Der Hauptfaktor-Algorithmus (PFA), auch genannt den Guten-Thomas Algorithmus (1958/1963), ist ein Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT), der den getrennten Fourier verwandelt sich (DFT) einer Größe N = NN als ein zweidimensionaler N×N DFT wiederausdrückt, aber nur für den Fall, wo N und N relativ erst sind. Diese kleiner verwandeln sich der Größe N, und N kann dann durch die Verwendung von PFA rekursiv oder durch das Verwenden eines anderen FFT Algorithmus bewertet werden.

PFA sollte mit der Mischbasis-Generalisation des populären Cooley-Tukey Algorithmus nicht verwirrt sein, der auch einen DFT der Größe N = unterteilt, verwandelt sich NN in den kleineren der Größe N und N. Der letzte Algorithmus kann irgendwelche Faktoren (nicht notwendigerweise relativ erst) verwenden, aber er hat den Nachteil, dass er auch verlangt, dass Extramultiplikationen durch Wurzeln der genannten Einheit mit Faktoren herumspielen, zusätzlich zum kleineren verwandelt sich. Andererseits hat PFA die Nachteile, dass er nur für relativ erste Faktoren arbeitet (z.B, ist es für power-two Größen nutzlos), und dass er ein mehr kompliziertes Wiederindexieren der auf dem Chinesischen Rest-Lehrsatz (CRT) gestützten Daten verlangt. Bemerken Sie jedoch, dass PFA mit der Mischbasis verbunden werden kann, hat Cooley-Tukey, mit dem ehemaligen Faktorisieren N in relativ erste Bestandteile und das letzte Berühren Faktoren wiederholt.

PFA ist auch nah mit dem verschachtelten Winograd FFT Algorithmus verbunden, wo der Letztere leistet, verwandeln sich die zersetzten N durch N über hoch entwickeltere zweidimensionale Gehirnwindungstechniken. Einige ältere Papiere nennen deshalb auch den Algorithmus von Winograd einen PFA FFT.

(Obwohl der PFA vom Cooley-Tukey Algorithmus verschieden ist, wurde die 1958-Arbeit des Nutzens am PFA als Inspiration von Cooley und Tukey in ihrer berühmten 1965-Zeitung zitiert, und es gab am Anfang etwas Verwirrung darüber, ob die zwei Algorithmen verschieden waren. Tatsächlich war es die einzige vorherige von ihnen zitierte FFT-Arbeit, als sie der früheren Forschung durch Gauss und andere nicht dann bewusst waren.)

Algorithmus

Rufen Sie zurück, dass der DFT durch die Formel definiert wird:

:

\qquad

k = 0, \dots, n-1. </Mathematik>

Der PFA schließt ein Wiederindexieren des Eingangs und der Produktionsreihe ein, der, sich wenn eingesetzt, in die DFT Formel verwandelt, hat es in zwei DFTs (ein zweidimensionaler DFT) verschachtelt.

Das Wiederindexieren

Nehmen Sie an, dass N = NN, wo N und N relativ erst sind. In diesem Fall können wir ein bijektives Wiederindexieren des Eingangs n und der Produktion k definieren durch:

::

wo N das multiplicative Modulgegenteil von N modulo N und umgekehrt für N anzeigt; die Indizes k und n, die von 0..., N1 (für = 1, 2) geführt sind. Diese Gegenteile bestehen nur für relativ ersten N und N, und diese Bedingung ist auch dafür erforderlich, erst kartografisch darzustellen, bijektiv zu sein.

Dieses Wiederindexieren von n wird kartografisch darstellenden Ruritanian genannt (auch Nutzen kartografisch darstellend), während dieses Wiederindexieren von k den kartografisch darstellenden CRT genannt wird. Der Letztere bezieht sich auf die Tatsache, dass k die Lösung des chinesischen Rest-Problems k = k mod N und k = k mod N ist.

(Man konnte stattdessen Ruritanian verwenden, der für die Produktion k und den CRT kartografisch darstellt, der für den Eingang n oder verschiedene Zwischenwahlen kartografisch darstellt.)

Sehr viel Forschung ist Schemas gewidmet worden, um dieses Wiederindexieren effizient ideal im Platz zu bewerten, während man die Zahl von kostspieligem modulo (Rest) Operationen (Chan, 1991, und Verweisungen) minimiert.

DFT Wiederausdruck

Das obengenannte Wiederindexieren wird dann in die Formel für den DFT, und insbesondere ins Produkt nk in der Hochzahl eingesetzt. Weil e = 1, diese Hochzahl modulo N bewertet wird: Jeder NN = N böser Begriff im nk Produkt kann auf die Null gesetzt werden. (Ähnlich X und x sind in N implizit periodisch, so werden ihre Subschriften modulo N. bewertet), geben Die restlichen Begriffe:

:

\sum_ {n_1=0} ^ {N_1-1}

\left (\sum_ {n_2=0} ^ {N_2-1} x_ {n_1 N_2 + n_2 N_1}

e^ {-\frac {2\pi ich} {N_2} n_2 k_2} \right)

e^ {-\frac {2\pi ich} {N_1} n_1 k_1}.

</Mathematik>

Die inneren und Außensummen sind einfach DFTs der Größe N und N beziehungsweise.

(Hier haben wir die Tatsache verwendet, dass NN Einheit, wenn bewertet, modulo N in der Hochzahl der inneren Summe, und umgekehrt für die Hochzahl der Außensumme ist.)

• Nachtrag, ibd. 22 (2), 373-375 (1960).