In der Mathematik wird eine reellwertige auf einem Zwischenraum definierte Funktion konvex genannt (oder konvex nach unten oder konkav nach oben gerichtet), wenn der Graph der Funktion unter dem Liniensegment liegt, das sich irgendwelchen zwei Punkten des Graphen anschließt. Gleichwertig ist eine Funktion konvex, wenn seine Aufschrift (der Satz von Punkten auf oder über dem Graphen der Funktion) ein konvexer Satz ist. Mehr allgemein hat diese Definition von konvexen Funktionen Sinn für auf einer konvexen Teilmenge jedes Vektorraums definierte Funktionen.

Konvexe Funktionen spielen eine wichtige Rolle in vielen Gebieten der Mathematik. Sie sind in der Studie von Optimierungsproblemen besonders wichtig, wo sie durch mehrere günstige Eigenschaften bemerkenswert sind. Zum Beispiel hat eine (ausschließlich) konvexe Funktion auf einem offenen Satz nicht mehr als ein Minimum. Sogar in unendlich-dimensionalen Räumen, laut passender zusätzlicher Hypothesen, setzen konvexe Funktionen fort, solche Eigenschaften und infolgedessen zu befriedigen, sie sind der am meisten gut verstandene functionals in der Rechnung von Schwankungen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine konvexe auf den erwarteten Wert einer zufälligen Variable angewandte Funktion immer weniger oder gleich dem erwarteten Wert der konvexen Funktion der zufälligen Variable. Dieses Ergebnis, bekannt als die Ungleichheit von Jensen unterliegt vieler wichtiger Ungleichheit (einschließlich, zum Beispiel, der Ungleichheit des arithmetischen geometrischen Mittels und der Ungleichheit von Hölder).

Definition

Eine echte geschätzte Funktion, die auf einem konvexen Satz X in einem Vektorraum definiert ist, wird konvex wenn, für irgendwelche zwei Punkte und in X und irgendwelcher, genannt

:

Die Funktion wird ausschließlich konvex wenn genannt

:

für jeden,

Wie man

sagt, ist eine Funktion f (ausschließlich) konkav, wenn −f (ausschließlich) konvex ist.

Eigenschaften

Nehmen Sie an, dass f eine Funktion einer echter Variable ist, die auf einem Zwischenraum definiert ist, und lassen Sie

:

(bemerken Sie, dass das der Hang der purpurroten Linie in der obengenannten Zeichnung ist; bemerken Sie auch, dass die Funktion R in symmetrisch ist). f ist konvex, wenn, und nur wenn monotonically ist, der in, für den festen (oder umgekehrt) nichtabnimmt. Diese Charakterisierung der Konvexität ist ziemlich nützlich, um die folgenden Ergebnisse zu beweisen.

Eine konvexe Funktion f definiert auf einem offenen Zwischenraum C ist auf C und auf jedem geschlossenen Subzwischenraum dauerndem Lipschitz dauernd. f gibt verlassen und richtige Ableitungen zu, und das ist das Monotonically-Nichtverringern. Demzufolge ist f differentiable überhaupt, aber höchstens zählbar viele Punkte. Wenn C geschlossen wird, dann kann f scheitern, an den Endpunkten von C dauernd zu sein (ein Beispiel wird in der Abteilung der Beispiele gezeigt).

Eine Funktion ist Mittelpunkt, der auf einem Zwischenraum C wenn konvex

ist:

für alle und in C. Diese Bedingung ist nur ein bisschen schwächer als Konvexität. Zum Beispiel wird echter geschätzter Lebesgue messbare Funktion, die konvexer Mittelpunkt ist, konvex sein. Insbesondere eine dauernde Funktion, die konvexer Mittelpunkt ist, wird konvex sein.

Eine differentiable Funktion einer Variable ist auf einem Zwischenraum konvex, wenn, und nur wenn seine Ableitung monotonically ist, der auf diesem Zwischenraum nichtabnimmt. Wenn eine Funktion differentiable und konvex dann ist, ist es auch unaufhörlich differentiable.

Unaufhörlich differentiable Funktion einer Variable ist auf einem Zwischenraum konvex, wenn, und nur wenn die Funktion vor allem seiner Tangenten liegt:

:

für den ganzen x und y im Zwischenraum. Insbesondere wenn f' (c) = 0, dann ist c ein globales Minimum von f (x).

Zweimal differentiable Funktion einer Variable ist auf einem Zwischenraum konvex, wenn, und nur wenn seine zweite Ableitung dort nichtnegativ ist; das gibt einen praktischen Test auf die Konvexität.

Wenn seine zweite Ableitung dann positiv ist, dass es ausschließlich konvex ist, aber das gegenteilige hält nicht. Zum Beispiel ist die zweite Ableitung von f (x) = x f" (x) = 12 x, der Null für x = 0 ist, aber x ist ausschließlich konvex.

Mehr allgemein ist ein dauernder, zweimal differentiable Funktion von mehreren Variablen auf einem konvexen Satz konvex, wenn, und nur wenn seine Jute-Matrix halbbestimmt auf dem Interieur des konvexen Satzes positiv ist.

Jedes lokale Minimum einer konvexen Funktion ist auch ein globales Minimum. Eine ausschließlich konvexe Funktion wird am grössten Teil eines globalen Minimums haben.

Für eine konvexe Funktion f, die Subniveau-Sätze {x | f (x) < a\und {x | f (x) sind } mit einem  R konvexe Sätze. Jedoch kann eine Funktion, deren Subniveau-Sätze konvexe Sätze sind, scheitern, eine konvexe Funktion zu sein. Eine Funktion, deren Subniveau-Sätze konvex sind, wird eine quasikonvexe Funktion genannt.

Die Ungleichheit von Jensen gilt für jede konvexe Funktion f. Wenn X eine zufällige variable Einnahme Werte im Gebiet von f, dann ist (Hier zeigt die mathematische Erwartung an.)

Wenn eine Funktion f, und f (0)  0 konvex ist, dann ist f auf der positiven Halbachse superzusätzlich. Beweis:

• da f konvex ist, lassen Sie y = 0, für jeden

\le \frac {a+b} f (a+b) + \frac {b} {a+b} f (a+b) = f (a+b) </Mathematik>

Konvexe Funktionsrechnung

• Wenn und konvexe Funktionen sind, dann so sind und
• Wenn und konvexe Funktionen sind und nichtabnimmt, dann konvex ist. Als ein Beispiel, wenn konvex ist, dann so ist, weil konvex ist und Monotonically-Erhöhung.
• Wenn konkav ist und konvex ist und Nichterhöhung, dann konvex ist.
• Konvexität ist invariant laut Affine-Karten: D. h. wenn damit konvex ist, dann so, ist wo
• Wenn darin konvex ist, dann ist im gesorgten ein konvex
• Wenn konvex ist, dann ist seine Perspektive (dessen Gebiet ist) konvex.
• Das zusätzliche Gegenteil einer konvexen Funktion ist eine konkave Funktion.

Stark konvexe Funktionen

Das Konzept der starken Konvexität erweitert und parametrisiert den Begriff der strengen Konvexität. Eine stark konvexe Funktion ist auch, aber nicht umgekehrt ausschließlich konvex.

Eine Differentiable-Funktion f wird stark konvex mit dem Parameter m> 0 genannt, wenn die folgende Ungleichheit für alle Punkte x, y in seinem Gebiet hält:

:

Einige Autoren, wie

beziehen Sie sich auf Funktionen, die diese Ungleichheit als elliptische Funktionen befriedigen.

Eine gleichwertige Bedingung ist der folgende:

:

Es ist für eine Funktion nicht notwendig, differentiable zu sein, um stark konvex zu sein. Eine dritte Definition für eine stark konvexe Funktion, mit dem Parameter M, ist dass, für den ganzen x, y im Gebiet und,

:

Bemerken Sie, dass sich diese Definition der Definition für die strenge Konvexität als nähert, und zur Definition einer konvexen Funktion wenn M = 0 identisch ist. Trotzdem bestehen Funktionen, die ausschließlich konvex sind, aber für jeden m> 0 nicht stark konvex sind (sieh Beispiel unten).

Wenn die Funktion f zweimal unaufhörlich differentiable ist, dann ist f mit dem Parameter M stark konvex, wenn und nur wenn für den ganzen x im Gebiet, wo ich die Identität bin und die Jute-Matrix und das Ungleichheitsmittel bin, das bestimmt positiv ist. Das ist zum Verlangen dass das Minimum eigenvalue gleichwertig, mindestens M für den ganzen x sein. Wenn das Gebiet gerade die echte Linie ist, dann gerade die zweite Ableitung ist

Noch annehmend, dass die Funktion zweimal unaufhörlich differentiable ist, zeigen wir, dass tiefer bestimmt dessen andeutet, dass es stark konvex ist. Anfang durch das Verwenden des Lehrsatzes von Taylor:

:

für einige (unbekannt).

Dann durch die Annahme über den eigenvalues, und folglich erlangen wir die zweite starke Konvexitätsgleichung oben wieder.

Die Unterscheidung zwischen dem konvexen, ausschließlich konvexen, und stark konvex kann am ersten Anblick fein sein. Wenn zweimal unaufhörlich differentiable ist und das Gebiet die echte Linie ist, dann können wir es wie folgt charakterisieren:

: konvex wenn und nur wenn

: ausschließlich konvex wenn

: stark konvex wenn und nur wenn

Denken Sie zum Beispiel eine Funktion, die ausschließlich konvex ist, und nehmen Sie an, dass es eine Folge von solchen Punkten dass gibt. Wenn auch die Funktion nicht stark konvex ist, weil willkürlich klein werden wird.

Stark konvexe Funktionen sind im Allgemeinen leichter, mit zu arbeiten, als konvexe oder ausschließlich konvexe Funktionen, da sie eine kleinere Klasse sind. Wie ausschließlich konvexe Funktionen haben stark konvexe Funktionen einzigartige Minima.

Beispiele

• Die Funktion hat

Die Funktion hat

• Die absolute Wertfunktion ist konvex, wenn auch sie keine Ableitung am Punkt x = 0 hat. Es ist nicht ausschließlich konvex.
• Die Funktion für 1  p ist konvex.
• Die Exponentialfunktion ist konvex. Es ist auch seitdem ausschließlich konvex

• Die Funktion f mit dem Gebiet [0,1] definiert durch f (0) = f (1) = 1, f (x) = 0 für 0 hat die zweite Ableitung 6x; so ist es auf dem Satz wo x  0 und konkav auf dem Satz wo x  0 konvex.
• Jede geradlinige Transformation, die Werte annimmt, ist konvex, aber seitdem nicht ausschließlich konvex, wenn f geradlinig ist, dann hält Diese Behauptung auch, ob wir "konvex" durch "den konkaven" ersetzen.
• Jede Affine-Funktion, die Werte, d. h., jede Funktion der Form annimmt, ist gleichzeitig konvex und konkav.
• Jede Norm ist eine konvexe Funktion, durch die Dreieck-Ungleichheit und positive Gleichartigkeit.
• Beispiele von Funktionen, die Monotonically-Erhöhung, aber nicht konvex sind, schließen ein, und g (x) = loggen (x).
• Beispiele von Funktionen, die konvex sind, aber nicht monotonically Erhöhung, schließen ein und.
• Die Funktion f (x) = 1/x hat

• Die Funktion f (x) = 1/x, mit f (0) = + , ist auf dem Zwischenraum (0, + ) konvex und auf dem Zwischenraum (-, 0) konvex, aber auf dem Zwischenraum (-, + ), wegen der Eigenartigkeit an x = 0 nicht konvex.

Siehe auch

• Konkave Funktion
• Konvexe Optimierung
• Konvexer verbundener
• Geodätische Konvexität
• Der Lehrsatz von Kachurovskii, der Konvexität mit dem Monomuskeltonus der Ableitung verbindet
• Logarithmisch konvexe Funktion
• Pseudokonvexe Funktion
• Quasikonvexe Funktion
• Subableitung einer konvexen Funktion
• Die Ungleichheit von Jensen
• Die Ungleichheit von Karamata
• Hermite-Hadamard Ungleichheit
• Borwein, Jonathan, und Lewis, Adrian. (2000). Konvexe Analyse und nichtlineare Optimierung. Springer.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, und Lemaréchal, Claude. (2004). Grundlagen der Konvexen Analyse. Berlin: Springer.

Links

• Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe, konvexe Optimierung (PDF)