In der mathematischen Analyse haben sich viele Generalisationen der Reihe von Fourier erwiesen, nützlich zu sein.

Sie sind alle speziellen Fälle von Zergliederungen über eine orthonormale Basis eines Skalarprodukt-Raums.

Hier betrachten wir diese von Quadrat-Integrable-Funktionen als definiert auf einem Zwischenraum der echten Linie, die, unter anderen für die Interpolationstheorie wichtig ist.

Definition

Denken Sie eine Reihe von Quadrat-Integrable-Funktionen mit Werten in,

:

die orthogonal für das Skalarprodukt pairwise sind

:

wo w (x) eine Gewicht-Funktion ist, und komplizierte Konjugation, d. h. dafür vertritt.

Die verallgemeinerten Reihen von Fourier eines Quadrat-Integrable fungieren f: [a, b] ,

in Bezug auf Φ, ist dann

:

wo die Koeffizienten durch gegeben werden

:

Wenn Φ ein ganzer Satz, d. h., eine orthonormale Basis des Raums aller Quadrat-Integrable-Funktionen auf [a, b], im Vergleich mit einem kleineren orthonormalen Satz, ist

die Beziehung wird Gleichheit im L ² Sinn, genauer modulo | · | (nicht notwendigerweise pointwise, noch fast überall).

Beispiel (Reihe von Fourier-Legendre)

Die Legendre Polynome sind Lösungen des Sturm-Liouville Problems

:

und wegen der Theorie sind diese Polynome eigenfunctions des Problems und sind Lösungen, die in Bezug auf das Skalarprodukt oben mit dem Einheitsgewicht orthogonal sind. So können wir eine verallgemeinerte Reihe von Fourier (bekannt als eine Reihe von Fourier-Legendre) das Beteiligen der Polynome von Legendre und des bilden

::

Als ein Beispiel, lassen Sie uns die Reihe von Fourier-Legendre für &fnof berechnen; (x) = weil x über [−1, 1]. Jetzt,

:

\begin {richten }\aus

c_0 & = \sin {1} = {\\int_ {-1} ^1 \cos {x }\\, dx \over \int_ {-1} ^1 (1) ^2 \, dx} \\

c_1 & = 0 = {\\int_ {-1} ^1 x \cos {x }\\, dx \over \int_ {-1} ^1 x^2 \, dx} = {0 \over 2/3} \\

c_2 & = {5 \over 2} (6 \cos {1} - 4\sin {1}) = {\\int_ {-1} ^1 {3x^2 - 1 \over 2} \cos {x} \, dx \over \int_ {-1} ^1 {9x^4-6x^2+1 \over 4} \, dx} = {6 \cos {1} - 4\sin {1} \over 2/5 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

und eine Reihe, die diese Begriffe einschließt

::

der sich von weil x durch etwa 0.003, ungefähr 0 unterscheidet. Es kann vorteilhaft sein, solche Reihe von Fourier-Legendre zu verwenden, da die eigenfunctions alle Polynome und folglich die Integrale sind und so die Koeffizienten leichter sind zu rechnen.

Mitwirkende Lehrsätze

Einige Lehrsätze auf den Koeffizienten c schließen ein:

Die Ungleichheit von Bessel

:

Der Lehrsatz von Parseval

Wenn Φ ein ganzer Satz, ist

:

Siehe auch

• Orthogonality
• Orthogonale Funktion
• Eigenfunctions
• Vektorraum
• Funktionsraum
• Topologischer Vektorraum
• Raum von Hilbert
• Banachraum