 × 16) + (14 × 16) + (7 × 16) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383

Oktal-

Binär wird auch zum Oktalziffer-System, seit dem Oktalgebrauch eine Basis 8 leicht umgewandelt, der eine Macht zwei ist (nämlich, 2, so braucht man genau drei binäre Ziffern, um eine Oktalziffer zu vertreten). Die Ähnlichkeit zwischen binären und Oktalziffern ist dasselbe bezüglich der ersten acht Ziffern von hexadecimal im Tisch oben. Binäre 000 sind zur Oktalziffer 0 gleichwertig, binäre 111 ist zu Oktal-7 und so weiter gleichwertig.

:

Das Umwandeln vom Oktal-bis binären Erlös auf dieselbe Mode, wie es für hexadecimal tut:

:65 = 110 101

:17 = 001 111

Und vom binären bis Oktal-:

:101100 = 101 100 gruppierte = 54

:10011 = 010 011 gruppierte mit dem Polstern = 23

Und vom Oktal-bis Dezimalzahl:

:65 = (6 × 8) + (5 × 8) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53

:127 = (1 × 8) + (2 × 8) + (7 × 8) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87

Das Darstellen von reellen Zahlen

Nichtganze Zahlen können durch das Verwenden negativer Mächte vertreten werden, die von den anderen Ziffern mittels eines Basis-Punkts abgehoben werden (hat einen dezimalen Punkt im dezimalen System genannt). Zum Beispiel, die Binärzahl 11.01 so Mittel:

:

Für insgesamt 3.25 Dezimalzahl.

Alle dyadischen rationalen Zahlen haben eine endende binäre Ziffer — die binäre Darstellung hat eine begrenzte Zahl von Begriffen nach dem Basis-Punkt. Andere rationale Zahlen haben binäre Darstellung, aber statt des Endens kehren sie mit einer begrenzten Folge von Ziffern wieder, die sich unbestimmt wiederholen. Zum Beispiel

: = = 0.01010101 …

: = = 0.10110100 10110100...

Das Phänomen, das die binäre Darstellung von irgendwelchem vernünftig entweder begrenzt oder auch wiederkehrt, kommt in anderen Basis-basierten Ziffer-Systemen vor., Sieh zum Beispiel, die Erklärung in der Dezimalzahl. Eine andere Ähnlichkeit ist die Existenz von alternativen Darstellungen für jede endende Darstellung, sich auf die Tatsache verlassend, dass 0.111111 … die Summe der geometrischen Reihe 2 + 2 + 2 + sind..., der 1 ist.

Binäre Ziffern, die weder enden noch wiederkehren, vertreten irrationale Zahlen. Zum Beispiel,

• 0.10100100010000100000100 … haben wirklich ein Muster, aber es ist nicht eine feste Länge, die Muster wiederkehrt, so ist die Zahl vernunftwidriger
• 1.0110101000001001111001100110011111110 … sind die binäre Darstellung, die Quadratwurzel 2, eine andere Irrationalzahl. Es hat kein wahrnehmbares Muster. Sieh irrationale Zahl.

Siehe auch

• Binär codierte Dezimalzahl
• Finger binärer
• Grauer Code
• geradlinige Feed-Back-Verschiebung schreibt ein
• Gleichen Sie binären aus
• Quibinary
• Die Verminderung von summands
• Überflüssige binäre Darstellung
• SZTAKI Tischbratrost sucht nach verallgemeinerten Binärzahl-Systemen bis zur Dimension 11.
• Die Ergänzung von Two

Referenzen

• Sanchez, Julio; Bezirk, Maria P. (2007), Mikrokontrolleur, der programmiert: das Mikrochip-FOTO, Boca Raton, Florida: CRC Presse, p. 37, internationale Standardbuchnummer 0-8493-7189-9

Links

• Eine kurze Übersicht von Leibniz und der Verbindung zu Binärzahlen
• Binäres System an der Knoten-Kürzung
• Konvertierung von Bruchteilen an der Knoten-Kürzung
• Binäre Ziffern an der Mathematik machen Spaß
• Wie man Sich von der Dezimalzahl bis Binären an wikiHow Umwandelt
• Das Lernen der Übung für Kinder an CircuitDesign.info
• Binärer Schalter mit Kindern
• "Magisches" Kartenkunststück
• Die schnelle Verweisung auf Howto hat binären gelesen
• Binärer Konverter der HEXE/DEZ/OKT mit dem direkten Zugang zu Bit