In der Mathematik gibt der Lehrsatz von Green die Beziehung zwischen einer Linie, die um eine einfache geschlossene Kurve C und einem doppelten Integral über das Flugzeug durch C begrenztes Gebiet D integriert ist. Es ist der zweidimensionale spezielle Fall von Lehrsatz von mehr General Stokes, und wird nach dem britischen Mathematiker George Green genannt.

Lehrsatz

Lassen Sie C positiv orientiert, piecewise glatte, einfache geschlossene Kurve im Flugzeug sein, und D das durch C begrenzte Gebiet sein zu lassen. Wenn L und M Funktionen (x, y) definiert auf einem offenen Gebiet sind, das D enthält, und dauernde partielle Ableitungen dort, dann haben

:

Für die positive Orientierung ein Pfeil, der in gegen den Uhrzeigersinn hinweist, kann Richtung im kleinen Kreis im integrierten Symbol gezogen werden.

In der Physik wird der Lehrsatz von Green größtenteils verwendet, um zweidimensionale Fluss-Integrale zu lösen, feststellend, dass die Summe von flüssigen Ausflüssen an jedem Punkt innerhalb eines Volumens dem über ein Umgeben-Gebiet summierten Gesamtausfluss gleich ist. In der Flugzeug-Geometrie, und insbesondere das Bereichsvermessen, kann der Lehrsatz von Green verwendet werden, um das Gebiet und centroid von Flugzeug-Zahlen allein durch die Integrierung über den Umfang zu bestimmen.

Beweis, wenn D ein einfaches Gebiet ist

Der folgende ist ein Beweis des Lehrsatzes für das vereinfachte Gebiet D, ein Gebiet des Typs I, wo C und C vertikale Linien sind. Ein ähnlicher Beweis besteht dafür, wenn D ein Gebiet des Typs II ist, wo C und C Geraden sind. Der allgemeine Fall kann aus diesem speziellen Fall durch das Approximieren dem Gebiet D von einer Vereinigung von einfachen Gebieten abgeleitet werden.

Wenn ihm das gezeigt werden kann

:und:sind

dann wahr der Lehrsatz von Green wird im ersten Fall bewiesen.

Definieren Sie den Typ I Gebiet D, wie geschildert, rechts durch

:

wo g und g dauernde Funktionen auf [a, b] sind. Schätzen Sie das doppelte Integral in (1):

:

\begin {richten }\aus

\iint_D \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser y }\\, dA

& = \int_a^b \,\int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} \frac {\\teilweise L\{\\teilweise y\(x, y) \, dy \, dx \\

& = \int_a^b \Big\{L (x, g_2 (x)) - L (x, g_1 (x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm {(3) }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Schätzen Sie jetzt die Linie, die in (1) integriert ist. C kann als die Vereinigung von vier Kurven umgeschrieben werden: C, C, C, C.

Mit C, verwenden Sie die parametrischen Gleichungen: x = x, y = g (x), ein  x  b. Dann

:Mit C, verwenden Sie die parametrischen Gleichungen: x = x, y = g (x), ein  x  b. Dann:

Das Integral über C wird verneint, weil es in die negative Richtung von b bis a hineingeht, weil C positiv (gegen den Uhrzeigersinn) orientiert wird. Auf C und C bleibt x unveränderlich, bedeutend

:

Deshalb,

:\begin {richten }\aus

\int_ {C} L \, dx & = \int_ {C_1} L (x, y) \, dx + \int_ {C_2} L (x, y) \, dx + \int_ {C_3} L (x, y) \, dx + \int_ {C_4} L (x, y) \, dx \\

& =-\int_a^b L (x, g_2 (x)) \, dx + \int_a^b L (x, g_1 (x)) \, dx\qquad\mathrm {(4) }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Sich (3) mit (4) verbindend, kommen wir (1). Ähnliche Berechnung gibt (2).

Beziehung zu Schürt Lehrsatz

Der Lehrsatz des Grüns ist ein spezieller Fall Kelvin-schürt Lehrsatz, wenn angewandt, auf ein Gebiet im xy-plane:

Wir können das zweidimensionale Feld in ein dreidimensionales Feld mit einem z Bestandteil vermehren, der immer 0 ist. Schreiben Sie F für die Vektor-geschätzte Funktion. Fangen Sie mit der linken Seite des Lehrsatzes von Green an:

:

Dann dadurch Kelvin-schürt Lehrsatz:

:

Die Oberfläche ist gerade das Gebiet im Flugzeug, mit der Einheit normals, (in der positiven z Richtung) hinweisend, um die "positive Orientierung" Definitionen für beide Lehrsätze zu vergleichen.

Der Ausdruck innerhalb des Integrals wird

:

So bekommen wir die richtige Seite des Lehrsatzes von Green

:

Beziehung zum Abschweifungslehrsatz

Nur zweidimensionale Vektorfelder, denkend

Der Lehrsatz des Grüns ist zur folgenden zweidimensionalen Version des Abschweifungslehrsatzes gleichwertig:

:

wo die äußer hinweisende Einheit normaler Vektor an der Grenze ist.

Um das zu sehen, betrachten Sie die Einheit als normal in der richtigen Seite der Gleichung. Seitdem im Lehrsatz des Grüns ist ein Vektor, der tangential entlang der Kurve hinweist, und die Kurve C ist das positiv orientierte (d. h. gegen den Uhrzeigersinn) Kurve entlang der Grenze, ein äußerer normaler würde ein Vektor sein, der 90 ° nach rechts anspitzt, die sein würden. Die Länge dieses Vektoren ist. So

Lassen Sie jetzt die Bestandteile dessen. Dann wird die rechte Seite

:

der durch den Lehrsatz von Green wird

:

Die gegenteilige Dose, die auch leicht gezeigt ist, wahr zu sein.

Bereichsberechnung

Der Lehrsatz des Grüns kann verwendet werden, um Gebiet durch die integrierte Linie zu schätzen. Durch das Gebiet von D wird gegeben:

:

Vorausgesetzt dass wir L und solche M dass wählen:

:

Dann wird durch das Gebiet gegeben:

:

Mögliche Formeln für das Gebiet von D schließen ein:

:

Siehe auch

• Planimeter
• Methode von Bildanklagen - Eine Methode hat in der Elektrostatik verwendet, die den Einzigartigkeitslehrsatz ausnutzt (ist auf den Lehrsatz von Green zurückzuführen gewesen)

Weiterführende Literatur

• Rechnung (5. Ausgabe), F. Ayres, E. Mendelson, die Umriss-Reihe von Schuam, 2009, internationale Standardbuchnummer 978-0-07-150861-2.
• Fortgeschrittene Rechnung (3. Ausgabe), R. Wrede, M.R. Spiegel, die Umriss-Reihe von Schuam, 2010, internationale Standardbuchnummer 978-0-07-162366-7.

Links

• Der Lehrsatz des Grüns auf MathWorld