In der Mathematik, mehr spezifisch Topologie, ist ein lokaler homeomorphism intuitiv eine Funktion, f zwischen topologischen Räumen, der lokale Struktur bewahrt. Gleichwertig kann man das Gebiet dieser Funktion durch offene Sätze, solch bedecken, dass auf jeden solchen offenen Satz eingeschränkter f ein homeomorphism auf sein Image ist. Insbesondere jeder homeomorphism ist ein lokaler homeomorphism. Die formelle Definition wird unten gegeben.

Lokale homeomorphisms sind in der Mathematik, besonders in der Theorie von Sammelleitungen (z.B Differenzialtopologie) und algebraische Topologie sehr wichtig. Ein wichtiges Beispiel von lokalem homeomorphisms bedeckt Karten. Bedeckende Karten sind wichtig, weil verschieden von lokalem homeomorphisms sie die lokale Bedeutungslosigkeitsbedingung befriedigen, veranlassen sie Isomorphismus von besonderen homotopy Gruppen, und insbesondere man kann jeden Pfad im Grundraum einer Bedeckungskarte zu einem Pfad im Gesamtraum heben. Obwohl lokal, sind homeomorphisms nicht so stark wie Bedeckung von Karten in dieser Beziehung, sie haben viele wichtige Anwendungen in der Differenzialtopologie; nämlich man verwendet den Begriff eines lokalen homeomorphism, um eine Differentiable-Sammelleitung zu definieren.

Formelle Definition

Lassen Sie X und Y topologische Räume sein. Eine Funktion, ist ein lokaler homeomorphism, wenn für jeden Punkt x in X, dort ein offener Satz U besteht, x, solch enthaltend, der in Y offen ist und ein homeomorphism ist.

Beispiele

Wenn U eine offene Teilmenge von mit der Subraumtopologie ausgestattetem Y, dann die Einschließungskarte i ist: U  ist Y ein lokaler homeomorphism. Offenheit ist hier notwendig: Die Einschließungskarte einer nichtoffenen Teilmenge von Y gibt nie einen lokalen homeomorphism nach.

Lässt f: S  S, die Karte sein, die den Kreis um sich n Zeiten wickelt (d. h. hat krumme Nummer n). Das ist ein lokaler homeomorphism für die ganze Nichtnull n, aber ein homeomorphism nur in den Fällen, wo es, d. h. n = 1 oder-1 bijektiv ist.

Es wird in der komplizierten Analyse gezeigt, dass eine komplizierte analytische Funktion f einen lokalen homeomorphism genau wenn die Ableitung f&prime gibt; (z) ist Nichtnull für den ganzen z im Gebiet von f. Die Funktion f (z) = z auf einer offenen Platte ungefähr 0 sind nicht ein lokaler homeomorphism an 0, wenn n mindestens 2 ist. In diesem Fall 0 ist ein Punkt "der Implikation" (intuitiv, n Platten kommen zusammen dorthin).

Eigenschaften

Jeder lokale homeomorphism ist eine dauernde und offene Karte. Ein bijektiver lokaler homeomorphism ist deshalb ein homeomorphism.

Ein lokaler homeomorphism f: X  Y bewahren "lokale" topologische Eigenschaften:

• X wird lokal verbunden, wenn, und nur wenn f (X) ist
• X ist lokal Pfad-verbunden, wenn, und nur wenn f (X) ist
• X ist lokal kompakt, wenn, und nur wenn f (X) ist
• X ist erst-zählbar, wenn, und nur wenn f (X) ist

Wenn f: X  Y sind ein lokaler homeomorphism, und U ist eine offene Teilmenge X, dann ist die Beschränkung f auch ein lokaler homeomorphism.

Wenn f: X  Y und g: Y  sind Z lokaler homeomorphisms, dann die Zusammensetzung gf: X  Z sind auch ein lokaler homeomorphism.

Die lokalen homeomorphisms mit codomain Y stehen in einer natürlichen 1-1 Ähnlichkeit mit den Bündeln von Sätzen auf Y. Außerdem verursacht jede dauernde Karte mit codomain Y einen einzigartig definierten lokalen homeomorphism mit codomain Y auf eine natürliche Weise. All dieser wird im Detail im Artikel über Bündel erklärt.

Beziehung zur Bedeckung von Karten

Wenn X und Y lokal kompakte Räume und p sind: Y  X ist ein richtiger lokaler homeomorphism, dann ist p eine Bedeckungskarte.

Siehe auch

• Lokaler diffeomorphism