:This-Artikel ist über algebraische Varianten. Für den Begriff "sehen Vielfalt von Algebra" und eine Erklärung des Unterschieds zwischen einer Vielfalt von Algebra und einer algebraischen Vielfalt, Vielfalt (universale Algebra).

In der Mathematik ist ein algebraischer Satz der Satz von Lösungen eines Systems von polynomischen Gleichungen. Algebraische Sätze werden manchmal auch algebraische Varianten genannt, aber normalerweise ist eine algebraische Vielfalt ein nicht zu vereinfachender algebraischer Satz, d. h. derjenige, der nicht die Vereinigung von zwei anderen algebraischen Sätzen ist. Algebraische Sätze und algebraische Varianten sind die Hauptgegenstände der Studie in der algebraischen Geometrie. Das Wort "Vielfalt" wird im Sinn verwendet, der dieser der Sammelleitung ähnlich ist; der Unterschied ist, dass eine Vielfalt einzigartige Punkte haben kann, während eine Sammelleitung nicht kann. In den Romanischen Sprachen werden sowohl Varianten als auch Sammelleitungen durch dasselbe Wort, einen Blutsverwandten des Wortes "Vielfalt" genannt.

Bewiesen ungefähr dem Jahr 1800 gründet der Hauptsatz der Algebra eine Verbindung zwischen der Algebra und Geometrie durch die Vertretung, dass ein monic Polynom in einer Variable mit komplizierten Koeffizienten (ein algebraischer Gegenstand) durch den Satz seiner Wurzeln (ein geometrischer Gegenstand) bestimmt wird. Dieses Ergebnis verallgemeinernd, stellt der Nullstellensatz von Hilbert eine grundsätzliche Ähnlichkeit zwischen Idealen von polynomischen Ringen und algebraischen Sätzen zur Verfügung. Mit Nullstellensatz und verwandten Ergebnissen haben Mathematiker eine starke Ähnlichkeit zwischen Fragen auf algebraischen Sätzen und Fragen der Ringtheorie eingesetzt. Diese Ähnlichkeit ist der specifity der algebraischen Geometrie unter den anderen Teilbereichen der Geometrie.

Formelle Definitionen

Algebraische Varianten können in vier Arten klassifiziert werden: Affine-Varianten, quasi-affine Varianten, projektive Varianten und quasiprojektive Varianten. Es gibt auch den allgemeineren Begriff einer abstrakten algebraischen Vielfalt.

Varianten von Affine

Lassen Sie k ein algebraisch geschlossenes Feld sein und A ein affine N-Raum über k sein zu lassen. Der Polynom-ƒ im Ring k [x..., x] kann als k-valued Funktionen auf durch das Auswerten von ƒ an den Punkten in A angesehen werden. Für jeden Satz S Polynome in k [x..., x], definieren den Null-geometrischen Ort Z (S), um der Satz von Punkten in zu sein, auf dem die Funktionen in S gleichzeitig, das heißt verschwinden

Eine Teilmenge V von A wird einen affine algebraischen Satz wenn V = Z (S) für einen S genannt. Ein nichtleerer affine algebraischer Satz V wird nicht zu vereinfachend genannt, wenn er als die Vereinigung von zwei richtigen algebraischen Teilmengen nicht geschrieben werden kann. Ein nicht zu vereinfachender affine algebraischer Satz wird auch eine affine Vielfalt genannt. (Viele Autoren verwenden den Ausdruck affine Vielfalt, um sich auf jeden affine algebraischen Satz, nicht zu vereinfachend zu beziehen, oder nicht; dieser Artikel wird die strengere Definition verwenden.)

Varianten von Affine können eine natürliche Topologie gegeben werden, indem sie die geschlossenen Sätze erklärt wird, genau die affine algebraischen Sätze zu sein. Diese Topologie wird die Topologie von Zariski genannt.

In Anbetracht einer Teilmenge V von A definieren wir mich (V), um das Ideal aller Funktionen zu sein, die auf V verschwinden:

Für jeden affine algebraischen Satz V, den Koordinatenring oder Struktur-Ring V ist der Quotient des polynomischen Rings durch dieses Ideal.

Projektive Varianten

Lassen Sie k ein algebraisch geschlossenes Feld sein und P ein projektiver N-Raum über k sein zu lassen. Lassen Sie f  k [x..., x] ein homogenes Polynom des Grads d sein. Es ist nicht bestimmt, um f auf Punkten in P in homogenen Koordinaten zu bewerten. Jedoch, weil f, f (λx..., λx) = λf homogen ist (x..., x), so hat es wirklich Sinn zu fragen, ob f an einem Punkt [x verschwindet:...: x]. Für jeden Satz S homogener Polynome, definieren Sie den Null-geometrischen Ort von S, um der Satz von Punkten in P zu sein, auf dem die Funktionen in S verschwinden:

Eine Teilmenge V von P wird einen projektiven algebraischen Satz wenn V = Z (S) für einen S genannt. Ein nicht zu vereinfachender projektiver algebraischer Satz wird eine projektive Vielfalt genannt.

Projektive Varianten werden auch mit der Topologie von Zariski ausgestattet, indem sie alle algebraischen Sätze erklärt wird, geschlossen zu werden.

In Anbetracht einer Teilmenge V von P, lassen Sie mich (V) das Ideal sein, das durch alle homogenen Polynome erzeugt ist, die auf V verschwinden. Für jeden projektiven algebraischen Satz V ist der Koordinatenring V der Quotient des polynomischen Rings durch dieses Ideal.

Beispiele

Affine algebraische Vielfalt

Beispiel 1

Lassen Sie k das Feld von komplexen Zahlen C sein. Lassen Sie A ein zwei dimensionaler affine Raum über C sein. Die Polynome f im Ring C [x, y] können als geschätzte Funktionen des Komplexes auf durch das Auswerten von ƒ an den Punkten in A angesehen werden. Lassen Sie Teilmenge S C [x, y] enthalten ein einzelnes Element f (x, y):

Der Null-geometrische Ort von f (x, y) ist der Satz von Punkten in, auf dem diese Funktion verschwindet: Es ist der Satz aller Paare von komplexen Zahlen (x, y) solch dass y = 1  x, allgemein bekannt als eine Linie. Das ist der Satz Z (f):

So ist die Teilmenge V = Z (f) A ein algebraischer Satz. Der Satz V ist nicht ein leerer Satz. Und es ist nicht zu vereinfachend, weil es als die Vereinigung von zwei richtigen algebraischen Teilmengen nicht geschrieben werden kann. So ist es eine affine algebraische Vielfalt.

Beispiel 2

Lassen Sie wieder k das Feld von komplexen Zahlen C sein. Lassen Sie A ein zwei dimensionaler affine Raum über C sein. Die Polynome g im Ring C [x, y] können als geschätzte Funktionen des Komplexes auf durch das Auswerten g an den Punkten in A angesehen werden. Lassen Sie Teilmenge S C [x, y] enthalten ein einzelnes Element g (x, y):

Der Null-geometrische Ort von g (x, y) ist der Satz von Punkten in, auf dem diese Funktion verschwindet, der der Satz von Punkten (x, y) solch dass xx + yy = 1, allgemein bekannt als ein Kreis ist.

Grundlegende Ergebnisse

• Ein affine algebraischer Satz V ist eine Vielfalt, wenn, und nur wenn ich (V) ein Hauptideal bin; gleichwertig, V ist eine Vielfalt, wenn, und nur wenn sein Koordinatenring ein integriertes Gebiet ist.
• Jeder nichtleere affine algebraische Satz kann einzigartig als eine Vereinigung von algebraischen Varianten geschrieben werden (wo keiner der Sätze in der Zergliederung Teilmengen von einander ist).
• Lassen Sie k [V] der Koordinatenring der Vielfalt V sein. Dann ist die Dimension V der Überlegenheitsgrad des Feldes von Bruchteilen von k [V] über k.

Isomorphismus von algebraischen Varianten

Lassen Sie V und V algebraische Varianten sein. Wir sagen, dass V und V isomorph sind, und V  V schreiben, wenn es regelmäßige Karten φ gibt: V  V und ψ: V  V solch, dass die Zusammensetzungen ψ ° φ und φ ° ψ die Identitätskarten auf V und V beziehungsweise sind.

Diskussion und Generalisationen

Die grundlegenden Definitionen und Tatsachen ermöglichen oben, klassische algebraische Geometrie zu tun. Um im Stande zu sein, mehr - zum Beispiel zu tun, sich mit Varianten über Felder zu befassen, die nicht algebraisch geschlossen werden - sind einige Foundational-Änderungen erforderlich. Der moderne Begriff einer Vielfalt ist beträchtlich abstrakter, als derjenige oben, obwohl gleichwertig, im Fall von Varianten zu Ende algebraisch Felder geschlossen hat. Eine abstrakte algebraische Vielfalt ist eine besondere Art des Schemas; die Generalisation zu Schemas auf der geometrischen Seite ermöglicht eine Erweiterung der Ähnlichkeit, die oben zu einer breiteren Klasse von Ringen beschrieben ist. Ein Schema ist ein lokal beringter solcher Raum, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die, als ein lokal beringter Raum, zu einem Spektrum eines Rings isomorph ist. Grundsätzlich ist eine Vielfalt ein Schema, dessen Struktur-Bündel ein Bündel von K-Algebra mit dem Eigentum ist, dass die Ringe R, die oben vorkommen, alle Gebiete sind und alle begrenzt erzeugten K-Algebra sind, d. h. Quotienten von polynomischen Algebra durch Hauptideale.

Diese Definition arbeitet über jedes Feld k. Es erlaubt Ihnen, affine Varianten (entlang allgemeinen offenen Sätzen) ohne zu kleben

das Sorgen, ob der resultierende Gegenstand in einen projektiven Raum gestellt werden kann. Das führt auch zu Schwierigkeiten, da man etwas pathologische Gegenstände, z.B eine affine Linie mit der verdoppelten Null einführen kann. Solche Gegenstände werden gewöhnlich als Varianten nicht betrachtet und werden beseitigt, indem sie die Schemas verlangt wird, die einer Vielfalt unterliegen, getrennt zu werden. (Genau genommen gibt es auch eine dritte Bedingung nämlich, dass man nur begrenzt viele Affine-Flecke in der Definition oben braucht.)

Einige moderne Forscher entfernen auch die Beschränkung einer Vielfalt, die integriertes Gebiet affine Karten hat, und wenn das Sprechen einer Vielfalt einfach bedeutet, dass die affine Karten trivialen nilradical haben.

Eine ganze Vielfalt ist eine solche Vielfalt, dass jede Karte von einer offenen Teilmenge einer nichtsingulären Kurve darin einzigartig zur ganzen Kurve erweitert werden kann. Jede projektive Vielfalt, ist aber nicht umgekehrt abgeschlossen.

Diese Varianten sind 'Varianten im Sinne Serre' seit dem foundational Papier von Serre genannt worden, das FAC auf dem Bündel cohomology für sie geschrieben wurde. Sie bleiben typische Gegenstände anzufangen, in der algebraischen Geometrie zu studieren, selbst wenn allgemeinere Gegenstände auch auf eine Hilfsweise verwendet werden.

Ein Weg, der zu Verallgemeinerungen führt, ist, reduzierbare algebraische Sätze zu erlauben (und Felder k, die nicht algebraisch geschlossen werden), so können die Ringe R nicht integrierte Gebiete sein. Eine bedeutendere Modifizierung soll nilpotents im Bündel von Ringen erlauben. Ein nilpotent in einem Feld muss 0 sein: Diese, wenn erlaubt, in Koordinatenringen werden als Koordinatenfunktionen nicht gesehen.

Aus dem kategorischen Gesichtspunkt muss nilpotents erlaubt werden, um begrenzte Grenzen von Varianten zu haben (um Faser-Produkte zu bekommen). Geometrisch sagt das, dass Fasern von gutem mappings 'unendlich kleine' Struktur haben können. In der Theorie von Schemas von Grothendieck werden diese Punkte alle beigelegt: Aber das allgemeine Schema ist davon weit, den unmittelbaren geometrischen Inhalt einer Vielfalt zu haben.

Es gibt genannte algebraische Räume und Stapel der weiteren Generalisationen.

Algebraische Sammelleitungen

Eine algebraische Sammelleitung ist eine algebraische Vielfalt, die auch eine M dimensionale Sammelleitung ist, und folglich jeder genug kleine lokale Fleck zu k isomorph ist. Gleichwertig ist die Vielfalt (frei von einzigartigen Punkten) glatt. Wenn k die reellen Zahlen, R ist, werden algebraische Sammelleitungen Sammelleitungen von Nash genannt. Algebraische Sammelleitungen können als der Nullsatz einer begrenzten Sammlung von analytischen algebraischen Funktionen definiert werden. Projektive algebraische Sammelleitungen sind eine gleichwertige Definition für projektive Varianten. Der Bereich von Riemann ist ein Beispiel.

Siehe auch

• fungieren Sie Feld einer algebraischen Vielfalt
• Dimension einer algebraischen Vielfalt
• einzigartiger Punkt einer algebraischen Vielfalt
• Birational-Geometrie
• Abelian-Vielfalt
• Motiv
• Schema
• analytische Vielfalt