In der Mathematik ist Hyperbelgeometrie (hat auch Geometrie von Lobachevskian oder Bolyai-Lobachevskian Geometrie genannt), eine nicht-euklidische Geometrie, bedeutend, dass das parallele Postulat der Euklidischen Geometrie ersetzt wird. Das parallele Postulat in der Euklidischen Geometrie ist zur Behauptung dass, in zwei dimensionalem Raum, für jede gegebene Linie R und Punkt P nicht auf R gleichwertig, es gibt genau eine Linie durch P, der R nicht durchschneidet; d. h. der zu R parallel ist. In der Hyperbelgeometrie gibt es mindestens zwei verschiedene Linien durch P, die R nicht durchschneiden, so ist das parallele Postulat falsch. Modelle sind innerhalb der Euklidischen Geometrie gebaut worden, die den Axiomen der Hyperbelgeometrie folgen, so beweisend, dass das parallele Postulat der anderen Postulate von Euklid unabhängig ist.

Weil es keine genaue Hyperbelentsprechung Euklidischen parallelen Linien gibt, ändert sich der Hyperbelgebrauch der Parallele und verwandten Begriffe unter Schriftstellern. In diesem Artikel werden die zwei Begrenzungslinien asymptotisch genannt, und Linien, die eine allgemeine Senkrechte teilen, werden ultraparallel genannt; die einfache Wortparallele kann für beide gelten.

Ein charakteristisches Eigentum der Hyperbelgeometrie besteht darin, dass die Winkel eines Dreiecks zu weniger als einem geraden Winkel beitragen. In der Grenze weil gehen die Scheitelpunkte zur Unendlichkeit, es gibt sogar ideale Hyperbeldreiecke, in denen alle drei Winkel 0 ° sind.

Das Nichtschneiden von Linien

Ein interessantes Eigentum der Hyperbelgeometrie folgt aus dem Ereignis von mehr als einer Linienparallele zu R durch einen Punkt P, nicht auf R: Es gibt zwei Klassen von sich nichtschneidenden Linien. Lassen Sie B der Punkt auf solchem R sein, dass die Linie PB auf R rechtwinklig ist. Betrachten Sie die Linie x durch P als solch, dass x R nicht durchschneidet, und der Winkel θ zwischen PB und x gegen den Uhrzeigersinn von PB so klein wie möglich ist; d. h. jeder kleinere Winkel wird die Linie zwingen, R durchzuschneiden. Das wird eine asymptotische Linie in der Hyperbelgeometrie genannt. Symmetrisch wird die Linie y, der denselben Winkel θ zwischen PB und ihm, aber im Uhrzeigersinn von PB bildet, auch asymptotisch sein. x und y sind die nur zwei Linien, die zu R durch P asymptotisch sind. Alle anderen Linien durch P, der sich nicht R mit Winkeln schneidet, die größer sind als θ mit PB, werden ultraparallel genannt (oder passen Sie zusammenhanglos an) zu R. Bemerken Sie, dass, da es eine unendliche Zahl von möglichen Winkeln zwischen θ und 90 ° gibt, und jeder zwei Linien durch P bestimmen und zusammenhanglos zu R anpassen, dort eine unendliche Zahl von ultraparallelen Linien bestehen wird.

So haben wir diese modifizierte Form des parallelen Postulates: In der Hyperbelgeometrie, in Anbetracht jeder Linie R und Punkts P nicht auf R, gibt es genau zwei Linien durch P, die zu R, und ungeheuer vielen Linien durch die P-Ultraparallele zu R asymptotisch sind.

Die Unterschiede zwischen diesen Typen von Linien können auch auf folgendermaßen geschaut werden: Die Entfernung zwischen asymptotischen Linien weicht zur Null in einer Richtung zurück und wächst ohne bestimmten im anderen; die Entfernung zwischen ultraparallelen Linien nimmt (schließlich) in beiden Richtungen zu. Der ultraparallele Lehrsatz stellt fest, dass es eine einzigartige Linie im Hyperbelflugzeug gibt, das auf jedem eines gegebenen Paares von ultraparallelen Linien rechtwinklig ist.

In der Euklidischen Geometrie ist der "Winkel des Parallelismus" eine Konstante; d. h. jede Entfernung zwischen parallelen Linien gibt einen Winkel des 90 ° gleichen Parallelismus nach. In der Hyperbelgeometrie ändert der Winkel des Parallelismus mit dem Π (p) Funktion. Diese Funktion, die von Nikolai Ivanovich Lobachevsky beschrieben ist, erzeugt einen einzigartigen Winkel des Parallelismus für jede Entfernung p =. Da die Entfernung kürzer wird, Π nähert sich (p) 90 °, wohingegen mit der zunehmenden Entfernung Π sich (p) 0 ° nähert. So, weil Entfernungen kleiner werden, benimmt sich das Hyperbelflugzeug immer mehr wie Euklidische Geometrie. Tatsächlich, auf kleinen Skalen im Vergleich zu, wo K die (unveränderliche) Krümmung von Gaussian des Flugzeugs ist, würde ein Beobachter harte Zeiten haben bestimmend, ob die Umgebung euklidisch oder hyperbolisch ist.

Dreiecke

Entfernungen im Hyperbelflugzeug können in Bezug auf eine Einheit der Länge gemessen werden

, analog dem Radius des Bereichs in der sphärischen Geometrie. Das Verwenden dieser Einheit der Länge ein Lehrsatz in der Hyperbelgeometrie kann festgesetzt werden, der dem Pythagoreischen Lehrsatz analog ist. Wenn a, b die Beine sind und c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes alle ist, die in dieser Einheit dann gemessen sind:

::

Die Totschläger-Funktion ist eine Hyperbelfunktion, die ein Analogon der Standardkosinus-Funktion ist. Alle sechs der trigonometrischen Standardfunktionen haben Hyperbelanaloga. In trigonometrischen Beziehungen, die die Seiten und Winkel eines Hyperbeldreiecks einschließen, werden die Hyperbelfunktionen auf die Seiten angewandt, und die trigonometrischen Standardfunktionen werden auf die Winkel angewandt. Zum Beispiel ist das Gesetz von Sinus für Hyperbeldreiecke:

:

Weil mehr von diesen trigonometrischen Beziehungen Hyperbeldreiecke sehen.

Verschieden von Euklidischen Dreiecken, deren sich Winkel immer auf 180 ° oder π radians die Summe der Winkel eines Hyperbeldreiecks belaufen, ist immer ausschließlich weniger als 180 °. Der Unterschied wird manchmal den Defekt genannt. Das Gebiet eines Hyperbeldreiecks wird durch seinen Defekt gegeben, der mit R ² wo multipliziert ist. Demzufolge haben alle Hyperbeldreiecke ein Gebiet, das weniger ist als R ²π. Das Gebiet eines idealen Hyperbeldreiecks ist diesem Maximum gleich.

Als in der sphärischen Geometrie sind die einzigen ähnlichen Dreiecke kongruente Dreiecke.

Kreise, Bereiche und Bälle

In der Hyperbelgeometrie ist der Kreisumfang eines Kreises des Radius r größer als 2πr. Es ist tatsächlich gleich

:

Das Gebiet der beiliegenden Platte ist

:

Die Fläche eines Bereichs ist

:

Das Volumen des beiliegenden Balls ist

:

Für das Maß eines n-1 Bereichs im n dimensionalen Raum der entsprechende

Ausdruck ist

:

wo der volle n dimensionale Raumwinkel ist

:

das Verwenden für die Gammafunktion.

Das Maß des beiliegenden n Balls ist:

:

Geschichte

Mehrere geometers haben Versuche gemacht, das parallele Postulat zu beweisen, indem sie seine Ablehnung angenommen worden ist und versucht worden ist, einen Widerspruch, einschließlich Proclus, Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám, Al-Lärm von Nasir al-Tusi, Witelo, Gersonides, Alfonso, und später Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Johann Heinrich Lambert und Legendre abzuleiten.

Ihre Versuche haben gescheitert, aber ihre Anstrengungen haben die Hyperbelgeometrie zur Welt gebracht.

Die Lehrsätze von Alhacen, Khayyam und al-Tusi auf Vierseiten, einschließlich des Vierseits von Ibn al-Haytham-Lambert und Vierseits von Khayyam-Saccheri, waren die ersten Lehrsätze auf der Hyperbelgeometrie. Ihre Arbeiten an der Hyperbelgeometrie hatten einen beträchtlichen Einfluss auf seine Entwicklung unter späterem europäischem geometers, einschließlich Witelo, Gersonides, Alfonsos, John Wallis und Saccheris.

Im 18. Jahrhundert hat Johann Heinrich Lambert die Hyperbelfunktionen eingeführt und hat das Gebiet eines Hyperbeldreiecks geschätzt.

Im neunzehnten Jahrhundert wurde Hyperbelgeometrie von János Bolyai und Nikolai Ivanovich Lobachevsky umfassend erforscht, nach dem es manchmal genannt wird. Lobachevsky hat 1830 veröffentlicht, während Bolyai es unabhängig entdeckt hat und 1832 veröffentlicht hat. Carl Friedrich Gauss hat auch Hyperbelgeometrie studiert, in einem 1824-Brief an Taurinus beschreibend, dass er es gebaut hatte, aber seine Arbeit nicht veröffentlicht hat. 1868 hat Eugenio Beltrami Modelle davon zur Verfügung gestellt, und hat das verwendet, um zu beweisen, dass Hyperbelgeometrie entsprochen hat, wenn Euklidische Geometrie war.

Der Begriff "Hyperbelgeometrie" wurde von Felix Klein 1871 eingeführt.

Für mehr Geschichte, sieh Artikel über die nicht-euklidische Geometrie und die Verweisungen Coxeter und Milnor.

Modelle des Hyperbelflugzeugs

Es gibt vier für die Hyperbelgeometrie allgemein verwendete Modelle: das Modell von Klein, das Scheibe-Modell von Poincaré, das Halbflugzeug-Modell von Poincaré, und das Modell von Lorentz oder hyperboloid Modell. Diese Modelle definieren einen echten Hyperbelraum, der die Axiome einer Hyperbelgeometrie befriedigt. Trotz ihrer Namen wurden die ersten drei, die oben erwähnt sind, als Modelle des Hyperbelraums von Beltrami eingeführt, nicht von Poincaré oder Klein.

1. Das Modell von Klein, auch bekannt als das projektive Scheibe-Modell und Modell von Beltrami-Klein, verwendet das Interieur eines Kreises für das Hyperbelflugzeug und die Akkorde des Kreises als Linien.
2. * ist Dieses Modell im Vorteil der Einfachheit, aber der Nachteil, der im Hyperbelflugzeug angelt, wird verdreht.
3. * ist Die Entfernung in diesem Modell das Quer-Verhältnis, das von Arthur Cayley in der projektiven Geometrie eingeführt wurde.
4. Das Poincaré Scheibe-Modell, auch bekannt als das conformal Scheibe-Modell, verwenden auch das Interieur eines Kreises, aber Linien werden durch Kreisbogen von Kreisen vertreten, die zum Grenzkreis plus Diameter des Grenzkreises orthogonal sind.
5. Das Poincaré Halbflugzeug-Modell nimmt eine Hälfte des Euklidischen Flugzeugs, wie bestimmt, durch eine Euklidische Linie B, um das Hyperbelflugzeug (B zu sein, selbst wird nicht eingeschlossen).
6. * sind Hyperbellinien dann entweder Halbkreise, die zu B oder Strahl-Senkrechte zu B orthogonal sind.
7. * bewahren Sowohl Poincaré Modelle Hyperbelwinkel, als auch sind dadurch conformal. Alle Isometrien innerhalb dieser Modelle sind deshalb Transformationen von Möbius.
8. * ist Das Halbflugzeug-Modell (an der Grenze) zum Scheibe-Modell von Poincaré am Rand der Scheibe identisch
9. Das Lorentz Modell oder hyperboloid Modell verwenden einen 2-dimensionalen hyperboloid der Revolution (von zwei Platten, aber dem Verwenden von einem) eingebettet im 3-dimensionalen Raum von Minkowski. Dieses Modell wird allgemein Poincaré kreditiert, aber Reynolds sagt (sieh unten), dass Wilhelm Killing und Karl Weierstrass dieses Modell von 1872 verwendet haben.
10. *This-Modell hat direkte Anwendung auf die spezielle Relativität, weil 3-Räume-Minkowski ein Modell für die Raum-Zeit ist, eine Raumdimension unterdrückend. Man kann den hyperboloid nehmen, um die Ereignisse zu vertreten, die verschiedene bewegende Beobachter, äußer in einem Raumflugzeug von einem einzelnen Punkt ausstrahlend, in einer festen richtigen Zeit erreichen werden. Die Hyperbelentfernung zwischen zwei Punkten auf dem hyperboloid kann dann mit der Verhältnisschnelligkeit zwischen den zwei entsprechenden Beobachtern identifiziert werden.

Verbindung zwischen den Modellen

Die vier Modelle beschreiben im Wesentlichen dieselbe Struktur. Der Unterschied zwischen ihnen ist, dass sie verschiedene Koordinatenkarten vertreten, die auf demselben metrischen Raum, nämlich der Hyperbelraum aufgestellt sind. Die charakteristische Eigenschaft des Hyperbelraums selbst ist, dass er eine unveränderliche negative Skalarkrümmung hat, die gegen die verwendete Koordinatenkarte gleichgültig ist. Die geodesics sind ähnlich invariant: D. h. geodesics stellen zu geodesics unter der Koordinatentransformation kartografisch dar. Hyperbelgeometrie wird allgemein in Bezug auf den geodesics und ihre Kreuzungen auf dem Hyperbelraum eingeführt.

Sobald wir eine Koordinatenkarte wählen (eines der "Modelle"), können wir es immer in einem Euklidischen Raum derselben Dimension einbetten, aber das Einbetten ist klar nicht isometrisch (da die Skalarkrümmung des Euklidischen Raums 0 ist). Der Hyperbelraum kann durch ungeheuer viele verschiedene Karten vertreten werden; aber die embeddings im Euklidischen Raum wegen dieser vier spezifischen Karten zeigen einige interessante Eigenschaften.

Da die vier Modelle denselben metrischen Raum beschreiben, kann jeder in den anderen umgestaltet werden., Sieh zum Beispiel, die Musterbeziehung von Beltrami-Klein zum hyperboloid Modell, die Musterbeziehung von Beltrami-Klein zum Plattenmodell von Poincaré und die Plattenmusterbeziehung von Poincaré zum hyperboloid Modell.

Das Vergegenwärtigen der Hyperbelgeometrie

Die berühmte Druckkreisgrenze von M. C. Escher III und Kreisgrenze IV

illustrieren Sie das conformal Scheibe-Modell ganz gut. Die weißen Linien in III sind nicht ganz geodesics (sie sind Hyperzyklen), aber sind ihnen ganz nah. Es ist auch möglich, ganz einfach die negative Krümmung des Hyperbelflugzeugs, durch seine Wirkung auf die Summe von Winkeln in Dreiecken und Quadraten zu sehen.

Zum Beispiel in der Kreisgrenze gehört III jeder Scheitelpunkt drei Dreiecken und drei Quadraten. Im Euklidischen Flugzeug würden ihre Winkel zu 450 ° resümieren; d. h., ein Kreis und ein Viertel. Davon sehen wir, dass die Summe von Winkeln eines Dreiecks im Hyperbelflugzeug kleiner sein muss als 180 °. Ein anderes sichtbares Eigentum ist Exponentialwachstum. In der Kreisgrenze III, zum Beispiel, kann man sehen, dass sich die Zahl von Fischen innerhalb einer Entfernung von n vom Zentrum exponential erhebt. Die Fische haben gleiches Hyperbelgebiet, so muss sich das Gebiet eines Balls des Radius n exponential in n erheben.

Es gibt mehrere Weisen, ein Hyperbelflugzeug (oder Annäherung davon) physisch zu begreifen. Ein besonders wohl bekanntes auf dem Pseudobereich gestütztes Papiermodell ist wegen William Thurstons. Die Kunst der Häkelarbeit ist verwendet worden, um Hyperbelflugzeuge mit dem ersten zu demonstrieren, das durch Daina Taimina wird macht, deren Buch, das Abenteuer mit Hyperbelflugzeugen Häkelt, den 2009-Preis des Buchhändlers/Diagramms für den Sonderbarsten Titel des Jahres gewonnen hat. 2000 hat Keith Henderson demonstriert, dass ein quick-make Papiermodell den "hyperbolischen soccerball" synchronisiert hat.

Instruktionen darauf, wie man eine Hyperbelsteppdecke macht, die von Helaman Ferguson entworfen ist, sind von Jeff Weeks bereitgestellt worden.

Homogene Struktur

Der Hyperbelraum der Dimension n ist ein spezieller Fall von Riemannian symmetrischer Raum des Nichtkompakttyps, weil es zum Quotienten isomorph

ist::

Die orthogonale Gruppe O (1 n) Taten durch Norm bewahrende Transformationen auf dem Raum von Minkowski R, und handelt es transitiv auf dem Zwei-Platten-hyperboloid der Norm 1 Vektoren. Zeitmäßiglinien (d. h., diejenigen mit Tangenten der positiven Norm) durch den Ursprung führen antipodische Punkte im hyperboloid durch, so gibt der Raum solcher Linien ein Modell des HyperbelN-Raums nach. Der Ausgleicher jeder besonderen Linie ist zum Produkt der orthogonalen Gruppen O (n) und O (1) isomorph, wo O (n) dem Tangente-Raum eines Punkts im hyperboloid folgt, und O (1) die Linie durch den Ursprung widerspiegelt. Viele der elementaren Konzepte in der Hyperbelgeometrie können in geradlinigen algebraischen Begriffen beschrieben werden: Geodätische Pfade werden durch Kreuzungen mit Flugzeugen durch den Ursprung beschrieben, zweiflächige Winkel zwischen Hyperflugzeugen können durch Skalarprodukte von normalen Vektoren beschrieben werden, und Hyperbelnachdenken-Gruppen können ausführliche Matrixverwirklichungen gegeben werden.

In kleinen Dimensionen gibt es außergewöhnlichen Isomorphismus von Lüge-Gruppen, die zusätzliche Weisen nachgeben, symmetries von Hyperbelräumen zu denken. Zum Beispiel, in der Dimension 2, der Isomorphismus SO (1,2) erlauben  PSL (2, R)  PSU (1,1), die obere Hälfte des Flugzeug-Modells als der Quotient SL (2, R) / SO (2) und des Scheibe-Modells von Poincaré als der Quotient SU (1,1)/U (1) zu interpretieren. In beiden Fällen handeln die Symmetrie-Gruppen auf geradlinige Bruchtransformationen, da beide Gruppen die Orientierung bewahrenden Ausgleicher in PGL (2, C) der jeweiligen Subräume des Bereichs von Riemann sind. Die Cayley Transformation nimmt nicht nur ein Modell des Hyperbelflugzeugs zum anderen, aber begreift den Isomorphismus von Symmetrie-Gruppen als Konjugation in einer größeren Gruppe. In der Dimension 3 wird die geradlinige Bruchhandlung von PGL (2, C) auf dem Bereich von Riemann mit der Handlung an der conformal Grenze von hyperbolischen 3-Räume-veranlasst durch den Isomorphismus O (1,3)  PGL (2, C) identifiziert. Das erlaubt, Isometrien von 3-Räume-hyperbolischen durch das Betrachten von geisterhaften Eigenschaften des vertretenden Komplexes matrices zu studieren. Zum Beispiel sind parabolische Transformationen zu starren Übersetzungen im oberen Halbraummodell verbunden, und sie sind genau jene Transformationen, die durch unipotent oberen dreieckigen matrices vertreten werden können.

Universale Hyperbelgeometrie

N. J. Wildberger hat eine neue Annäherung an die auf der vernünftigen Trigonometrie gestützte Hyperbelgeometrie entworfen. Das Thema wird auf eine rein algebraische Mode von den ersten Grundsätzen entwickelt. Diese Annäherung erlaubt, über jedes Feld nicht charakteristischer zwei wie die rationalen Zahlen zu arbeiten. Im Vergleich mit den üblichen Modellen verlangt universale Hyperbelgeometrie Gebrauch der reellen Zahlen, Rechnung oder transzendenten Funktionen nicht.

Siehe auch

• Hyperbelraum
• Elliptische Geometrie
• Raum von Gyrovector
• Transformation von Hjelmslev
• Horocycle
• Hyperbolischer 3-Sammelleitungen-
• Hyperbelsammelleitung
• Hyperbelsatz
• Hyperbelbaum
• Gruppe von Kleinian
• Poincaré metrischer
• Pseudobereich
• Vierseit von Saccheri
• Sphärische Geometrie
• Geometrie von Systolic

Referenzen

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Außenverbindungen

• Visionen der Unendlichkeit: Einen Hyperbelfußboden mit Ziegeln zu decken, begeistert sowohl Mathematik als auch Kunstwissenschaftsnachrichten: Am 23. Dez 2000; Vol. 158, Nr. 26/27, p. 408
• Java freeware, um Skizzen sowohl in der Poincaré Platte als auch in den Oberen Halbflugzeug-Modellen der Hyperbelgeometrie-Universität New Mexicos zu schaffen
• "Das Hyperbelgeometrie-Lied" Ein kurzes Musik-Video über die Grundlagen der an YouTube verfügbaren Hyperbelgeometrie.
• Mehr auf der Hyperbelgeometrie, einschließlich des Kinos und der Gleichungen für die Konvertierung zwischen der verschiedenen Musteruniversität Illinois an Urbana-Champaign
• Voronoi Hyperbeldiagramme haben leicht, Frank Nielsen gemacht
• , interaktive Unterrichtswebsite.
• Universale Hyperbelgeometrie II: Eine bildliche Übersicht
• Universale Hyperbelgeometrie III: Die ersten Schritte in der projektiven Dreieck-Geometrie