In der Mathematik sind eine verallgemeinerte Versetzungsmatrix (oder Monom-Matrix) eine Matrix mit demselben Nichtnullmuster wie eine Versetzungsmatrix, d. h. es gibt genau einen Nichtnullzugang in jeder Reihe und jeder Säule. Verschieden von einer Versetzungsmatrix, wo der Nichtnullzugang 1, in einer verallgemeinerten Versetzungsmatrix sein muss, kann der Nichtnullzugang jeder Nichtnullwert sein. Ein Beispiel einer verallgemeinerten Versetzungsmatrix ist

0 & 0 & 3 & 0 \\

0 &-2 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1\end {bmatrix}. </Mathematik>

Struktur

Eine invertible Matrix A ist eine verallgemeinerte Versetzungsmatrix, wenn, und nur wenn sie als ein Produkt einer invertible Diagonalmatrix D und (implizit invertible) Versetzungsmatrix P geschrieben werden kann: d. h.,

Gruppenstruktur

Der Satz n&times;n bildet verallgemeinerte Versetzung matrices mit Einträgen in Feld F eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n, F), in dem die Gruppe von nichtsingulären Diagonalmatrizen Δ (n, F) eine normale Untergruppe bildet. Tatsächlich ist die verallgemeinerte Versetzung matrices der normalizer der Diagonalmatrizen, bedeutend, dass die verallgemeinerte Versetzung matrices die größte Untergruppe von GL ist, in dem Diagonalmatrizen normal sind.

Die abstrakte Gruppe der verallgemeinerten Versetzung matrices ist das Kranz-Produkt von F und S. Konkret bedeutet das, dass es das halbdirekte Produkt von Δ (n, F) durch die symmetrische Gruppe S ist:

:&Delta; (n, F) S,

wo S-Taten durch das Permutieren von Koordinaten und den Diagonalmatrizen Δ (n, F) zum n-fold Produkt (F) isomorph sind.

Um genau zu sein, ist die verallgemeinerte Versetzung matrices eine (treue) geradlinige Darstellung dieses abstrakten Kranz-Produktes: eine Verwirklichung der abstrakten Gruppe als eine Untergruppe von matrices.

Untergruppen

• Die Untergruppe, wo alle Einträge 1 sind, ist genau die Versetzung matrices, der zur symmetrischen Gruppe isomorph ist.
• Die Untergruppe, wo alle Einträge ±1 sind, ist die unterzeichnete Versetzung matrices, der die hyperoctahedral Gruppe ist.
• Die Untergruppe, wo die Einträge mth Wurzeln der Einheit sind, ist zu einer verallgemeinerten symmetrischen Gruppe isomorph.
• Die Untergruppe von Diagonalmatrizen ist abelian, normal, und eine maximale abelian Untergruppe. Die Quotient-Gruppe ist die symmetrische Gruppe, und dieser Aufbau ist tatsächlich die Gruppe von Weyl der allgemeinen geradlinigen Gruppe: Die Diagonalmatrizen sind ein maximaler Ring in der allgemeinen geradlinigen Gruppe (und sind ihr eigener centralizer), die verallgemeinerte Versetzung sind matrices der normalizer dieses Rings und der Quotient, ist die Gruppe von Weyl.

Eigenschaften

• Wenn eine nichtsinguläre Matrix und sein Gegenteil beide nichtnegativer matrices sind (d. h. matrices mit nichtnegativen Einträgen), dann ist die Matrix eine verallgemeinerte Versetzungsmatrix.

Generalisationen

Man kann weiter verallgemeinern, indem man den Einträgen erlaubt, in einem Ring, aber nicht in einem Feld zu liegen. In diesem Fall, wenn die Nichtnulleinträge erforderlich sind, Einheiten im Ring (invertible) zu sein, erhält man wieder eine Gruppe. Andererseits, wenn die Nichtnulleinträge nur erforderlich sind, Nichtnull, aber nicht notwendigerweise invertible zu sein, bildet dieser Satz von matrices eine Halbgruppe stattdessen.

Man kann auch den Nichtnulleinträgen schematisch erlauben, in einer Gruppe G mit dem Verstehen zu liegen, dass Matrixmultiplikation nur mit dem Multiplizieren eines einzelnen Paares von Gruppenelementen verbunden sein wird, Gruppenelemente "nicht hinzufügend". Das ist ein Missbrauch der Notation, da Element von matrices multipliziert zu werden, Multiplikation und Hinzufügung erlauben muss, aber andeutender Begriff für (formell richtig) abstrakte Gruppe (das Kranz-Produkt der Gruppe G durch die symmetrische Gruppe) ist.

Unterzeichnete Versetzungsgruppe

Eine unterzeichnete Versetzungsmatrix ist eine verallgemeinerte Versetzungsmatrix, deren Nichtnulleinträge ±1 sind, und verallgemeinerte Versetzung der ganzen Zahl matrices mit dem Gegenteil der ganzen Zahl sind.

Eigenschaften

• Es ist die Gruppe von Coxeter, und hat Ordnung.
• Es ist die Symmetrie-Gruppe des Hyperwürfels und (Doppel-) des Quer-Polytope.
• Seine Untergruppe des Index 2 von matrices mit der Determinante 1 ist die Gruppe von Coxeter und ist die Symmetrie-Gruppe des demihypercube.
• Es ist eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe.

Anwendungen

Monom-Darstellungen

Monom matrices kommt in der Darstellungstheorie im Zusammenhang von Monom-Darstellungen vor. Eine Monom-Darstellung einer Gruppe G ist eine geradlinige Darstellung &rho;: G  GL (n, F) G (hier ist F das Definieren-Feld der Darstellung), solch dass das Image &rho; (G) ist eine Untergruppe der Gruppe des Monoms matrices.