In der Mathematik ist ein Bündel ein Werkzeug, um lokal definierte den offenen Sätzen eines topologischen Raums beigefügte Daten systematisch zu verfolgen. Die Daten können auf kleinere offene Sätze eingeschränkt werden, und die einem offenen Satz zugeteilten Daten sind zu allen Sammlungen von vereinbaren Daten gleichwertig, die Sammlungen von kleineren offenen Sätzen zugeteilt sind, die den ursprünglichen bedecken. Zum Beispiel können solche Daten aus den Ringen von dauernden oder glatten reellwertigen auf jedem offenen Satz definierten Funktionen bestehen. Bündel sind durch das Design ziemlich allgemeine und abstrakte Gegenstände, und ihre richtige Definition ist ziemlich technisch. Sie bestehen in mehreren Varianten wie Bündel von Sätzen oder Bündel von Ringen abhängig vom Typ von Daten, die damit beauftragt sind, Sätze zu öffnen.

Es gibt auch Karten (oder morphisms) von einem Bündel bis einen anderen; Bündel (eines spezifischen Typs, wie Bündel von abelian Gruppen) mit ihrem morphisms auf einem festen topologischen Raum bilden eine Kategorie. Andererseits, zu jeder dauernden Karte dort wird sowohl ein direktes Image functor vereinigt, Bündel als auch ihr morphisms auf dem Gebiet zu Bündeln und morphisms auf dem codomain und ein umgekehrtes Image functor nehmend, in der entgegengesetzten Richtung funktionierend. Diese functors und bestimmte Varianten von ihnen, sind wesentliche Teile der Bündel-Theorie.

Wegen ihrer allgemeinen Natur und Vielseitigkeit haben Bündel mehrere Anwendungen in der Topologie und besonders in der algebraischen und unterschiedlichen Geometrie. Erstens können mehrere geometrische Strukturen wie die einer Differentiable-Sammelleitung oder eines Schemas in Bezug auf ein Bündel von Ringen auf dem Raum ausgedrückt werden. In solchen Zusammenhängen werden mehrere geometrische Aufbauten wie Vektor-Bündel oder Teiler in Bezug auf Bündel natürlich angegeben. Zweitens stellen Bündel das Fachwerk für eine sehr allgemeine cohomology Theorie zur Verfügung, die auch die "üblichen" topologischen cohomology Theorien wie einzigartiger cohomology umfasst. Besonders in der algebraischen Geometrie und der Theorie von komplizierten Sammelleitungen stellt Bündel cohomology eine starke Verbindung zwischen topologischen und geometrischen Eigenschaften von Räumen zur Verfügung. Bündel schaffen auch die Grundlage für die Theorie von D-Modulen, die Anwendungen auf die Theorie von Differenzialgleichungen zur Verfügung stellen. Außerdem haben Generalisationen von Bündeln zu allgemeineren Einstellungen als topologische Räume Anwendungen auf die mathematische Logik und Zahlentheorie zur Verfügung gestellt.

Einführung

In der Topologie, Differenzialgeometrie und algebraischen Geometrie, können mehrere Strukturen, die auf einem topologischen Raum (z.B, eine Differentiable-Sammelleitung) definiert sind, natürlich lokalisiert oder eingeschränkt werden, um Teilmengen des Raums zu öffnen: Typische Beispiele schließen dauernde echte oder Komplex-geschätzte Funktionen, n Zeiten differentiable (echt oder Komplex-geschätzt) Funktionen ein, hat reellwertige Funktionen, Vektorfelder und Abteilungen jedes Vektor-Bündels auf dem Raum begrenzt.

Vorbündel formalisieren die Situation, die für die Beispiele oben üblich ist: Ein Vorbündel (Sätze) auf einem topologischen Raum ist eine Struktur, die zu jedem offenen Satz U des Raums ein Satz F (U) Abteilungen auf U, und zu jedem offenen Satz V eingeschlossen in U eine Karte F (U)  F (V) Geben-Beschränkungen von Abteilungen über U zu V verkehrt. Jedes der Beispiele definiert oben ein Vorbündel mit Beschränkungen von Funktionen, Vektorfeldern und Abteilungen eines Vektor-Bündels, das die offensichtliche Bedeutung hat. Außerdem in jedem dieser Beispiele haben die Sätze von Abteilungen zusätzliche algebraische Struktur: Pointwise-Operationen machen sie abelian Gruppen, und in den Beispielen von echten und Komplex-geschätzten Funktionen haben die Sätze von Abteilungen sogar eine Ringstruktur. Außerdem in jedem Beispiel sind die Beschränkungskarten Homomorphismus der entsprechenden algebraischen Struktur. Diese Beobachtung führt zur natürlichen Definition von Vorbündeln mit der zusätzlichen algebraischen Struktur wie Vorbündel von Gruppen abelian Gruppen Ringe: Abteilungssätze sind erforderlich, die angegebene algebraische Struktur zu haben, und die Beschränkungen sind erforderlich, Homomorphismus zu sein. So zum Beispiel bilden dauernde reellwertige Funktionen auf einem topologischen Raum ein Vorbündel von Ringen auf dem Raum.

In Anbetracht eines Vorbündels besteht eine natürliche Frage zu fragen darin, inwieweit seine Abteilungen über einen offenen Satz U durch ihre Beschränkungen zu kleineren offenen Sätzen V eines offenen Deckels von U angegeben werden. Ein Vorbündel wird getrennt, wenn seine Abteilungen "lokal bestimmt werden": Wann auch immer zwei Abteilungen über U, wenn eingeschränkt, auf jeden V zusammenfallen, sind die zwei Abteilungen identisch. Alle Beispiele von Vorbündeln, die oben besprochen sind, werden getrennt, seitdem in jedem Fall werden die Abteilungen durch ihre Werte an den Punkten des zu Grunde liegenden Raums angegeben. Schließlich ist ein getrenntes Vorbündel ein Bündel, wenn vereinbare Abteilungen zusammen geklebt werden können, d. h., wann auch immer es eine Abteilung des Vorbündels über jeden der Bedeckungssätze V, gewählt gibt, so dass sie auf den Übergreifen der Bedeckungssätze zusammenpassen, entsprechen diese Abteilungen einer (einzigartigen) Abteilung auf U, dessen sie Beschränkungen sind. Es ist leicht nachzuprüfen, dass alle Beispiele oben außer dem Vorbündel von begrenzten Funktionen tatsächlich Bündel sind: in allen Fällen ist das Kriterium, eine Abteilung des Vorbündels zu sein, gewissermaßen lokal, dass es genug ist, es in einer willkürlichen Nachbarschaft jedes Punkts nachzuprüfen.

Andererseits ist es klar, dass eine Funktion auf jedem Satz eines (unendlichen) offenen Deckels eines Raums begrenzt werden kann, ohne auf dem ganzen Raum begrenzt zu werden; so stellen begrenzte Funktionen ein Beispiel eines Vorbündels zur Verfügung, das im Allgemeinen scheitert, ein Bündel zu sein. Ein anderes Beispiel eines Vorbündels, das scheitert, ein Bündel zu sein, ist das unveränderliche Vorbündel, das denselben festen Satz (oder abelian Gruppe oder ein Ring...) zu jedem offenen Satz vereinigt: Es folgt aus dem Kleben-Eigentum von Bündeln, dass Abteilungen auf einer zusammenhanglosen Vereinigung von zwei offenen Sätzen das Kartesianische Produkt der Abteilungen über die zwei offenen Sätze sind. Die richtige Weise, das unveränderliche Bündel F (vereinigt zu zum Beispiel einem Satz A) auf einem topologischen Raum zu definieren, soll verlangen, dass Abteilungen auf einem offenen Satz U dauernde Karten von U bis Einen ausgestatteten mit der getrennten Topologie sind; dann in besonderem F (U) = für verbundenen U.

Karten zwischen Vorbündeln und Bündeln (hat morphisms genannt), bestehen aus Karten zwischen den Sätzen von Abteilungen über jeden offenen Satz des zu Grunde liegenden Raums, der mit Beschränkungen von Abteilungen vereinbar ist. Wenn die Vorbündel oder betrachteten Bündel mit der zusätzlichen algebraischen Struktur versorgt werden, wie man annimmt, sind diese Karten Homomorphismus. Bündel, die mit nichttrivialen Endomorphismen, wie die Handlung eines algebraischen Rings oder einer Gruppe von Galois ausgestattet sind, sind von besonderem Interesse.

Vorbündel und Bündel werden normalerweise durch Großbuchstaben, F angezeigt besonders üblich, vermutlich für das französische Wort für Bündel, faisceau zu sein. Der Gebrauch von Schrift-Briefen, der auch üblich ist.

Formelle Definitionen

Der erste Schritt im Definieren eines Bündels soll ein Vorbündel definieren, das die Idee gewinnt, Daten und Beschränkungskarten zu den offenen Sätzen eines topologischen Raums zu vereinigen. Der zweite Schritt ist, die Normalisierung und Kleben-Axiome zu verlangen. Ein Vorbündel, das diese Axiome befriedigt, ist ein Bündel.

Vorbündel

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein, und C eine Kategorie sein zu lassen. Gewöhnlich ist C die Kategorie von Sätzen, die Kategorie von Gruppen, die Kategorie von abelian Gruppen oder die Kategorie von Ersatzringen. Ein Vorbündel F auf X mit Werten in C wird durch die folgenden Daten gegeben:

• Für jeden offenen Satz U X, dort entspricht ein Gegenstand F (U) in C
• Für jede Einschließung von offenen Sätzen V  U, dort entspricht ein morphism res: F (U)  F (V) in der Kategorie C.

Die morphisms res werden Beschränkung morphisms genannt. Die Beschränkung morphisms ist erforderlich, zwei Eigenschaften zu befriedigen.

• Für jeden offenen Satz U X, die Beschränkung morphism res: F (U)  F ist (U) die Identität morphism auf F (U).
• Wenn wir drei offene Sätze W  V  U, dann die Zusammensetzung haben

Informell sagt das zweite Axiom, dass es egal ist, ob wir auf W in einem Schritt einschränken oder zuerst auf V, dann auf W einschränken.

Es gibt eine Kompaktweise, den Begriff eines Vorbündels in Bezug auf die Kategorie-Theorie auszudrücken. Zuerst definieren wir die Kategorie von offenen Sätzen auf X, um die Kategorie O (X) zu sein, dessen Gegenstände die offenen Sätze X sind, und dessen morphisms Einschließungen sind. Dann ist ein C-valued Vorbündel auf X dasselbe als eine Kontravariante functor von O (X) zu C. Diese Definition kann zum Fall verallgemeinert werden, wenn die Quellkategorie nicht der Form O (X) für irgendwelche X ist; sieh Vorbündel (Kategorie-Theorie).

Wenn F ein C-valued Vorbündel auf X ist, und U eine offene Teilmenge X ist, dann wird F (U) die Abteilungen von F über U genannt. Wenn C eine konkrete Kategorie ist, dann wird jedes Element von F (U) eine Abteilung genannt. Eine Abteilung werden mehr als X eine globale Abteilung genannt. Eine allgemeine Notation (verwendet auch unten) für die Beschränkung res (s) einer Abteilung ist s. Diese Fachsprache und Notation sind analog mit Abteilungen von Faser-Bündeln oder Abteilungen des étalé Raums eines Bündels; sieh unten. F wird (U) auch häufig Γ (U, F), besonders in Zusammenhängen wie Bündel cohomology angezeigt, wo U dazu neigt, befestigt zu werden, und F dazu neigt, variabel zu sein.

Bündel

Für die Einfachheit, ziehen Sie zuerst den Fall in Betracht, wo das Bündel Werte in der Kategorie von Sätzen nimmt. Tatsächlich gilt diese Definition mehr allgemein für die Situation, wo die Kategorie eine konkrete Kategorie ist, deren Unterliegen Satz functor konservativ ist, dass bedeutend, wenn die zu Grunde liegende Karte von Sätzen eine Bijektion ist, dann ist der ursprüngliche morphism ein Isomorphismus.

Ein Bündel ist ein Vorbündel mit Werten in der Kategorie von Sätzen, die die folgenden zwei Axiome befriedigt:

1. (Lokale Identität), Wenn (U) eine offene Bedeckung eines offenen Satzes U ist, und wenn s, t  F (U) dass s = t für jeden Satz U von der Bedeckung, dann s = t solch sind; und
2. (Das Kleben), Wenn (U) eine offene Bedeckung eines offenen Satzes U ist, und wenn für jeden ich dort ein Abschnitt s von F über solchen U bin, dass für jedes Paar U, U der Bedeckung die Beschränkungen von s und s setzt, einigt sich über die Übergreifen: s = s dann gibt es einen Abschnitt s  F (U) solch dass s = s für jeden ich.

Der Abschnitt s, dessen Existenz durch das Axiom 2 versichert wird, wird das Kleben, die Verkettung oder die Vergleichung der Abteilungen s genannt. Durch das Axiom 1 ist es einzigartig. Abteilungen s Zufriedenheit der Bedingung des Axioms 2 werden häufig vereinbar genannt; so Axiome 1 und 2 zusammen staatlich, dass vereinbare Abteilungen zusammen einzigartig geklebt werden können. Ein getrenntes Vorbündel oder monopresheaf, ist ein Vorbündel-Zufriedenheitsaxiom 1.

Nehmen Sie an, jetzt wo C eine allgemeine Kategorie ist, aber dass C Produkte hat. Dann können die Bündel-Axiome als die Genauigkeit der Folge ausgedrückt werden

:

wo die erste Karte das Produkt der Beschränkungskarten ist

:

und das Paar von Pfeilen die Produkte der zwei Sätze von Beschränkungen

:und:.

Ein Vorbündel F ist ein Bündel genau, wenn für jede offene Bedeckung eines offenen Satzes U durch eine Familie U offener Teilmengen von U der erste Pfeil im Diagramm oben ein Equalizer ist. Für ein getrenntes Vorbündel muss der erste Pfeil nur injective sein.

Bauen Sie im Allgemeinen eine Kategorie J, dessen Gegenstände die Sätze U und die Kreuzungen sind, und dessen morphisms die Einschließungen in U und U sind. Das Bündel-Axiom ist, dass die Grenze des functor F eingeschränkt auf die Kategorie J zu F (U) isomorph sein muss.

Bemerken Sie, dass die leere Teilmenge eines topologischen Raums von der leeren Familie von Sätzen bedeckt wird. Das Produkt einer leeren Familie oder die Grenze einer leeren Familie sind ein Endgegenstand, und folglich muss der Wert eines Bündels auf dem leeren Satz ein Endgegenstand sein. Wenn Bündel-Werte in der Kategorie von Sätzen sind, zeigt das Anwenden des lokalen Identitätsaxioms zur leeren Familie, dass über den leeren Satz es höchstens eine Abteilung gibt, und Verwendung des Kleben-Axioms zur leeren Familie zeigt, dass es mindestens eine Abteilung gibt. Dieses Eigentum wird Normalisierungsaxiom genannt.

Es kann gezeigt werden, dass, um ein Bündel anzugeben, es genug ist, seine Beschränkung zu den offenen Sätzen einer Basis für die Topologie des zu Grunde liegenden Raums anzugeben. Außerdem kann es auch gezeigt werden, dass es genug ist, die Bündel-Axiome oben hinsichtlich der offenen Sätze einer Bedeckung nachzuprüfen. So kann ein Bündel häufig durch das Geben seiner Werte auf den offenen Sätzen einer Basis und das Überprüfen der Bündel-Axiome hinsichtlich der Basis definiert werden.

Morphisms

Heuristisch sprechend, ist ein morphism von Bündeln einer Funktion zwischen ihnen analog. Jedoch, weil Bündel Daten hinsichtlich jedes offenen Satzes eines topologischen Raums enthalten, wird ein morphism von Bündeln als eine Sammlung von Funktionen, ein für jeden offenen Satz definiert, die eine Vereinbarkeitsbedingung befriedigen.

Lassen Sie F und G zwei Bündel auf X mit Werten in der Kategorie C sein. Ein morphism φ: G  besteht F aus einem morphism φ (U): G (U)  F (U) für jeden offenen Satz U X, unterwerfen Sie der Bedingung, dass dieser morphism mit Beschränkungen vereinbar ist. Mit anderen Worten, für jede offene Teilmenge V eines offenen Satzes U, das folgende Diagramm

ist

auswechselbar.

Rufen Sie zurück, dass wir auch ein Bündel als eine spezielle Art von functor ausdrücken konnten. Auf dieser Sprache ist ein morphism von Bündeln eine natürliche Transformation des entsprechenden functors. Mit diesem Begriff von morphism gibt es eine Kategorie von C-valued Bündeln auf X für jeden C. Die Gegenstände sind die C-valued Bündel, und die morphisms sind morphisms von Bündeln. Ein Isomorphismus von Bündeln ist ein Isomorphismus in dieser Kategorie.

Es kann bewiesen werden, dass ein Isomorphismus von Bündeln ein Isomorphismus auf jedem offenen Satz U ist. Mit anderen Worten ist φ ein Isomorphismus, wenn, und nur wenn für jeden U φ (U) ein Isomorphismus ist. Dasselbe trifft auf monomorphisms, aber nicht epimorphisms zu. Sieh Bündel cohomology.

Bemerken Sie, dass wir das Kleben-Axiom im Definieren eines morphism von Bündeln nicht verwendet haben. Folglich hat die obengenannte Definition Sinn für Vorbündel ebenso. Die Kategorie von C-valued Vorbündeln ist dann eine functor Kategorie, die Kategorie der Kontravariante functors von O (X) zu C.

Beispiele

Weil Bündel genau die Daten verschlüsseln, musste zwischen lokalen und globalen Situationen gehen, es gibt viele Beispiele von Bündeln, die überall in der Mathematik vorkommen. Hier sind einige zusätzliche Beispiele von Bündeln:

• Jede dauernde Karte von topologischen Räumen bestimmt ein Bündel von Sätzen. Lässt f: Y  X, eine dauernde Karte sein. Wir definieren ein Bündel Γ (Y/X) auf X, indem wir Γ (Y/X) (U) gleich den Abteilungen U  Y untergehen, d. h. Γ (Y/X) ist (U) der Satz aller Funktionen s: U  Y solch dass fs = id. Beschränkung wird durch die Beschränkung von Funktionen gegeben. Dieses Bündel wird das Bündel von Abteilungen von f genannt, und es ist besonders wichtig, wenn f der Vorsprung eines Faser-Bündels auf seinen Grundraum ist. Bemerken Sie dass, wenn das Image von f U nicht enthält, dann ist Γ (Y/X) (U) leer. Für ein konkretes Beispiel, nehmen Sie X = C \{0}, Y = C, und f (z) = exp (z). Γ (Y/X) (U) ist der Satz von Zweigen des Logarithmus auf U.
• Befestigen Sie einen Punkt x in X und ein Gegenstand S in einer Kategorie C. Das Wolkenkratzer-Bündel über x mit dem Stiel S ist das Bündel S definiert wie folgt: Wenn U ein offener Satz ist, der x, dann S (U) = S enthält. Wenn U x nicht enthält, dann ist S (U) der Endgegenstand von C. Die Beschränkungskarten sind entweder die Identität auf S, wenn beide offenen Sätze x oder die einzigartige Karte von S bis den Endgegenstand von C enthalten.

Bündel auf Sammelleitungen

In den folgenden Beispielen ist M eine n-dimensional C-Sammelleitung. Der Tisch verzeichnet die Werte bestimmter Bündel über offene Teilmengen U der M und ihrer Beschränkungskarten.

Vorbündel, die nicht Bündel sind

Hier sind zwei Beispiele von Vorbündeln, die nicht Bündel sind:

• Lassen Sie X der topologische Zwei-Punkte-Raum {x, y} mit der getrennten Topologie sein. Definieren Sie ein Vorbündel F wie folgt: F () = {}, F ({x}) = R, F ({y}) = R, F ({x, y}) = R × R × R. Die Beschränkungskarte F ({x, y})  F ({x}) ist der Vorsprung von R × R × R auf seine erste Koordinate und die Beschränkungskarte F ({x y})  F ist ({y}) der Vorsprung von R × R × R auf seine zweite Koordinate. F ist ein Vorbündel, das nicht getrennt wird: Eine globale Abteilung wird durch drei Zahlen bestimmt, aber die Werte dieser Abteilung über {x} und {y} bestimmen nur zwei jener Zahlen. So, während wir irgendwelche zwei Abteilungen über {x} und {y} kleben können, können wir nicht sie einzigartig kleben.
• Lassen Sie X die echte Linie sein, und F (U) der Satz von begrenzten dauernden Funktionen auf U sein zu lassen. Das ist nicht ein Bündel, weil es nicht immer möglich ist zu kleben. Lassen Sie zum Beispiel U der Satz des ganzen solchen x dass x sein. Folglich bekommen wir einen Abschnitt s auf U. Jedoch kleben diese Abteilungen nicht, weil die Funktion f auf der echten Linie nicht begrenzt wird. Folglich ist F ein Vorbündel, aber nicht ein Bündel. Tatsächlich wird F getrennt, weil es ein Subvorbündel des Bündels von dauernden Funktionen ist.

Ein Vorbündel in ein Bündel verwandelnd

Es ist oft nützlich, die Daten zu nehmen, die in einem Vorbündel enthalten sind und es als ein Bündel auszudrücken. Es stellt sich heraus, dass es eine bestmögliche Weise gibt, das zu tun. Es nimmt ein Vorbündel F und erzeugt eine neue Bündel-Niederfrequenz genannt den sheaving, sheafification oder Bündel, das zum Vorbündel F. vereinigt ist, zu sein, hat den sheaving functor, sheafification functor genannt, oder hat Bündel functor vereinigt. Es gibt einen natürlichen morphism von Vorbündeln i: F  Niederfrequenz, die das universale Eigentum dass für jedes Bündel G und jeden morphism von Vorbündeln f hat: F  G gibt es einen einzigartigen morphism von solchen Bündeln dass. Tatsächlich des adjoint functor zur Einschließung functor von der Kategorie von Bündeln zur Kategorie von Vorbündeln zu sein, und bin ich die Einheit des adjunction.

Images von Bündeln

Die Definition eines morphism auf Bündeln hat Sinn nur für Bündel auf demselben Raum X. Das ist, weil die in einem Bündel enthaltenen Daten durch die offenen Sätze des Raums mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden. Wenn wir zwei Bündel auf verschiedenen Räumen haben, dann werden ihre Daten verschieden mit einem Inhaltsverzeichnis versehen. Es gibt keine Weise, direkt von einem Satz von Daten zum anderen zu gehen.

Jedoch ist es möglich, ein Bündel von einem Raum bis ein anderes Verwenden einer dauernden Funktion zu bewegen. Lässt f: X  Y, eine dauernde Funktion von einem topologischen Raum X zu einem topologischen Raum Y sein. Wenn wir ein Bündel auf X haben, können wir es zu Y, und umgekehrt bewegen. Es gibt vier Wege, in denen Bündel bewegt werden können.

• Ein Bündel auf X kann zu Y das Verwenden des direkten Images functor oder des direkten Images mit der richtigen Unterstützung functor bewegt werden.
• Ein Bündel auf Y kann zum X Verwenden des umgekehrten Images functor oder des gedrehten umgekehrten Images functor bewegt werden.

Das gedrehte umgekehrte Image functor wird im Allgemeinen nur als ein functor zwischen abgeleiteten Kategorien definiert. Diese functors kommen in adjoint Paaren: Und werden verlassen und Recht adjoints einander, und und werden verlassen und Recht adjoints einander. Die functors werden mit einander durch die Dualität von Grothendieck und Dualität von Verdier verflochten.

Es gibt ein verschiedenes umgekehrtes Image functor für Bündel von Modulen über Bündel von Ringen. Dieser functor wird gewöhnlich angezeigt, und es ist davon verschieden. Sieh umgekehrtes Image functor.

Stiele eines Bündels

Der Stiel eines Bündels gewinnt die Eigenschaften eines Bündels "um" einen Punkt x  X.

Hier, "um" Mittel, dass, begrifflich das Sprechen, man auf die kleinere und kleinere Nachbarschaft des Punkts schaut. Natürlich wird keine einzelne Nachbarschaft klein genug sein, so werden wir eine Grenze von einer Sorte nehmen müssen.

Der Stiel wird durch definiert

:

die direkte Grenze, die über alle offenen Teilmengen X ist, den gegebenen Punkt x enthaltend. Mit anderen Worten wird ein Element des Stiels durch eine Abteilung über eine offene Nachbarschaft von x gegeben, und zwei solche Abteilungen werden gleichwertig betrachtet, wenn sich ihre Beschränkungen über eine kleinere Nachbarschaft einigen.

Der natürliche morphism F (U)  F nimmt einen Abschnitt s in F (U) zu seinem Keim. Das verallgemeinert die übliche Definition eines Keims.

Eine verschiedene Weise, den Stiel zu definieren, ist

:

wo ich die Einschließung des Ein-Punkt-Raums {x} in X bin. Die Gleichwertigkeit folgt aus der Definition des umgekehrten Images.

In vielen Situationen ist das Wissen der Stiele eines Bündels genug, um das Bündel selbst zu kontrollieren. Zum Beispiel, ungeachtet dessen ob ein morphism von Bündeln ein monomorphism, epimorphism ist, oder Isomorphismus auf den Stielen geprüft werden kann. Sie finden auch Gebrauch in Aufbauten wie Entschlossenheiten von Godement.

Beringte Räume und lokal gerungene Räume

Ein Paar, das aus einem topologischen Raum X und einem Bündel von Ringen auf X besteht, wird einen beringten Raum genannt. Viele Typen von Räumen können als bestimmte Typen von beringten Räumen definiert werden. Das Bündel wird das Struktur-Bündel des Raums genannt. Eine sehr allgemeine Situation besteht darin, wenn alle Stiele des Struktur-Bündels lokale Ringe sind, in welchem Fall das Paar einen lokal beringten Raum genannt wird. Hier sind Beispiele von Definitionen gemacht auf diese Weise:

• Ein n-dimensional C vervielfältigt M ist ein lokal beringter Raum, dessen Struktur-Bündel - Algebra ist und zum Bündel von C reellwertigen Funktionen auf R lokal isomorph ist.
• Ein komplizierter analytischer Raum ist ein lokal beringter Raum, dessen Struktur-Bündel - Algebra ist und zum verschwindenden geometrischen Ort eines begrenzten Satzes von Holomorphic-Funktionen zusammen mit der Beschränkung (zum verschwindenden geometrischen Ort) vom Bündel von Holomorphic-Funktionen auf C für einen n lokal isomorph ist.
• Ein Schema ist ein lokal beringter Raum, der zum Spektrum eines Rings lokal isomorph ist.
• Ein halbalgebraischer Raum ist ein lokal beringter Raum, der zu einem halbalgebraischen Satz im Euklidischen Raum zusammen mit seinem Bündel von halbalgebraischen Funktionen lokal isomorph ist.

Bündel von Modulen

Lassen Sie, ein beringter Raum zu sein. Ein Bündel von Modulen ist ein solches Bündel, dass auf jedem offenen Satz U X, - Modul und für jede Einschließung von offenen Sätzen V  U ist, ist die Beschränkungskarte ein Homomorphismus - Module.

Die meisten wichtigen geometrischen Gegenstände sind Bündel von Modulen. Zum Beispiel gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Vektor-Bündeln und lokal freien Bündeln - Module. Bündel von Lösungen von Differenzialgleichungen sind D-Module, d. h. Module über das Bündel von Differenzialoperatoren.

Ein besonders wichtiger Fall ist abelian Bündel, die Module über das unveränderliche Bündel sind. Jedes Bündel von Modulen ist ein abelian Bündel.

Endlichkeitsbedingungen für Bündel von Modulen

Die Bedingung, dass ein Modul begrenzt erzeugt oder begrenzt präsentiert wird, kann auch für ein Bündel von Modulen formuliert werden. wird begrenzt erzeugt, wenn, für jeden Punkt x X, dort eine offene Nachbarschaft U x, eine natürliche Zahl n (vielleicht je nachdem U), und ein surjective morphism Bündel besteht. Ähnlich wird begrenzt präsentiert, wenn außerdem dort eine natürliche Zahl M (wieder vielleicht je nachdem U) und ein morphism von solchen Bündeln besteht, dass die Folge von morphisms genau ist. Gleichwertig ist der Kern des morphism selbst ein begrenzt erzeugtes Bündel.

Das sind jedoch nicht die einzigen möglichen Endlichkeitsbedingungen auf einem Bündel. Die wichtigste Endlichkeitsbedingung für ein Bündel ist Kohärenz. ist zusammenhängend, wenn es des begrenzten Typs ist, und wenn, für jeden offenen Satz U und jeden morphism von Bündeln (nicht notwendigerweise surjective), der Kern von φ des begrenzten Typs ist. ist zusammenhängend, wenn es als ein Modul über sich zusammenhängend ist. Bemerken Sie, dass Kohärenz eine ausschließlich stärkere Bedingung ist als begrenzte Präsentation: Wird immer als ein Modul über sich begrenzt präsentiert, aber es ist nicht immer zusammenhängend. Lassen Sie zum Beispiel X ein Punkt sein, lassen, der Ring R = C [x, x...] komplizierter Polynome in zählbar vielen indeterminates zu sein. Wählen Sie n = 1, und für den morphism φ, nehmen Sie die Karte, die jede Variable an die Null sendet. Der Kern dieser Karte wird nicht begrenzt erzeugt, ist nicht zusammenhängend auch.

Der étalé Raum eines Bündels

In den Beispielen darüber wurde bemerkt, dass einige Bündel natürlich als Bündel von Abteilungen vorkommen. Tatsächlich können alle Bündel von Sätzen vertreten werden, wie Bündel von Abteilungen eines topologischen Raums den étalé Raum, vom französischen Wort étalé genannt haben, grob "ausgedehnt" bedeutend. Wenn F ein Bündel mehr als X ist, dann ist der étalé Raum von F ein topologischer Raum E zusammen mit einem lokalen homeomorphism π: E  X solch, dass das Bündel von Abteilungen von π F ist. E ist gewöhnlich ein sehr fremder Raum, und selbst wenn das Bündel F aus einer natürlichen topologischen Situation entsteht, kann E keine klare topologische Interpretation haben. Zum Beispiel, wenn F das Bündel von Abteilungen einer dauernden Funktion f ist: Y  X, dann E = Y wenn, und nur wenn f ein lokaler homeomorphism ist.

Der étalé Raum E wird von den Stielen von F mehr als X gebaut. Als ein Satz ist es ihre zusammenhanglose Vereinigung, und π ist die offensichtliche Karte, die den Wert x auf dem Stiel von F über x  X nimmt. Die Topologie von E wird wie folgt definiert. Für jedes Element s F (U) und jeder x in U bekommen wir einen Keim von s an x. Diese Keime bestimmen Punkte von E. Für jeden U und s  F (U), wie man erklärt, ist die Vereinigung dieser Punkte (für den ganzen x  U) in E offen. Bemerken Sie, dass jeder Stiel die getrennte Topologie als Subraumtopologie hat. Zwei morphisms zwischen Bündeln bestimmen eine dauernde Karte der entsprechenden étalé Räume, die mit den Vorsprung-Karten vereinbar ist (im Sinn, dass jeder Keim zu einem Keim über denselben Punkt kartografisch dargestellt wird). Das macht den Aufbau in einen functor.

Der Aufbau bestimmt oben eine Gleichwertigkeit von Kategorien zwischen der Kategorie von Bündeln von Sätzen auf X und der Kategorie von étalé Räumen mehr als X. Der Aufbau eines étalé Raums kann auch auf ein Vorbündel angewandt werden, in welchem Fall das Bündel von Abteilungen des étalé Raums das zum gegebenen Vorbündel vereinigte Bündel wieder erlangt.

Dieser Aufbau macht alle Bündel in wiederpräsentablen functors auf bestimmten Kategorien von topologischen Räumen. Lassen Sie als oben F ein Bündel auf X sein, E sein étalé Raum sein, und π lassen lassen: E  X, der natürliche Vorsprung sein. Betrachten Sie die Kategorie als Top/X von topologischen Räumen mehr als X, d. h. der Kategorie von topologischen Räumen zusammen mit festen dauernden Karten zu X. Jeder Gegenstand dieses Raums ist eine dauernde Karte f: Y  X, und ein morphism von Y  X zu Z  X ist eine dauernde Karte Y  Z, der mit den zwei Karten zu X pendelt. Es gibt einen functor Γ von Top/X bis die Kategorie von Sätzen, die einen Gegenstand f nimmt: Y  X zu (fF) (Y). Zum Beispiel, wenn ich: U  X ist die Einschließung einer offenen Teilmenge, dann Γ (i) = (wenn) (U) mit dem üblichen F (U), und wenn ich übereinstimmt: {x}  X ist die Einschließung eines Punkts, dann Γ ({x}) = (wenn) ({x}) der Stiel von F an x ist. Es gibt einen natürlichen Isomorphismus

:

der zeigt, dass E den functor Γ vertritt.

E wird gebaut, so dass die Vorsprung-Karte π eine Bedeckungskarte ist. In der algebraischen Geometrie wird das natürliche Analogon einer Bedeckungskarte einen étale morphism genannt. Trotz seiner Ähnlichkeit zu "étalé" hat das Wort étale eine verschiedene Bedeutung sowohl in Französisch als auch in der Mathematik. Insbesondere es ist möglich, E in ein Schema und π in einen morphism von Schemas auf solche Art und Weise zu verwandeln, dass π dasselbe universale Eigentum behält, aber π ist nicht im Allgemeinen ein étale morphism, weil es nicht quasibegrenzt ist. Es, ist jedoch, formell étale.

Die Definition von Bündeln durch étalé Räume ist älter als die Definition gegeben früher im Artikel. Es ist noch in einigen Gebieten der Mathematik wie mathematische Analyse üblich.

Bündel cohomology

Es wurde bemerkt, über dem der functor Isomorphismus und monomorphisms, aber nicht epimorphisms bewahrt. Wenn F ein Bündel von abelian Gruppen, oder mehr allgemein ein Bündel mit Werten in einer abelian Kategorie ist, dann wirklich ein linker genauer functor ist. Das bedeutet, dass es möglich ist, abgeleiteten functors dessen zu bauen. Diese haben abgestammt functors werden die cohomology Gruppen (oder Module) F genannt und werden geschrieben. Grothendieck hat in seiner Zeitung von Tohoku bewiesen, dass jede Kategorie von Bündeln von abelian Gruppen genug Injective-Gegenstände enthält, so haben diese abgestammt, bestehen functors immer.

Jedoch ist Rechenbündel cohomology, injective Entschlossenheiten verwendend, fast unmöglich. In der Praxis ist es viel üblicher, eine verschiedene und lenksamere Entschlossenheit von F zu finden. Ein allgemeiner Aufbau wird durch Entschlossenheiten von Godement zur Verfügung gestellt, und besondere Entschlossenheiten können mit weichen Bündeln, feinen Bündeln, und schlaffen Bündeln (auch bekannt als flasque Bündeln vom französischen flasque Bedeutung schlaff) gebaut werden. Demzufolge kann es möglich werden, Bündel cohomology mit anderen cohomology Theorien zu vergleichen. Zum Beispiel ist der Komplex von de Rham eine Entschlossenheit des unveränderlichen Bündels auf jeder glatten Sammelleitung, so ist das Bündel cohomology dessen seinem de Rham cohomology gleich. Tatsächlich stellt das Vergleichen des Bündels cohomology de Rham cohomology und einzigartigem cohomology einen Beweis des Lehrsatzes von de Rham zur Verfügung, dass die zwei cohomology Theorien isomorph sind.

Eine verschiedene Annäherung ist durch Čech cohomology. Čech cohomology war die erste cohomology für Bündel entwickelte Theorie, und es ist zu konkreten Berechnungen gut passend. Es verbindet Abteilungen auf offenen Teilmengen des Raums zu cohomology Klassen auf dem Raum. In den meisten Fällen Čech schätzt cohomology dieselben cohomology Gruppen wie der abgeleitete functor cohomology. Jedoch, für einige pathologische Räume, Čech wird cohomology das richtige, aber falsche höher cohomology Gruppen geben. Um darum herumzukommen, hat Jean-Louis Verdier Hyperbedeckungen entwickelt. Hyperbedeckungen geben nicht nur das richtige höher cohomology Gruppen sondern auch erlauben den offenen Teilmengen, die oben erwähnt sind, durch bestimmten morphisms von einem anderen Raum ersetzt zu werden. Diese Flexibilität ist in einigen Anwendungen wie der Aufbau der Mischstrukturen von Hodge von Pierre Deligne notwendig.

Eine viel sauberere Annäherung an die Berechnung von einigen cohomology Gruppen ist der Lehrsatz von Borel-Bott-Weil, der die cohomology Gruppen von einigen Linienbündeln auf Fahne-Sammelleitungen mit nicht zu vereinfachenden Darstellungen von Lüge-Gruppen identifiziert. Dieser Lehrsatz kann zum Beispiel verwendet werden, um die cohomology Gruppen aller Linienbündel auf dem projektiven Raum leicht zu schätzen.

In vielen Fällen gibt es eine Dualitätstheorie für Bündel, die Dualität von Poincaré verallgemeinert. Sieh Grothendieck Dualität und Dualität von Verdier.

Seiten und topoi

Die Vermutungen von Weil von André Weil haben festgestellt, dass es eine cohomology Theorie für algebraische Varianten über begrenzte Felder gab, die eine Entsprechung der Hypothese von Riemann geben würden. Die einzige natürliche Topologie auf solch einer Vielfalt ist jedoch die Topologie von Zariski, aber Bündel cohomology in der Topologie von Zariski wird schlecht benommen, weil es sehr wenige offene Sätze gibt. Alexandre Grothendieck hat dieses Problem behoben, indem er Topologien von Grothendieck, der axiomatize der Begriff der Bedeckung eingeführt hat. Die Scharfsinnigkeit von Grothendieck war, dass die Definition eines Bündels nur von den offenen Sätzen eines topologischen Raums abhängt, nicht auf den individuellen Punkten. Sobald er axiomatized der Begriff der Bedeckung hatte, konnten offene Sätze durch andere Gegenstände ersetzt werden. Ein Vorbündel bringt jeden dieser Gegenstände zu Daten gerade als vorher, und ein Bündel ist ein Vorbündel, das das Kleben-Axiom in Bezug auf unseren neuen Begriff der Bedeckung befriedigt. Das hat Grothendieck erlaubt, étale cohomology und l-adic cohomology zu definieren, die schließlich verwendet wurden, um die Vermutungen von Weil zu beweisen.

Eine Kategorie mit einer Topologie von Grothendieck wird eine Seite genannt. Eine Kategorie von Bündeln auf einer Seite wird einen topos oder Grothendieck topos genannt. Der Begriff eines topos wurde später von William Lawvere und Miles Tierney abstrahiert, um einen elementaren topos zu definieren, der Verbindungen zur mathematischen Logik hat.

Geschichte

Die ersten Ursprünge der Bündel-Theorie sind hart, unten zu befestigen - sie können mit der Idee von der analytischen Verlängerung koextensiv sein. Man hat ungefähr 15 Jahre für eine erkennbare, freistehende Theorie von Bündeln gebraucht, aus der Foundational-Arbeit an cohomology zu erscheinen.

• 1936 Eduard Čech führt den Nervenaufbau ein, für einen simplicial Komplex zu einer offenen Bedeckung zu vereinigen.
• 1938, den Hassler Whitney einer 'modernen' Definition von cohomology gibt, die Arbeit seit J. W. Alexander und Kolmogorov zuerst zusammenfassend, hat cochains definiert.
• 1943 Norman Steenrod veröffentlicht auf der Homologie mit lokalen Koeffizienten.
• 1945 Jean Leray veröffentlicht Arbeit ausgeführt als ein Kriegsgefangener, der durch den Beweis von befestigten Punkt-Lehrsätzen für die Anwendung auf die PDE Theorie motiviert ist; es ist der Anfang der Bündel-Theorie und geisterhaften Folgen.

Henri

• 1947-Cartan tadelt den Lehrsatz von de Rham durch Bündel-Methoden in der Ähnlichkeit mit André Weil (sieh Lehrsatz von De Rham-Weil). Leray gibt eine Bündel-Definition in seinen Kursen über geschlossene Sätze (die späteren Rückenschilde).
• 1948 Das Cartan Seminar schreibt Bündel-Theorie zum ersten Mal.
• 1950 Die "zweite Ausgabe" Bündel-Theorie vom Seminar von Cartan: Der Bündel-Raum (espace étalé) Definition wird mit der stalkwise Struktur verwendet. Unterstützungen, werden und cohomology mit Unterstützungen eingeführt. Dauernde mappings verursachen geisterhafte Folgen. Zur gleichen Zeit führt Kiyoshi Oka eine Idee (daneben) eines Bündels von Idealen in mehreren komplizierten Variablen ein.
• 1951 Das Cartan Seminar beweist die Lehrsätze A und auf der Arbeit von Oka gestützter B.
• 1953 Der Endlichkeitslehrsatz für zusammenhängende Bündel in der analytischen Theorie wird von Cartan und Jean-Pierre Serre bewiesen, wie Dualität von Serre ist.
• 1954 das Papier von Serre Faisceaux algébriques cohérents (veröffentlicht 1955) führt Bündel in die algebraische Geometrie ein. Diese Ideen werden von Hirzebruch sofort ausgenutzt, der ein Haupt-1956-Buch auf topologischen Methoden schreibt.
• 1955 Alexander Grothendieck in Vorträgen in Kansas definiert abelian Kategorie und Vorbündel, und indem er injective Entschlossenheiten verwendet, erlaubt direkten Gebrauch des Bündels cohomology auf allen topologischen Räumen, wie abgeleitet, functors.
• 1956 der Bericht von Oskar Zariski Algebraische Bündel-Theorie
• 1957 das Tohoku Papier von Grothendieck schreibt homological Algebra um; er beweist Dualität von Grothendieck (d. h., Dualität von Serre für vielleicht einzigartige algebraische Varianten).
• 1957 vorwärts: Grothendieck erweitert Bündel-Theorie in Übereinstimmung mit den Bedürfnissen nach der algebraischen Geometrie, einführend: Schemas und allgemeine Bündel auf ihnen, lokalem cohomology, haben Kategorien (mit Verdier), und Topologien von Grothendieck abgeleitet. Dort erscheint auch seine einflussreiche schematische Idee von 'sechs Operationen' in der homological Algebra.
• 1958 das Buch von Godement auf der Bündel-Theorie wird veröffentlicht. Um diese Zeit schlägt Mikio Sato seine Hyperfunktionen vor, die sich erweisen werden, mit dem Bündel theoretische Natur zu haben.

An diesem Punkt waren Bündel ein Hauptströmungsteil der Mathematik mit dem auf die algebraische Topologie keineswegs eingeschränkten Gebrauch geworden. Es wurde später entdeckt, dass die Logik in Kategorien von Bündeln intuitionistic Logik ist (diese Beobachtung wird jetzt häufig Kripke-Joyal Semantik genannt, aber sollte wahrscheinlich mehreren Autoren zugeschrieben werden). Das zeigt, dass einige der Seiten der Bündel-Theorie auch zurück so weit Leibniz verfolgt werden können.

Siehe auch

• Zusammenhängendes Bündel
• Gerbe
• Bündel von Holomorphic
• Stapel (Abfalltheorie)

Zeichen

• (orientiert zu herkömmlichen topologischen Anwendungen)

• (aktualisierte Ausgabe eines Klassikers, der genug Bündel-Theorie verwendet, seine Macht zu zeigen)

,

• (fortgeschrittene Techniken wie die abgeleitete Kategorie und verschwindenden Zyklen auf den angemessensten Räumen)

• (Kategorie-Theorie und toposes betont)

• (kurze Vortrag-Zeichen)

• (pädagogische Behandlung)

Außenverbindungen