In der Mathematik ist ein Q-indescribable Kardinal eine bestimmte Art der großen Grundzahl, die hart ist, auf einer Sprache Q zu beschreiben. Es gibt viele verschiedene Typen von unbeschreiblichen Kardinälen entsprechend verschiedenen Wahlen von Sprachen Q. Sie wurden dadurch eingeführt.

Eine Grundzahl κ wird Π-indescribable genannt, wenn für jeden Π Vorschlag φ, und Einen  V damit setzt (V, , A)  φ dort besteht ein α < κ mit (V, , Ein  V)  φ.

Hier schaut man auf Formeln mit m-1 Wechseln von quantifiers mit dem äußersten quantifier universal zu sein.

Σ-Indescribable-Kardinäle werden auf eine ähnliche Weise definiert. Die Idee besteht darin, dass κ bemerkenswert sein kann (von unten schauend), von kleineren Kardinälen durch keine Formel n+1-th der Ordnungslogik mit m-1 Wechseln von quantifiers sogar mit dem Vorteil eines unären Extraprädikat-Symbols (für A). Das deutet an, dass es groß ist, weil es bedeutet, dass es viele kleinere Kardinäle mit ähnlichen Eigenschaften geben muss.

Die Grundzahl κ wird völlig unbeschreiblich genannt, wenn es Π-indescribable für alle positiven ganzen Zahlen M und n ist.

Wenn α eine Ordnungszahl ist, wird die Grundzahl κ α-indescribable wenn nach jeder Formel φ und jeder Teilmenge U von V genannt

solch, dass φ (U) in V hält, gibt es einen λ) hält in V. Wenn α dann α-indescribable unendlich ist, sind Ordnungszahlen völlig unbeschreiblich, und wenn α begrenzt ist, sind sie dasselbe als Π-indescribable Ordnungszahlen. α-indescribability deutet an, dass α) hält in V.

Π-Indescribable-Kardinäle sind dasselbe als schwach kompakte Kardinäle.

Ein Kardinal ist unzugänglich, wenn, und nur wenn es Π-indescribable für alle positiven ganzen Zahlen n, gleichwertig iff es ist, Π-indescribable ist, gleichwertig iff es ist Σ-indescribable. Ein Kardinal ist Σ-indescribable iff es ist Π-indescribable. Das Eigentum, Π-indescribable zu sein, ist Π. Für m> 1 ist das Eigentum, Π-indescribable zu sein, Σ, und das Eigentum, Σ-indescribable zu sein, ist Π. So, für m> 1, ist jeder Kardinal, der entweder Π-indescribable oder Σ-indescribable ist, sowohl Π-indescribable als auch Σ-indescribable, und der Satz solcher Kardinäle darunter ist stationär. Die Konsistenz-Kraft ist Σ-indescribable Kardinäle ist unter diesem von Π-indescribable, aber für m> 1 ist es mit ZFC im Einklang stehend, dass kleinster Σ-indescribable besteht und über kleinstem Π-indescribable Kardinal ist (das wird von der Konsistenz von ZFC mit dem Π-indescribable Kardinal und einem Σ-indescribable Kardinal darüber bewiesen).

Messbare Kardinäle sind Π-indescribable, aber der kleinste messbare Kardinal ist nicht Σ-indescribable. Jedoch gibt es viele völlig unbeschreibliche Kardinäle unter jedem messbaren Kardinal.

Völlig unbeschreibliche Kardinäle bleiben völlig unbeschreiblich im constructible Weltall und in anderen kanonischen inneren Modellen, und ähnlich für Π und Σ indescribability.