Die Theorie von L-Funktionen ist ein sehr wesentlicher, und noch größtenteils mutmaßlich, ein Teil der zeitgenössischen analytischen Zahlentheorie geworden. Darin werden breite Verallgemeinerungen des Riemanns zeta Funktion und die L-Reihe für einen Charakter von Dirichlet gebaut, und ihre allgemeinen Eigenschaften, in den meisten für den Beweis noch unerreichbaren Fällen, werden auf eine systematische Weise dargelegt.

L-Funktionen

Wir sollten am Anfang zwischen der L-Reihe, eine unendliche Reihe-Darstellung (zum Beispiel die Reihe von Dirichlet für die Zeta-Funktion von Riemann), und der L-Funktion, der Funktion im komplizierten Flugzeug unterscheiden, das seine analytische Verlängerung ist. Die allgemeinen Aufbauten Anfang mit einer L-Reihe, definiert zuerst als

eine Reihe von Dirichlet, und dann durch

eine Vergrößerung als ein Produkt von Euler durch Primzahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen.

Schätzungen sind erforderlich zu beweisen, dass das in einem richtigen Halbflugzeug der komplexen Zahlen zusammenläuft. Dann fragt man ob

die so definierte Funktion kann zum Rest des komplizierten Flugzeugs (vielleicht mit einigen Polen) analytisch fortgesetzt werden.

Es ist diese (mutmaßliche) meromorphic Verlängerung zum komplizierten Flugzeug, das eine L-Funktion genannt wird'. In den klassischen Fällen, bereits, weiß man, dass nützliche Information in den Werten und dem Verhalten der L-Funktion an Punkten enthalten wird, wo die Reihe-Darstellung nicht zusammenläuft. Die allgemeine Begriff-L-Funktion hier schließt viele bekannte Typen von Zeta-Funktionen ein. Die Selberg Klasse S ist ein Versuch, die Kerneigenschaften von L-Funktionen in einer Reihe von Axiomen zu gewinnen, so die Studie der Eigenschaften der Klasse aber nicht individueller Funktionen fördernd.

Mutmaßliche Information

Man kann Eigenschaften bekannter Beispiele von L-Funktionen verzeichnen, die man verallgemeinert würde sehen wollen:

• Position von Nullen und Pole;
• funktionelle Gleichung (L-Funktion), in Bezug auf eine vertikale Linie Re (s) = unveränderlich;
• interessante Werte an ganzen Zahlen.

Ausführliche Arbeit hat einen großen Körper von plausiblen Vermutungen zum Beispiel über den genauen Typ der funktionellen Gleichung erzeugt, die gelten sollte. Da die Zeta-Funktion von Riemann durch seine Werte an positiven gleichen ganzen Zahlen (und negativen sonderbaren ganzen Zahlen) zu den Zahlen von Bernoulli in Verbindung steht, schaut man für eine passende Verallgemeinerung dieses Phänomenes. In diesem Fall sind Ergebnisse für p-adic L-Funktionen erhalten worden, die bestimmte Module von Galois beschreiben.

Die Statistiken des Nullvertriebs sind von Interesse wegen ihrer Verbindung zu Problemen wie die Verallgemeinerte Hypothese von Riemann, der Vertrieb von Primzahlen usw. Die Verbindungen mit der zufälligen Matrixtheorie und Quant-Verwirrung sind auch von Interesse. Die fractal Struktur des Vertriebs ist mit der wiedererkletterten Reihe-Analyse studiert worden. Die Selbstähnlichkeit des Nullvertriebs ist ziemlich bemerkenswert, und wird durch eine große fractal Dimension 1.9 charakterisiert. Diese ziemlich große fractal Dimension wird über Nullen gefunden, die mindestens fünfzehn Größenordnungen für den Riemann zeta Funktion, und auch für die Nullen anderer L-Funktionen von verschiedenen Ordnungen und Leitern bedecken.

Das Beispiel der Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung

:See Hauptvermutung des Artikels Birch und Swinnerton-Dyer

Eines der einflussreichen Beispiele, sowohl für die Geschichte der allgemeineren L-Funktionen als auch als ein noch offenes Forschungsproblem, ist die Vermutung, die von Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer im frühen Teil der 1960er Jahre entwickelt ist. Es gilt für eine elliptische Kurve E, und das Problem, das es versucht zu beheben, ist die Vorhersage der Reihe der elliptischen Kurve über die rationalen Zahlen (oder ein anderes globales Feld): d. h. die Zahl von freien Generatoren seiner Gruppe von vernünftigen Punkten. Viel vorherige Arbeit im Gebiet hat begonnen, um bessere Kenntnisse von L-Funktionen vereinigt zu werden. Das war etwas wie ein Paradigma-Beispiel der werdenden Theorie von L-Funktionen.

Anstieg der allgemeinen Theorie

Diese Entwicklung ist dem Programm von Langlands um ein paar Jahre vorangegangen, und kann als ergänzend dazu betrachtet werden: Die Arbeit von Langlands bezieht sich größtenteils auf Artin L-Funktionen, die, wie die L-Funktionen von Hecke, mehrere Jahrzehnte früher, und zu allgemeinen automorphic Darstellungen beigefügten L-Funktionen definiert wurden.

Allmählich ist es klarer geworden, in welchem Sinne der Aufbau von Zeta-Funktionen von Hasse-Weil gemacht werden könnte zu arbeiten, um gültige L-Funktionen im analytischen Sinn zur Verfügung zu stellen: Es sollte einen Eingang von der Analyse geben, die automorphic Analyse bedeutet hat. Der allgemeine Fall vereinigt jetzt an einem Begriffsniveau mehrere verschiedene Forschungsprogramme.

Siehe auch

• Verallgemeinerte Hypothese von Riemann
• Dirichlet L-Funktion
• Modularitätslehrsatz
• Artin vermuten
• Spezielle Werte von L-Funktionen
• Shimizu L-Funktion

Links

• Anblicke einer neuen (mathematischen) Welt - ein Durchbruch-Drittel-Grad transzendentale L-Funktion, haben Physorg.com, am 13. März 2008 offenbart
• Sich an Riemann, Wissenschaftsnachrichten, am 2. April 2008 heranschleichend
• Die Jagd der schwer erfassbaren L-Funktion