In combinatorics ist ein Zweig der Mathematik, ein matroid oder Unabhängigkeitsstruktur eine Struktur, die gewinnt und den Begriff der geradlinigen Unabhängigkeit in Vektorräumen verallgemeinert.

Es gibt viele gleichwertige Weisen, einen matroid zu definieren, ein Phänomen hat manchmal cryptomorphism genannt. Bedeutende Definitionen von matroid schließen diejenigen in Bezug auf unabhängige Sätze ein, Basen, Stromkreise, haben Sätze oder Wohnungen, Verschluss-Maschinenbediener und Reihe-Funktionen geschlossen.

Theorie von Matroid borgt umfassend von der Fachsprache der geradlinigen Algebra und Graph-Theorie größtenteils, weil es die Abstraktion von verschiedenen Begriffen der Hauptwichtigkeit in diesen Feldern ist.

Formelle Definitionen von begrenztem matroids

Es gibt Dutzende von gleichwertigen Weisen, einen (begrenzten) matroid zu definieren. Hier sind einige der wichtigsten. Es gibt keine bevorzugte oder übliche Definition; in dieser Rücksicht unterscheiden sich matroids von vielen anderen mathematischen Strukturen, wie Graphen, Gruppen und Topologien.

Unabhängige Sätze, Basen und Stromkreise

Eine der wertvollsten Definitionen ist das, das in Bezug auf die Unabhängigkeit gegeben ist. In dieser Definition ist eine begrenzte matroid M ein Paar (E, I), wo E ein begrenzter Satz ist (hat den Boden-Satz genannt), und ich bin eine Sammlung von Teilmengen von E (hat die unabhängigen Sätze genannt) mit den folgenden Eigenschaften:

1. Der leere Satz, ist d. h.,   I. unabhängig (Wechselweise, mindestens eine Teilmenge von E, ist d. h., ich   unabhängig.)
2. Jede Teilmenge eines unabhängigen Satzes, ist d. h., für jeden'  Ein  E, Ein  I '  I unabhängig. Das wird manchmal das erbliche Eigentum genannt.
3. Wenn A und B zwei unabhängige Sätze davon sind, haben mir und A mehr Elemente als B, dann dort besteht ein Element in, der nicht in B ist, der, wenn hinzugefügt, zu B noch einen unabhängigen Satz gibt. Das wird manchmal das Zunahme-Eigentum oder das unabhängige Satz-Austauscheigentum genannt.

Die ersten zwei Eigenschaften definieren eine kombinatorische als ein Unabhängigkeitssystem bekannte Struktur. Die Beispiele in der Beispiel-Abteilung machen unten die Motivation für das dritte Eigentum klar.

Eine Teilmenge des Bodens hat E gesetzt, der ziemlich abhängig ist, wird abhängig genannt. Ein maximaler unabhängiger Satz - d. h. ein unabhängiger Satz, der abhängig vom Hinzufügen jedes Elements von E wird - wird eine Basis nach dem matroid genannt. Es ist ein grundlegendes Ergebnis der matroid Theorie, die einem ähnlichen Lehrsatz der geradlinigen Algebra direkt analog ist, dass irgendwelche zwei Basen einer matroid M dieselbe Zahl der Elemente haben. Diese Zahl wird die Reihe der M genannt.

Ein Stromkreis in einer matroid M ist eine minimale abhängige Teilmenge von E-that, ist ein abhängiger Satz, dessen richtige Teilmengen der ganze Unabhängige sind. Die Fachsprache kommt aus der Graph-Theorie; sieh unten.

Die abhängigen Sätze, die Basen oder die Stromkreise eines matroid charakterisieren den matroid völlig. Außerdem, die Sammlung von abhängigen Sätzen, oder Basen, oder Stromkreise jeder hat einfache Eigenschaften, die als Axiome für einen matroid genommen werden können. Zum Beispiel kann man eine matroid M definieren, um ein Paar zu sein (E, B), wo E ein begrenzter Satz wie zuvor ist und B eine Sammlung von Teilmengen von E, genannt "Basen" mit den folgenden Eigenschaften ist:

1. B ist nichtleer.
2. Kein Mitglied von B ist eine richtige Teilmenge von einem anderen.
3. Wenn A und B verschiedene Mitglieder von B sind und eines Elements Eines nicht Gehörens B zu sein, dann dort besteht ein Element b, solchem B-A dass &minus gehörend; + ist b eine Basis. (Dieses Eigentum wird das Basisaustauscheigentum genannt.)

Reihe-Funktionen

Wenn M ein matroid auf E ist, und A eine Teilmenge von E ist, dann kann ein matroid auf A durch das Betrachten einer Teilmenge Eines Unabhängigen definiert werden, wenn, und nur wenn es in der M unabhängig ist. Das erlaubt uns, über submatroids und über die Reihe jeder Teilmenge von E zu sprechen.

Die Reihe-Funktion r teilt eine natürliche Zahl jeder Teilmenge von E zu und hat die folgenden Eigenschaften:

1. r (A)  für alle Teilmengen E. (hat Cardinality gebunden)
2. Wenn A und B Teilmengen von E mit Einem  B, dann r (A)  r (B) sind. (Zunahme)
3. Für irgendwelche zwei Teilmengen A und B von E haben wir r (Ein  B) + r (Ein  B)  r (A) + r (B). (Submodularität)

Diese drei Eigenschaften können als eine der alternativen Definitionen eines begrenzten matroid verwendet werden: Die unabhängigen Sätze werden dann als jene Teilmengen E mit r (A) = |A definiert.

Der Unterschied |A − r wird (A) die Ungültigkeit der Teilmenge A genannt. Es ist die minimale Zahl der Elemente, die von entfernt werden muss, um einen unabhängigen Satz zu erhalten. Die Ungültigkeit von E in der M wird die Ungültigkeit der M genannt.

Verschluss-Maschinenbediener

Lassen Sie M ein matroid auf einem begrenzten Satz E, definiert als oben sein. Die Verschluss-Kl. (A) einer Teilmenge E ist die Teilmenge von E, der A und jedes Element x in E\A, solch enthält, dass es einen Stromkreis C gibt, x und enthalten in der Vereinigung von A und {x} enthaltend. Das definiert den Verschluss-Maschinenbediener, von P (E) zu P (E), wo P den Macht-Satz anzeigt.

Die Verschluss-Maschinenbediener-Kl. von P (E) zu P (E) hat das folgende Eigentum:

• Für alle Elemente a, b E und aller Teilmengen Y E, wenn in der Kl. (Y  b) \Kl. (Y) zu sein, dann ist b in der Kl. (Y  a) \Kl. (Y). Das wird manchmal das Austauscheigentum der Mac Lane-Steinitz genannt.

Tatsächlich kann das als eine andere Definition von matroid genommen werden - jeder Verschluss-Maschinenbediener auf E mit diesem Eigentum bestimmt einen matroid auf E.

Geschlossene Sätze (Wohnungen)

Wie man

sagt, wird ein Satz, dessen Verschluss sich gleichkommt, oder eine Wohnung des matroid geschlossen. Die geschlossenen Sätze eines matroid werden durch ein Bedeckungsteilungseigentum charakterisiert:

• Der ganze Punkt ist untergegangen E wird geschlossen.
• Wenn S und T Wohnungen sind, dann ist S  T eine Wohnung.
• Wenn S eine Wohnung ist, dann die Wohnungen T dass enthält Deckel S, d. h., T richtig S, aber es gibt keine Wohnung U zwischen S und T, verteilen Sie die Elemente von E − S.

Die Klasse L (M) aller Wohnungen, die teilweise durch die Satz-Einschließung bestellt sind, bildet ein matroid Gitter.

Umgekehrt bildet der Satz Atome jedes matroid Gitters L einen matroid unter dem folgenden Verschluss-Maschinenbediener: Für einen Satz S Atome, deren sich L anschließen, ist x,

:cl (S) = {ein  | ein  x}.

Gleichwertig sind die Wohnungen des matroid die Sätze

: {aA | ein  x} für x  L.

So ist das Gitter von Wohnungen dieses matroid zu L natürlich isomorph.

Beispiele

Einfacher matroids

Ein matroid wird einfach genannt, wenn er keine Stromkreise hat, die aus 1 oder 2 Elementen bestehen. D. h. es hat keine Schleifen und keine parallelen Elemente.

Uniform matroids

Lassen Sie E ein begrenzter Satz und k eine natürliche Zahl sein. Man kann einen matroid auf E definieren, indem man jede K-Element-Teilmenge von E nimmt, um eine Basis zu sein. Das ist als die Uniform matroid der Reihe k bekannt. Die ganze Uniform matroids der Reihe sind mindestens 2 einfach.

Die Uniform matroid der Reihe 2 auf N-Punkten wird die N-Punkt-Linie genannt.

Ein matroid ist gleichförmig, wenn, und nur wenn er keine Stromkreise der Größe weniger hat als diejenige plus die Reihe des matroid.

Getrennter matroids

Ein matroid wird getrennt genannt, wenn jedes Element eine Schleife oder ein coloop ist. Gleichwertig ist jede richtige, nichtleere Teilmenge des Bodens untergegangen E ist ein Separator (Schleife, coloop, und Separator wird in der Zusätzlichen Fachsprache unten definiert).

Matroids von der geradlinigen Algebra

Theorie von Matroid hat sich hauptsächlich aus einer tiefen Überprüfung der Eigenschaften der Unabhängigkeit und Dimension in Vektorräumen entwickelt. Matroids von Vektorräumen sind noch die Hauptbeispiele. Es gibt zwei Weisen, sie zu präsentieren.

• Wenn E eine begrenzte Teilmenge eines Vektorraums V ist, dann können wir eine matroid M auf E definieren, indem wir die unabhängigen Sätze der M nehmen, um die linear unabhängigen Teilmengen von E zu sein. Wir sagen, dass der Satz E M vertritt. Matroids dieser Art werden Vektoren matroids genannt.
• Eine Matrix mit Einträgen in einem Feld verursacht eine matroid M auf seinem Satz von Säulen. Die abhängigen Sätze von Säulen im matroid sind diejenigen, die als Vektoren linear abhängig sind. Dieser matroid wird die Säule matroid A genannt, und, wie man sagt, vertritt A M Säule matroids sind gerade Vektor matroids unter einem anderen Namen, aber es gibt häufig Gründe, die Matrixdarstellung zu bevorzugen. (Es gibt einen technischen Unterschied: Eine Säule matroid kann verschiedene Elemente haben, die derselbe Vektor sind, aber ein Vektor matroid, kann wie definiert, oben nicht. Gewöhnlich ist dieser Unterschied unbedeutend und kann ignoriert werden, aber indem man E ein Mehrsatz von Vektoren sein lässt, bringt man die zwei Definitionen in die ganze Abmachung.)

Ein matroid, der zu einem Vektoren matroid gleichwertig ist, obwohl er verschieden präsentiert werden kann, wird wiederpräsentabel genannt. Wenn M zu einem Vektoren matroid über Feld F gleichwertig ist, dann sagen wir, dass M über F wiederpräsentabel ist; insbesondere M ist echt-wiederpräsentabel, wenn es über die reellen Zahlen wiederpräsentabel ist. Zum Beispiel, obwohl ein grafischer matroid (sieh unten) in Bezug auf einen Graphen präsentiert wird, ist es auch durch Vektoren über jedes Feld wiederpräsentabel. Ein grundlegendes Problem in der matroid Theorie ist zu bestimmen, ob eine gegebene matroid M über ein gegebenes Feld F wiederpräsentabel ist. Whitney hat eine Lösung dieses Problems gefunden, wenn F ein Feld mit zwei Elementen ist (sieh "Binären matroids", unten), aber die allgemeine Situation wird berühmt kompliziert. Die Hauptergebnisse sind bis jetzt Charakterisierungen der Dualzahl matroids wegen Tutte (die 1950er Jahre), von dreifältigem matroids (wiederpräsentabel über das 3-Elemente-Feld) wegen Reids und Bixbys, und getrennt Seymour (die 1970er Jahre), und von der Vierergruppe matroids (wiederpräsentabel über das 4-Elemente-Feld) wegen Geelen, Gerards und Kapoors (2000). Das ist grossenteils ein offenes Gebiet.

Matroids aus der Graph-Theorie

Eine zweite ursprüngliche Quelle für die Theorie von matroids ist Graph-Theorie.

Jeder begrenzte Graph (oder Mehrgraph) G verursachen einen matroid wie folgt: Nehmen Sie als E der Satz aller Ränder in G und betrachten Sie eine Reihe von Rändern als unabhängig, wenn, und nur wenn es keinen einfachen Zyklus enthält. Solch ein Rand-Satz wird einen Wald in der Graph-Theorie genannt. Das wird den Zyklus matroid oder grafischen matroid von G genannt; es ist gewöhnlich schriftliche M (G). Der grafische matroid von G kann auch als die Säule matroid jeder orientierten Vorkommen-Matrix von G definiert werden.

Jeder matroid, der zum Zyklus matroid von einem (viel)-Graphen gleichwertig ist, selbst wenn es in Bezug auf Graphen nicht präsentiert wird, wird einen grafischen matroid genannt. Die matroids, die grafisch sind, sind von Tutte charakterisiert worden.

Andere matroids auf Graphen wurden nachher entdeckt.

1. Der bicircular matroid eines Graphen wird durch das Nennen einer Reihe von Rändern unabhängig definiert, wenn jede verbundene Teilmenge höchstens einen Zyklus enthält.
2. In jedem geleiteten oder ungeleiteten Graphen lassen G E und F zwei ausgezeichnete Sätze von Scheitelpunkten sein. Im Satz E, definieren Sie eine Teilmenge U, um unabhängig zu sein, wenn es U mit dem Scheitelpunkt zusammenhanglose Pfade von F auf U gibt. Das definiert einen matroid auf E genannt einen gammoid.

Matroids von voreingenommenen Graphen

Grafische matroids sind zu matroids von unterzeichneten Graphen, Gewinn-Graphen und voreingenommenen Graphen verallgemeinert worden. Ein Graph G mit einer ausgezeichneten geradlinigen Klasse B von Zyklen, die als ein "voreingenommener Graph" bekannt sind (G, B), hat zwei matroids, die als der Rahmen matroid und das Heben matroid des voreingenommenen Graphen bekannt sind. Wenn jeder Zyklus der ausgezeichneten Klasse gehört, fallen diese matroids mit dem Zyklus matroid G zusammen. Wenn kein Zyklus bemerkenswert ist, ist der Rahmen matroid der bicircular matroid G.

Ein unterzeichneter Graph, dessen Ränder durch Zeichen und einen Gewinn-Graphen etikettiert werden, der ein Graph ist, dessen Ränder orientably von einer Gruppe etikettiert werden, verursacht jeder einen voreingenommenen Graphen und hat deshalb Rahmen und hebt matroids.

Rahmen matroids

Eine matroid M wird einen Rahmen matroid genannt, wenn sie, oder ein matroid, der es enthält, eine solche Basis hat, dass alle Punkte der M in den Linien enthalten werden, die sich Paaren von Basiselementen anschließen.

Transversal matroids

In Anbetracht einer Reihe von "Punkten", E, und einer Klasse A von Teilmengen von E, ist ein transversal von A eine Teilmenge S von solchem E, dass es eine isomorphe Funktion f von S bis gibt, durch den x f (x) für jeden x in S. gehört (Ein Können haben Mitglieder wiederholt, die als getrennte Teilmengen von E. behandelt werden), bildet Der Satz von transversals die Klasse von unabhängigen Sätzen eines matroid, genannt den transversal matroid von (E, A). Diese matroids sind ein spezieller einfacher Fall der Strukturen von Gammoid, die oben definiert sind. Definieren Sie einfach einen zweiteiligen Graphen mit links, E rechts, und schließen Sie sich X in zu x in E an, wenn x ein Element X ist. Die ausgezeichneten Sätze im gammoid sind A und E beziehungsweise.

Matroids von Felderweiterungen

Eine dritte ursprüngliche Quelle der matroid Theorie ist Feldtheorie.

Eine Erweiterung eines Feldes verursacht einen matroid. Nehmen Sie F an, und K sind Felder mit K, der F enthält. Lassen Sie E jede begrenzte Teilmenge von K sein. Definieren Sie eine Teilmenge S E, um unabhängig zu sein, wenn die Erweiterung Feld F [S] |S gleichen Überlegenheitsgrad hat.

Ein matroid, der zu einem matroid dieser Art gleichwertig ist, wird einen algebraischen matroid genannt. Das Problem, algebraischen matroids zu charakterisieren, ist äußerst schwierig; wenig ist darüber bekannt.

Der Fano matroid

Matroids mit einer kleinen Anzahl von Elementen werden häufig mit einem Diagramm porträtiert. Die Punkte sind die Elemente des zu Grunde liegenden Satzes, und eine Kurve ist durch jeden 3-Elemente-Stromkreis gezogen worden. Das Diagramm zeigt eine Reihe, die 3 matroid den Fano matroid, ein Beispiel genannt haben, das in der ursprünglichen 1935-Zeitung von Whitney erschienen ist.

Der Name entsteht aus der Tatsache, dass der Fano matroid das projektive Flugzeug des Auftrags 2 ist, der als das Flugzeug von Fano bekannt ist, dessen Koordinatenfeld das 2-Elemente-Feld ist. Das bedeutet, dass der Fano matroid der Vektor matroid vereinigt zu den sieben Nichtnullvektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum über ein Feld mit zwei Elementen ist.

Es ist von der projektiven Geometrie bekannt, dass der Fano matroid durch jeden Satz von Vektoren in einem echten oder komplizierten Vektorraum nicht wiederpräsentabel ist (oder in jedem Vektorraum über ein Feld, dessen sich Eigenschaft von 2 unterscheidet).

Ein weniger berühmtes Beispiel ist der anti-Fano matroid, definiert ebenso als der Fano matroid, ausgenommen dass der Kreis im obengenannten Diagramm vermisst wird. Der anti-Fano matroid ist über ein Feld wiederpräsentabel, wenn, und nur wenn sich seine Eigenschaft von 2 unterscheidet.

Die direkte Summe eines Fanos matroid und eines anti-Fanos matroid ist das einfachste Beispiel für einen matroid, der über jedes Feld nicht wiederpräsentabel ist.

Nichtbeispiele

Denken Sie andererseits dieses Nichtbeispiel: Lassen Sie E eine Reihe von Paaren sein (v, c), wo sich v über die Scheitelpunkte eines Graphen und C-Reihen über den Satz {rot, blau, gelb} erstreckt. Lassen Sie die unabhängigen Sätze die Sätze von Paaren sein, die nur eine Farbe mit jedem Scheitelpunkt vereinigen und dieselbe Farbe mit zwei angrenzenden Scheitelpunkten nicht vereinigen; d. h. sie vertreten gültigen Graphen colorings. Der leere Satz ist ein gültiger drei-Färben-, und jede Teilmenge eines gültigen drei-Färben-ist ein gültiger drei-Färben-, aber das Austauscheigentum hält nicht, weil es möglich ist, zwei maximale dreifarbige Subgraphen verschiedener Größen, wie gezeigt, nach rechts zu haben. Es ist keine Überraschung, dass das nicht ein matroid seitdem ist, wenn es wäre, würde es uns einen gierigen Algorithmus für das NP-complete 3-Färben-Problem geben, sich P = NP zeigend.

Grundlegende Aufbauten

Lassen Sie M ein matroid mit einem zu Grunde liegenden Satz von Elementen E sein, und N ein anderer matroid auf dem zu Grunde liegenden Satz F sein zu lassen.

Es gibt einige Standardweisen, neuen matroids aus alten zu machen.

• Beschränkung. Wenn S eine Teilmenge von E ist, ist die Beschränkung der M zu S, schriftlicher M S, der matroid auf dem zu Grunde liegenden Satz S, dessen unabhängige Sätze die unabhängigen Sätze der M sind, die in S enthalten werden. Seine Stromkreise sind die Stromkreise der M, die in S enthalten werden und seine Reihe-Funktion diese der auf Teilmengen von S eingeschränkten M ist. In der geradlinigen Algebra entspricht das dem Einschränken auf den Subraum, der durch die Vektoren in S erzeugt ist.
• Zusammenziehung. Wenn T eine Teilmenge von E ist, ist die Zusammenziehung der M durch T, schriftlichen M/T, der matroid auf dem zu Grunde liegenden Satz E − T, dessen Reihe-Funktion In der geradlinigen Algebra ist, entspricht das dem Schauen am Quotient-Raum durch den geradlinigen Raum, der durch die Vektoren in T, zusammen mit den Images der Vektoren in E - T erzeugt ist.
• Minderjährige. Ein matroid N, der bei der M durch eine Folge der Beschränkung und Zusammenziehungsoperationen erhalten wird, wird einen Minderjährigen der M genannt. Wir sagen, dass M N als ein Minderjähriger enthält.
• Direkte Summe. Die direkte Summe der M und N ist der matroid, dessen zu Grunde liegender Satz die zusammenhanglose Vereinigung von E und F ist, und dessen unabhängige Sätze die zusammenhanglosen Vereinigungen eines unabhängigen Satzes der M mit einem unabhängigen Satz von N sind.

:Theorem. Ein matroid ist die direkte Summe seiner Beschränkungen zu seinen nicht zu vereinfachenden Separatoren.

• Vereinigung von Matroid. Die Vereinigung der M und N ist der matroid, dessen zu Grunde liegender Satz die Vereinigung (nicht die zusammenhanglose Vereinigung) E und F ist, und dessen unabhängige Sätze jene Teilmengen sind, die die Vereinigung eines unabhängigen Satzes in der M und ein in N sind. Gewöhnlich wird der Begriff "Vereinigung" angewandt, wenn E = F, aber diese Annahme ist nicht notwendig. Wenn E und F zusammenhanglos sind, ist die Vereinigung die direkte Summe.

Zusätzliche Fachsprache

Lassen Sie M ein matroid mit einem zu Grunde liegenden Satz von Elementen E sein.

• Eine Teilmenge von E misst M ab, wenn sein Verschluss E ist. Wie man sagt, misst ein Satz einen geschlossenen Satz K ab, wenn sein Verschluss K ist.
• Eine maximale geschlossene richtige Teilmenge von E wird einen coatom oder copoint oder Hyperflugzeug der M genannt. Eine gleichwertige Definition: Ein coatom ist eine Teilmenge von E, der M, aber solch nicht abmisst, dass das Hinzufügen jedes anderen Elements dazu wirklich einen Überspannen-Satz macht.
• Ein Element, das einen Stromkreis des einzelnen Elements der M bildet, wird eine Schleife genannt. Gleichwertig ist ein Element eine Schleife, wenn es keiner Basis gehört.
• Ein Element, das keinem Stromkreis gehört, wird einen coloop genannt. Gleichwertig ist ein Element ein coloop, wenn es jeder Basis gehört.
• Wenn ein Zwei-Elemente-Satz {f, g} ein Stromkreis der M ist, dann sind f und g in der M parallel.
• Ein einfacher bei der M erhaltener matroid durch das Löschen aller Schleifen und das Löschen eines Elements von jedem 2-Elemente-Stromkreis bis zu keinen 2-Elemente-Stromkreisen bleibt wird eine Vereinfachung der M genannt.
• Ein Separator der M ist eine Teilmenge S von solchem E, dass Ein richtiger Separator ein Separator ist, der weder E noch der leere Satz ist. Ein nicht zu vereinfachender Separator ist ein Separator, der keinen anderen nichtleeren Separator enthält. Die nicht zu vereinfachenden Separatoren verteilen den Boden-Satz-E.
• Ein matroid, der als die direkte Summe von zwei nichtleeren matroids, oder gleichwertig nicht geschrieben werden kann, der keine richtigen Separatoren hat, wird verbunden oder nicht zu vereinfachend genannt.
• Ein maximaler nicht zu vereinfachender submatroid der M wird einen Bestandteil der M genannt. Ein Bestandteil ist die Beschränkung der M zu einem nicht zu vereinfachenden Separator, und im Gegenteil, die Beschränkung der M zu einem nicht zu vereinfachenden Separator ist ein Bestandteil.

Weitere Themen

Regelmäßiger matroids

Ein matroid ist regelmäßig, wenn er durch völlig unimodular Matrix vertreten werden kann (eine Matrix, deren Quadrat submatrices alle Determinanten haben, die 0, 1, oder −1 gleich sind). Tutte hat bewiesen, dass die folgenden drei Eigenschaften eines matroid logisch gleichwertig sind:

1. M ist regelmäßig.
2. M ist über jedes Feld wiederpräsentabel.
3. M hat keinen Minderjährigen, der eine Vier-Punkte-Linie oder ein Flugzeug von Fano oder sein Doppel-ist.

Dafür hat er seinen schwierigen homotopy Lehrsatz verwendet. Einfachere Beweise sind seitdem gefunden worden.

Der Zergliederungslehrsatz von Seymour stellt fest, dass der ganze regelmäßige matroids auf eine einfache Weise als die Clique-Summe von grafischem matroids, ihrem duals und einem speziellem matroid aufgebaut werden kann. Dieser Lehrsatz hat Hauptfolgen für die geradlinige Programmierung, die völlig unimodular matrices verbunden ist.

Binärer matroids

Ein matroid, der über das Zwei-Elemente-Feld wiederpräsentabel ist, wird einen binären matroid genannt. Binäre matroids schließen grafischen und regelmäßigen matroids ein. Sie haben viele der netten Eigenschaften jener Typen von matroid. Whitney und Tutte haben berühmte Charakterisierungen gefunden. Die Hinzufügung von Sätzen ist symmetrischer Unterschied. Die folgenden Eigenschaften einer matroid M sind gleichwertig:

1. M ist binär.
2. In der M ist jede Summe von Stromkreisen eine Vereinigung von zusammenhanglosen Stromkreisen (Whitney).
3. M hat keinen Minderjährigen, der eine Vier-Punkte-Linie (Tutte) ist.

Die Monografie von Recski hat 8 gleichwertige Definitionen von binärem matroids kompiliert.

Verbotene Minderjährige

Nehmen Sie an, dass L eine Liste von matroids ist. Wie man sagt, wird die Klasse Ab (L) aller matroids, die als ein Minderjähriger kein Mitglied der Liste enthalten, von verbotenen Minderjährigen (oder ausgeschlossenen Minderjährigen) charakterisiert. Einige der großen Lehrsätze der matroid Theorie charakterisieren natürliche Klassen von matroids durch verbotene Minderjährige. Drei Beispiele wegen Tutte sind:

• Binärer matroids (sieh oben).
• Regelmäßiger matroids (sieh oben).
• Grafischer matroids: Die matroids, die keinen Minderjährigen haben, der die Vier-Punkte-Linie ist (der Selbstdoppel-ist), das Flugzeug von Fano oder sein Doppel-, der Doppel-vom Zyklus matroid M (K) oder der Doppel-vom Zyklus matroid M (K).

Es ist leicht zu zeigen, dass das matroids wiederpräsentable über ein festes Feld durch eine Liste von verbotenen Minderjährigen charakterisiert werden kann. Ein berühmtes hervorragendes Problem (Die Vermutung des abwechselnden Dienstes) soll beweisen, dass diese Liste für begrenzte Felder begrenzt ist. Das ist nur für die Felder von bis zu vier Elementen gelöst worden (und die genauen Listen sind für jene Felder bekannt, aber man kann genaue Listen für größere Felder nicht erwarten). Das Problem ist bedeutend, weil es matroid Eigenschaften gibt, die von verbotenen Minderjährigen, aber nicht durch eine begrenzte Liste von ihnen — zum Beispiel, das Eigentum charakterisiert werden können, über die reellen Zahlen wiederpräsentabel zu sein. (Das Nichtsein jedes begrenzten Satzes von Axiomen für echt-wiederpräsentablen matroids ist ein berühmter Lehrsatz von Vamos (1978).)

Der Lehrsatz von Robertson-Seymour deutet an, dass jedes matroid Eigentum von grafischem durch eine Liste von verbotenen Minderjährigen charakterisiertem matroids durch eine begrenzte Liste — mit anderen Worten charakterisiert werden kann, wenn eine unendliche Liste L die verbotenen Minderjährigen für grafischen matroids, dann Ab (L) = Ab (L') für eine begrenzte Liste L einschließt'. Die Vermutung des abwechselnden Dienstes stärkend, haben Robertson und Seymour vermutet, dass ein ähnlicher Lehrsatz mehr allgemein für das matroids wiederpräsentable über jedes feste begrenzte Feld hält. Bis jetzt ist das für matroids mit begrenztem branchwidth bewiesen worden.

Dualität von Matroid

Wenn M ein begrenzter matroid ist, können wir matroid DoppelM* definieren, indem wir denselben zu Grunde liegenden Satz nehmen und einen Satz eine Basis in M* nennen, wenn, und nur wenn seine Ergänzung eine Basis in der M ist. Es ist nicht schwierig nachzuprüfen, dass M* ein matroid ist, und dass der Doppel-von M* M ist.

Der Doppel-kann ebenso gut in Bezug auf andere Weisen beschrieben werden, einen matroid zu definieren. Zum Beispiel:

• Ein Satz ist in M* unabhängig, wenn, und nur wenn seine Ergänzung M abmisst.
• Ein Satz ist ein Stromkreis von M*, wenn, und nur wenn seine Ergänzung ein coatom in der M ist.
• Die Reihe-Funktion des Doppel-ist r * (S) = S-r (E) + r (E\S).

Ein Hauptergebnis ist die matroid Version des Lehrsatzes von Kuratowski: Die Doppel-von einer grafischen matroid M ist ein grafischer matroid, wenn, und nur wenn M der matroid eines planaren Graphen ist. In diesem Fall ist die Doppel-von der M der matroid des Doppelgraphen von G.

Ein einfacheres Ergebnis besteht darin, dass der Doppel-von einem Vektoren matroid wiederpräsentabel über ein besonderes Feld F auch über F wiederpräsentabel ist.

Es ist bekannt, dass der Doppel-von einem transversal matroid ein strenger gammoid und umgekehrt ist. Sieh Kasten 15.2 in der Monografie von Recski für die Beziehungen unter gammoids, strengem gammoids, transversal und grundsätzlichem transversal matroids

Gierige Algorithmen

Eine Gewicht-Funktion auf einem begrenzten Satz E ist eine Funktion w: E  R von E bis die nichtnegativen reellen Zahlen. Solch eine Gewicht-Funktion w kann zu Teilmengen S  E durch das Definieren erweitert werden

:w (S) = ∑ w (s).

Nehmen Sie an, dass E ein begrenzter Satz, F eine nichtleere Familie von Teilmengen von solchem E ist, dass jede Teilmenge jedes Elements von F auch F und w gehört: F  R eine Gewicht-Funktion auf F. Ein gieriger Algorithmus für (E, F, w) ist jeder Algorithmus, der versucht, ein maximales Gewicht-Element von F wie folgt zu bauen:

:1. Lassen Sie F =

∅.

:2. Weil ich ≥ 0:

::3. Lassen Sie Z = {z ∈ E-F | F ∪ {z} ∈ F\.

::4. Wenn Z = ∅ begrenzt und Rückkehr F.

::5. Wählen Sie sonst ein Element y ∈ Z solch dass w (y) = max {w (z), z ∈ lassen Sie Z\F = F ∪ {y} und gehen weiter.

Die folgenden zwei Lehrsätze gründen eine Ähnlichkeit zwischen matroids und Sätzen (E, F), wie definiert, oben, für den gierige Algorithmen wirklich maximale Gewicht-Lösungen geben.

:Theorem 1: Wenn E in (E, F, w) der zu Grunde liegende Satz einer matroid M ist und F der Satz von unabhängigen Sätzen in der M ist, dann baut jeder gierige Algorithmus für (E, F, w) ein maximales Gewicht-Element von F.

:Theorem 2: Wenn jeder gierige Algorithmus für das Paar (E, F) ein maximales Gewicht-Element von F für jede Wahl der Gewicht-Funktion w baut: F → R dann ist F der Satz von unabhängigen Sätzen einer matroid M mit dem zu Grunde liegenden Satz E.

Der Begriff von matroid ist verallgemeinert worden, um andere Typen von Sätzen zu berücksichtigen, auf denen gierige Algorithmen optimale Lösungen geben; sieh greedoid für mehr Information.

Unendlicher matroids

Die Theorie von unendlichem matroids ist viel mehr kompliziert als dieser von begrenzten matroids und bildet ein Thema seines eigenen. Seit langem ist eine der Schwierigkeiten gewesen, dass es viele angemessene und nützliche Definitionen gab, von denen keine geschienen ist, alle wichtigen Aspekte der begrenzten matroid Theorie zu gewinnen. Zum Beispiel ist es geschienen, hart zu sein, Basen, Stromkreise und Dualität zusammen in einem Begriff von unendlichem matroids zu haben.

Die einfachste Definition eines unendlichen matroid soll begrenzte Reihe verlangen; d. h. die Reihe von E ist begrenzt. Diese Theorie ist diesem von begrenzten matroids abgesehen vom Misserfolg der Dualität ähnlich auf Grund dessen, dass der Doppel-von einem unendlichen matroid der begrenzten Reihe begrenzte Reihe nicht hat. Begrenzte Reihe matroids schließt irgendwelche Teilmengen von endlich-dimensionalen Vektorräumen und Felderweiterungen des begrenzten Überlegenheitsgrads ein.

Die folgende einfachste unendliche Generalisation ist finitary matroids. Ein matroid ist finitary, wenn es das Eigentum das hat

:

Gleichwertig enthält jeder abhängige Satz einen begrenzten abhängigen Satz.

Beispiele sind geradlinige Abhängigkeit von willkürlichen Teilmengen von unendlich-dimensionalen Vektorräumen (aber ziemlich begrenzte Abhängigkeiten als in Hilbert und Banach spaces), und algebraische Abhängigkeit in willkürlichen Teilmengen von Felderweiterungen vielleicht des unendlichen Überlegenheitsgrads. Wieder ist die Klasse von finitary matroid nicht Selbstdoppel-, weil der Doppel-von einem finitary matroid nicht finitary ist.

Finitary unendlicher matroids werden in der Mustertheorie, einem Zweig der mathematischen Logik mit starken Banden zur Algebra studiert.

Gegen Ende der 1960er Jahre matroid Theoretiker hat um einen allgemeineren Begriff gebeten, der die verschiedenen Aspekte von begrenztem matroids teilt und ihre Dualität verallgemeinert. Viele Begriffe von unendlichem matroids wurden als Antwort auf diese Herausforderung definiert, aber die Frage ist offen geblieben. Eine der von D.A. Higgs untersuchten Annäherungen ist bekannt als B-matroids geworden und wurde von Higgs, Oxley und anderen in den 1960er Jahren und 1970er Jahren studiert. Gemäß einem neuen Ergebnis durch Bruhn, Diestel, Kriesell und Wollan (2010), behebt es das Problem: Denselben Begriff unabhängig erreichend, haben sie vier verschiedene Systeme von Axiomen - in Bezug auf Unabhängigkeit, Basen, Stromkreise und Verschluss zur Verfügung gestellt. Die Dualität von B-Matroids verallgemeinert Dualitäten, die in unendlichen Graphen beobachtet werden können.

Polynom invariants

Es gibt zwei besonders bedeutende Polynome, die zu einer begrenzten matroid M auf dem Boden-Satz-E vereinigt sind. Jeder ist ein matroid invariant, was bedeutet, dass isomorphe matroids dasselbe Polynom haben.

Charakteristisches Polynom

Das charakteristische Polynom der M (der manchmal das chromatische Polynom genannt wird, obwohl es colorings nicht aufzählt), wird definiert, um zu sein

:

oder gleichwertig (als lange weil wird der leere Satz in M geschlossen), als

:

Wenn M der Zyklus matroid M (G) von einem Graphen G ist, ist das charakteristische Polynom eine geringe Transformation des chromatischen Polynoms, das durch χ (λ) = λp (λ) gegeben wird, wo c die Zahl von verbundenen Bestandteilen von G ist.

Wenn M das Band matroid M * (G) von einem Graphen G ist, kommt das charakteristische Polynom dem Fluss-Polynom von G gleich.

Wenn M der matroid einer Einordnung A von geradlinigen Hyperflugzeugen in R ist, wird das charakteristische Polynom der Einordnung durch p (λ) = λp (λ) gegeben.

Polynom von Tutte

Das Tutte Polynom eines matroid, T (x, y), verallgemeinert das charakteristische Polynom zu zwei Variablen. Das gibt ihm mehr kombinatorische Interpretationen, und gibt ihm auch das Dualitätseigentum

:

der mehrere Dualitäten zwischen Eigenschaften der M und Eigenschaften der M * einbezieht. Eine Definition des Polynoms von Tutte ist

:

Das drückt das Polynom von Tutte als eine Einschätzung der Corank-Ungültigkeit oder des Reihe-Erzeugen-Polynoms, aus

:

Eine andere Definition ist in Bezug auf innere und äußerliche Tätigkeiten und eine Summe über Basen. Das, das über weniger Teilmengen resümiert, aber mehr komplizierte Begriffe hat, war die ursprüngliche Definition von Tutte.

Das Tutte Polynom T eines Graphen ist das Polynom von Tutte T von seinem Zyklus matroid.

Software von Matroid

Zwei Systeme für Berechnungen mit matroids sind der Macek von Oid und Hlinenys von Kingan.

"Oid" ist eine offene Quelle, interaktives, ausziehbares Softwaresystem, um mit matroids zu experimentieren.

"Macek" ist ein Spezialsoftwaresystem mit Werkzeugen und Routinen für die vernünftig effiziente kombinatorische Berechnung mit wiederpräsentablem matroids.

Geschichte

Theorie von Matroid wurde dadurch eingeführt. Es wurde auch von Takeo Nakasawa unabhängig entdeckt, dessen Arbeit viele Jahre lang vergessen wurde.

In seiner Samenzeitung hat Whitney zwei Axiome für die Unabhängigkeit zur Verfügung gestellt, und hat jede Struktur definiert, die an diesen Axiomen klebt, "um matroids" zu sein.

(Obwohl es vielleicht einbezogen wurde, hat er kein Axiom eingeschlossen, das mindestens eine Teilmenge verlangt, unabhängig zu sein.)

Seine Schlüsselbeobachtung bestand darin, dass diese Axiome eine Abstraktion "der Unabhängigkeit" zur Verfügung stellen, die für beide Graphen und matrices üblich ist.

Wegen dessen ähneln viele der in der matroid Theorie gebrauchten Begriffe den Begriffen für ihre analogen Konzepte in der geradlinigen Algebra oder Graph-Theorie.

Fast sofort, nachdem Whitney zuerst über matroids geschrieben hat, wurde ein wichtiger Artikel durch auf der Beziehung von matroids zur projektiven Geometrie geschrieben. Ein Jahr später, hat Ähnlichkeiten zwischen der algebraischen und geradlinigen Abhängigkeit in seinem klassischen Lehrbuch auf der Modernen Algebra bemerkt.

In den 1940er Jahren hat Richard Rado weitere Theorie unter dem Namen "Unabhängigkeitssysteme" mit einem Auge zur transversal Theorie entwickelt, wo sein Name für das Thema noch manchmal verwendet wird.

In den 1950er Jahren ist W. T. Tutte die erste Zahl in der matroid Theorie, eine Position geworden, die er viele Jahre lang behalten hat. Seine Beiträge waren einschließlich der Charakterisierung von binärem, regelmäßigem und grafischem matroids durch ausgeschlossene Minderjährige reichlich; der regelmäßige-matroid representability Lehrsatz; die Theorie von Kettengruppen und ihrem matroids; und die Werkzeuge er hat gepflegt, viele seiner Ergebnisse, der "Pfad-Lehrsatz" und "Homotopy Lehrsatz" zu beweisen (sieh z.B,), die so kompliziert sind, dass spätere Theoretiker zu großen Schwierigkeiten gegangen sind, um die Notwendigkeit des Verwendens von ihnen in Beweisen zu beseitigen. (Ein feines Beispiel ist der kurze Beweis von A. M. H. Gerards (1989) der Charakterisierung von Tutte von regelmäßigem matroids.)

und verallgemeinert zum "dichromate" von matroids Tutte, ein grafisches Polynom, das jetzt als das Polynom von Tutte bekannt ist (genannt von Crapo). Ihrer Arbeit ist kürzlich von einer Überschwemmung von Papieren - obwohl nicht so viel gefolgt worden wie auf dem Polynom von Tutte eines Graphen.

1976 hat Dominic Welsh das erste umfassende Buch auf der matroid Theorie veröffentlicht.

Der Zergliederungslehrsatz von Paul Seymour für regelmäßigen matroids (1980) war die bedeutendste und einflussreiche Arbeit des Endes der 1970er Jahre und der 1980er Jahre.

Ein anderer grundsätzlicher Beitrag, dadurch, hat gezeigt, warum projektive Geometrie und Geometrie von Dowling solch eine wichtige Rolle in der matroid Theorie spielen.

Zu diesem Zeitpunkt gab es viele andere wichtige Mitwirkende, aber man sollte nicht versäumen, die Erweiterung von Geoff Whittle auf dreifältigen matroids der Charakterisierung von Tutte von binären matroids zu erwähnen, die über den rationals, vielleicht der größte einzelne Beitrag der 1990er Jahre wiederpräsentabel sind. Im aktuellen Jahrzehnt das Matroid Minderjähriger-Projekt von Geelen, Gerards, Whittle, und haben andere, der versucht, für matroids zu kopieren, die über ein begrenztes Feld der Erfolg des Graph-Minderjähriger-Projektes von Robertson-Seymour wiederpräsentabel sind (sieh Lehrsatz von Robertson-Seymour), wesentliche Fortschritte in der Struktur-Theorie von matroids erzeugt. Viele andere haben auch zu diesem Teil der matroid Theorie beigetragen, die jetzt gedeiht.

Siehe auch

• Algebraische Unabhängigkeit
• Antimatroid
• Unendlicher matroid
• Kreuzung von Matroid
• Orientierter matroid
• Vorgeometrie (Mustertheorie)
• Strukturstarrheit
• Polynom von Tutte
• Beschwerter matroid

Forscher

Mathematiker, die für die Studie von matroids den Weg gebahnt haben, schließen den folgenden ein:

• Saunders Mac Lane
• Richard Rado
• W. T. Tutte
• B. L. van der Waerden
• Hassler Whitney

Andere Hauptmitwirkende schließen ein:

• Henry Crapo
• Jack Edmonds
• Jim Geelen
• Abwechselnder Dienst von Gian-Carlo
• P. D. Seymour
• Geoff schnitzt

Es gibt eine Online-Liste von aktuellen Forschern.

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• . Nachgedruckt in, Seiten 55-79.

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Außenverbindungen

• Kingan, Sandra: Theorie von Matroid. Eine große Bibliografie von matroid Papieren, matroid Software und Verbindungen.
• Locke, S. C.: Gierige Algorithmen.
• Pagano, Steven R.: Matroids und Signed Graphs.
• Mark Hubenthal: Ein Kurzer Blick An Matroids (pdf) (enthalten Beweise für staments dieses Artikels)
• James Oxley: Was ist ein matroid?