In der Rechnung ist die Produktregel eine Formel, die verwendet ist, um die Ableitungen von Produkten von zwei oder mehr Funktionen zu finden. Es kann so festgesetzt werden:

:

oder in der Notation von Leibniz so:

:.

In der Notation von Differenzialen kann das wie folgt geschrieben werden:

:.

Die Ableitung des Produktes von drei Funktionen ist:

:.

Entdeckung durch Leibniz

Die Entdeckung dieser Regel wird Gottfried Leibniz kreditiert (jedoch, Kind (2008) behauptet, dass es wegen Isaac Barrows ist), wer es mit Differenzialen demonstriert hat. Hier ist das Argument von Leibniz: Lassen Sie u (x) und v (x) zwei differentiable Funktionen von x sein. Dann ist das Differenzial von uv

:

\begin {richten }\aus

d (u\cdot v) & {} = (u + du) \cdot (v + dv) - u\cdot v \\

& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Seit dem Begriff du · dv ist "unwesentlich" (im Vergleich zu du und dv), Leibniz hat das geschlossen

:

und das ist tatsächlich die Differenzialform der Produktregel. Wenn wir uns durch durch das Differenzial dx teilen, erhalten wir

:

der auch in der "Hauptnotation" als geschrieben werden kann

:

Beispiele

• Nehmen Sie an, dass wir &fnof differenzieren wollen; (x) = sündigen x (x). Indem man die Produktregel verwendet, bekommt man die Ableitung &fnof; (x) = 2x sündigen (x) + xcos (x) (da die Ableitung von x 2x ist und die Ableitung der Sünde (x) weil (x) ist).
• Ein spezieller Fall der Produktregel ist die unveränderliche vielfache Regel, die festsetzt: Wenn c eine reelle Zahl und &fnof ist; (x) ist eine Differentiable-Funktion, dann c&fnof; (x) ist auch differentiable, und seine Ableitung ist (c &times; &fnof;) (x) = c &times; &fnof; (x). Das folgt aus der Produktregel, da die Ableitung jeder Konstante Null ist. Das, das mit der Summe-Regel für Ableitungen verbunden ist, zeigt, dass Unterscheidung geradlinig ist.
• Die Regel für die Integration durch Teile wird aus der Produktregel abgeleitet, wie (eine schwache Version) die Quotientenregel ist. (Es ist eine "schwache" Version, in der es nicht beweist, dass der Quotient differentiable ist, aber nur sagt, was seine Ableitung ist, wenn es differentiable ist.)

Ein allgemeiner Fehler

Es ist ein allgemeiner Fehler, wenn es Rechnung studiert, um anzunehmen, dass die Ableitung von (uv) gleich ist (u &prime) (v &prime). Leibniz selbst hat diesen Fehler am Anfang gemacht; jedoch gibt es klare Gegenbeispiele. Denken Sie eine Differentiable-Funktion &fnof; (x), dessen Ableitung &fnof ist; '(x). Diese Funktion kann auch als &fnof geschrieben werden; (x) · 1, seitdem 1 ist das Identitätselement für die Multiplikation. Wenn die oben erwähnte falsche Auffassung wahr war, (u&prime) (v&prime) würde Null gleichkommen. Das ist wahr, weil die Ableitung einer Konstante (solcher als 1) Null und das Produkt &fnof ist; (x) · 0 ist auch Null.

Beweis der Produktregel

Ein strenger Beweis der Produktregel kann mit den Eigenschaften von Grenzen und der Definition der Ableitung als eine Grenze des Unterschied-Quotienten von Newton gegeben werden.

Wenn

:

und &fnof; und g sind jeder differentiable an der festgelegten Zahl x, dann

:

Jetzt der Unterschied

:

ist das Gebiet des großen Rechtecks minus das Gebiet des kleinen Rechtecks in der Illustration.

Das Gebiet zwischen dem kleineren und größeren Rechteck kann in zwei Rechtecke, die Summe gespalten werden, deren Gebiete ist

:

Deshalb ist der Ausdruck in (1) gleich

:

Das Annehmen, dass alle verwendeten Grenzen, (4) bestehen, ist gleich

:

+ \left (\lim_ {w\to x} g (w) \right) \left (\lim_ {w\to x} {f (w) - f (x) \over w - x} \right).

\qquad\qquad (5) </Mathematik>

Jetzt

:

Das hält, weil f (x) unveränderlich als w  x bleibt.

:

Das hält, weil Differentiable-Funktionen dauernd sind (g, wird differentiable in der Behauptung der Produktregel angenommen).

Auch:

: und

weil f und g differentiable an x sind;

Wir beschließen, dass der Ausdruck in (5) gleich

ist:

Alternative Beweise

Ein kurzer Beweis

Definitionsgemäß, wenn differentiable an dann sind, können uns schreiben

:

solch dass, d. h. Dann:

:

Die Einnahme der Grenze für den kleinen gibt das Ergebnis.

Das Verwenden von Logarithmen

Lassen Sie f = uv und nehmen Sie u an, und v sind positive Funktionen von x. Dann

:

Das Unterscheiden beider Seiten:

:

und so, die linke Seite mit f und die richtige Seite durch uv, multiplizierend

:

Der Beweis erscheint in http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html. Bemerken Sie, dass seitdem u v dauernd sein muss, verringert die Annahme auf positivity die Allgemeinheit nicht.

Dieser Beweis verlässt sich auf die Kettenregel und auf die Eigenschaften der natürlichen Logarithmus-Funktion, von denen beide tiefer sind als die Produktregel. Aus einem Gesichtspunkt, der ein Nachteil dieses Beweises ist. Andererseits macht die Einfachheit der Algebra in diesem Beweis es vielleicht leichter zu verstehen als ein Beweis mit der Definition der Unterscheidung direkt.

Das Verwenden der Kettenregel

Die Produktregel kann ein spezieller Fall der Kettenregel für mehrere Variablen in Betracht gezogen werden.

:

Das Verwenden der Sonderanalyse

Lassen Sie u und v dauernde Funktionen in x sein, und dx, du und dv infinitesimals innerhalb des Fachwerks der Sonderanalyse, spezifisch die hyperreellen Zahlen sein zu lassen. Die Using St, um die Standardteil-Funktion anzuzeigen, die zu einer hyperreellen Zahl das echte ungeheuer in der Nähe davon vereinigt, gibt das

:

Das Verwenden glatter unendlich kleiner Analyse

Im Zusammenhang der Annäherung von Lawvere an infinitesimals, lassen Sie du und dv nilsquare infinitesimals sein. Dann

: \begin {richten }\aus

d (uv) & {} = (u + du) (v + dv)-uv \\

& {} = uv + u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv - uv \\

& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv \\

& {} = u\cdot dv + v\cdot du \, \!

\end {richten }\aus

</Mathematik>

vorausgesetzt, dass

:

(das kann sogar für nilsquare infinitesimals im Allgemeinen nicht wirklich wahr sein).

Generalisationen

Ein Produkt von mehr als zwei Faktoren

Die Produktregel kann zu Produkten von mehr als zwei Faktoren verallgemeinert werden. Zum Beispiel für drei Faktoren haben wir

:.

Für eine Sammlung von Funktionen haben wir

:

= \sum_ {i=1} ^k \left (\frac {d} {dx} f_i (x) \prod_ {j\ne i} f_j (x) \right)

\left (\prod_ {ich

1\^k f_i (x) \right) \left (\sum_ {i=1} ^k \frac {f' _i (x)} {f_i (x)} \right). </Mathematik>

Höhere Ableitungen

Es kann auch zur Regierung von Leibniz für die n-te Ableitung eines Produktes von zwei Faktoren verallgemeinert werden:

:

Siehe auch binomischen Koeffizienten und den formell ziemlich ähnlichen binomischen Lehrsatz. Siehe auch Regierung von Leibniz (verallgemeinerte Produktregel).

Höhere partielle Ableitungen

Für partielle Ableitungen haben wir

:

\sum_S {\\partial^ u \over \prod_ {i\in S} \partial x_i} \cdot {\\Partial^ {n-S} v \over \prod_ {i\not\in S} \partial x_i} </Mathematik>

wo der Index S die ganze Liste von 2 Teilmengen {1..., n} durchbohrt. Zum Beispiel, wenn n = 3, dann

:

& {} = u \cdot {\\partial^3 v \over \partial x_1 \,\partial x_2 \,\partial x_3} + {\\teilweiser u \over \partial x_1 }\\cdot {\\partial^2 v \over \partial x_2 \,\partial x_3} + {\\teilweiser u \over \partial x_2 }\\cdot {\\partial^2 v \over \partial x_1 \,\partial x_3} + {\\teilweiser u \over \partial x_3 }\\cdot {\\partial^2 v \over \partial x_1 \,\partial x_2} \\\\

& {}\\qquad + {\\partial^2 u \over \partial x_1 \,\partial x_2 }\\cdot {\\teilweiser v \over \partial x_3 }\

+ {\\partial^2 u \over \partial x_1 \,\partial x_3 }\\cdot {\\teilweiser v \over \partial x_2 }\

+ {\\partial^2 u \over \partial x_2 \,\partial x_3 }\\cdot {\\teilweiser v \over \partial x_1 }\

+ {\\partial^3 u \over \partial x_1 \,\partial x_2 \,\partial x_3 }\\cdot v. \end {richten} </Mathematik> {aus}

Eine Produktregel in Banachräumen

Denken Sie X, Y, und Z sind Banachräume (der Euklidischen Raum einschließt), und B: X &times; Y  ist Z ein dauernder bilinearer Maschinenbediener. Dann ist B differentiable und seine Ableitung am Punkt (x, y) in X &times; Y ist die geradlinige Karte DB: X &times; Y  Z gegeben durch

:

Abstammungen in der abstrakten Algebra

In der abstrakten Algebra wird die Produktregel verwendet, um zu definieren, was eine Abstammung nicht umgekehrt genannt wird.

Für Vektor-Funktionen

Die Produktregel streckt sich bis zu die Skalarmultiplikation, Punktprodukte und Kreuzprodukte von Vektor-Funktionen aus.

Für die Skalarmultiplikation:

Für Punktprodukte:

Für Kreuzprodukte:

(Hüten Sie sich: Da Kreuzprodukte nicht auswechselbar sind, ist es nicht richtig, um zu schreiben, Aber Kreuzprodukte sind antiauswechselbar, so kann es als geschrieben werden

Für Skalarfelder

Für Skalarfelder ist das Konzept des Anstiegs das Analogon der Ableitung:

Anwendungen

Unter den Anwendungen des Produktes ist die Regel ein Beweis das

:

wenn n eine positive ganze Zahl ist (diese Regel ist wahr, selbst wenn n nicht positiv ist oder nicht ist, muss sich eine ganze Zahl, aber der Beweis davon auf andere Methoden verlassen). Der Beweis ist durch die mathematische Induktion auf der Hochzahl n. Wenn n = 0 dann x unveränderlich ist und nx = 0. Die Regel hält in diesem Fall, weil die Ableitung einer unveränderlichen Funktion 0 ist. Wenn die Regel für eine besondere Hochzahl n hält, dann für den folgenden Wert, n + 1, haben wir

:

{d \over dx} ist X^ {n+1} & {} = {d \over dx }\\(X^n\cdot x\right) \\[12pt] abgereist

& {} = x {d \over dx} x^n + x^n {d \over dx} x \qquad\mbox {(wird die Produktregel hier verwendet),} \\[12pt]

& {} = x\left (nx^ {n-1 }\\Recht) + x^n\cdot 1\qquad\mbox {(wird die Induktionsvoraussetzung hier verwendet),} \\[12pt]

& {} = (n + 1) x^n.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Deshalb, wenn der Vorschlag auf n zutrifft, ist es auch n + 1 wahr.

Definition des Tangente-Raums

Produktregel wird auch in der Definition des abstrakten Tangente-Raums von einer abstrakten geometrischen Zahl (glatte Sammelleitung) verwendet. Diese Definition, die wir verwenden können, wenn wir nicht können oder umgebenden Umgebungsraum nicht verwenden zu mögen, wo unsere gewählte geometrische Zahl lebt (seitdem es keinen solchen Umgebungsraum geben könnte). Es verwendet die Tatsache, dass es möglich ist, Ableitungen von reellwertigen Funktionen auf dieser geometrischen Zahl am Punkt p allein mit der Produktregel zu definieren, und dass der Satz der ganzen Abstammung tatsächlich Vektorraum bildet, der der gewünschte Tangente-Raum ist.

Siehe auch

• Regierung von General Leibniz
• Gegenseitige Regel
• Differenzial (Rechnung)
• Abstammung (abstrakte Algebra)
• Quotientenregel
• Produktregel-Praxis-Probleme [Kouba, Universität Kaliforniens: Davis
• Kind, J. M. (2008) "Die frühen mathematischen Manuskripte von Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, der durch J übersetzt ist. M Kind; Seite 29, Fußnote 58.