Der implizite Funktionslehrsatz stellt eine Verbindung zwischen impliziten und ausführlichen Funktionen zur Verfügung. Es stellt dass fest, wenn die Gleichung R (x, y) = 0 einige milde Bedingungen auf seinen partiellen Ableitungen befriedigt, dann kann man im Prinzip diese Gleichung für y mindestens über einen kleinen Zwischenraum lösen. Geometrisch wird der Graph, der durch R (x, y) = 0 definiert ist, lokal mit dem Graphen einer Gleichung y = f (x) überlappen.

Verschiedene numerische Methoden bestehen, für die Gleichung R (x, y) =0 zu lösen, um eine Annäherung an die implizite Funktion f zu finden. Viele dieser Methoden sind darin wiederholend sie erzeugen nacheinander bessere Annäherungen, so dass eine vorgeschriebene Genauigkeit erreicht werden kann. Viele dieser wiederholenden Methoden basieren auf einer Form der Methode von Newton.

Beispiele

Umgekehrte Funktionen

Ein allgemeiner Typ der impliziten Funktion ist eine umgekehrte Funktion. Wenn eine Funktion ist, dann ist die umgekehrte Funktion, genannt, die Funktion, die eine Lösung der Gleichung gibt

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für y in Bezug auf x. Diese Lösung ist

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Intuitiv wird eine umgekehrte Funktion bei durch das Austauschen der Rollen der abhängigen und unabhängigen Variablen erhalten. Festgesetzt ein anderer Weg, die umgekehrte Funktion gibt die Lösung für y der Gleichung

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Beispiele.

1. Der natürliche Logarithmus ln (x) gibt die Lösung y = ln (x) der Gleichung x − e = 0 oder gleichwertig x = e. Hier und
2. Der Produktklotz ist eine implizite Funktion, die die Lösung für y der Gleichung x &minus gibt; y e = 0.

Algebraische Funktionen

Eine algebraische Funktion ist eine Funktion, die eine polynomische Gleichung befriedigt, deren Koeffizienten selbst Polynome sind. Zum Beispiel gibt eine algebraische Funktion in einer Variable x eine Lösung für y einer Gleichung

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wo die Koeffizienten polynomische Funktionen von x sind. Algebraische Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der mathematischen Analyse und algebraischen Geometrie. Ein einfaches Beispiel einer algebraischen Funktion wird durch die Einheitskreisgleichung angeführt:

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Das Lösen für y gibt eine ausführliche Lösung:

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Aber sogar ohne diese ausführliche Lösung anzugeben, ist es möglich, sich auf die implizite Lösung der Einheitskreisgleichung zu beziehen.

Während ausführliche Lösungen für Gleichungen gefunden werden können, die quadratisch, und quartic in y kubisch sind, ist dasselbe für quintic und höhere Grad-Gleichungen wie nicht im Allgemeinen wahr

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Dennoch kann man sich noch auf die implizite Lösung beziehen, die die mehrgeschätzte implizite Funktion einschließt.

Verwahrungen

Nicht jede Gleichung R (x, y) = 0 bezieht einen Graphen einer einzeln geschätzten Funktion, die Kreisgleichung ein, die ein prominentes Beispiel ist. Ein anderes Beispiel ist eine implizite Funktion, die durch x &minus gegeben ist; C (y) = 0, wo C ein Kubikpolynom ist, das einen "Buckel" in seinem Graphen hat. So für eine implizite Funktion, eine wahre (einzeln geschätzte) Funktion zu sein, könnte es notwendig sein, gerade einen Teil des Graphen zu verwenden. Eine implizite Funktion kann manchmal als eine wahre Funktion nur nach "dem Heranholen" eines Teils der X-Achse und "des Abschneidens" einige unerwünschte Funktionszweige erfolgreich definiert werden. Dann kann eine Gleichung, die y als eine implizite Funktion der anderen Variable (N) ausdrückt, geschrieben werden.

Die Definieren-Gleichung kann auch andere Pathologien haben. Zum Beispiel bezieht die Gleichung x = 0 keine Funktion ein, die Lösungen für y überhaupt gibt; es ist eine vertikale Linie. Um ein Problem wie das zu vermeiden, werden verschiedene Einschränkungen oft den zulässigen Sorten von Gleichungen oder auf dem Gebiet auferlegt. Der implizite Funktionslehrsatz stellt eine gleichförmige Weise zur Verfügung, diese Sorten von Pathologien zu behandeln.

Implizite Unterscheidung

In der Rechnung hat eine Methode gerufen implizite Unterscheidung macht von der Kettenregel Gebrauch, implizit definierte Funktionen zu unterscheiden.

Wie erklärt, in der Einführung kann y als eine Funktion von x implizit aber nicht ausführlich gegeben werden. Wenn wir eine Gleichung R (x, y) = 0 haben, können wir im Stande sein, sie für y und dann zu lösen

differenzieren. Jedoch manchmal ist es einfacher, R (x, y) in Bezug auf x und y zu unterscheiden und dann für dy/dx zu lösen.

Beispiele

1. Ziehen Sie zum Beispiel in Betracht

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Diese Funktion kann normalerweise durch das Verwenden der Algebra manipuliert werden, um diese Gleichung zu einem Ausdrücken y in Bezug auf eine ausführliche Funktion zu ändern:

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wo die richtige Seite die ausführliche Funktion ist, deren Produktionswert y ist. Unterscheidung gibt dann. Wechselweise kann man die ursprüngliche Gleichung völlig unterscheiden:

::

Das Lösen dafür gibt:

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dieselbe Antwort, wie erhalten, vorher.

2. Ein Beispiel einer impliziten Funktion, für die implizite Unterscheidung leichter sein könnte als das Versuchen, ausführliche Unterscheidung zu verwenden, ist

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Um das ausführlich in Bezug auf x zu unterscheiden, würde man (über die Algebra) vorherrschen

müssen:

und dann unterscheiden Sie diese Funktion. Das schafft zwei Ableitungen: ein für y> 0 und einen anderen für y

das Geben,

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3. Manchmal kann ausführliche Standardunterscheidung nicht verwendet werden und, um vorzuherrschen, muss die abgeleitete, implizite Unterscheidung verwendet werden. Ein Beispiel solch eines Falls ist die Gleichung y − y = x. Es ist unmöglich, y ausführlich auszudrücken, weil eine Funktion von x und deshalb dy/dx durch die ausführliche Unterscheidung nicht gefunden werden kann. Mit der impliziten Methode kann dy/dx ausgedrückt werden:

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wo das Ausklammern von Shows das

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der die Endantwort nachgibt

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der für definiert wird

Formel für zwei Variablen

"Der Implizite Funktionslehrsatz stellt fest, dass, wenn auf einer offenen Platte definiert wird, die enthält, wo, und und auf der Platte dann dauernd sind, die Gleichung als eine Funktion der Nähe definiert, durch die der Punkt und die Ableitung dieser Funktion..." gegeben werden

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wo und die Ableitungen in Bezug auf x und y anzeigen.

Die obengenannte Formel kommt daraus, die verallgemeinerte Kettenregel zu verwenden, die Gesamtableitung — in Bezug auf x — von beiden Seiten von F (x, y) = 0 zu erhalten:

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und folglich

Impliziter Funktionslehrsatz

Es kann gezeigt werden, dass, wenn durch eine glatte Subsammelleitung in gegeben wird, und ein Punkt dieser solcher Subsammelleitung dass der Tangente-Raum ist, dort ist nicht vertikal (der ist), dann in einigen, dass kleine genug Nachbarschaft dessen durch einen parametrization gegeben wird, wo eine glatte Funktion ist. Auf weniger Fachsprache bestehen implizite Funktionen und können unterschieden werden, wenn die Tangente zum angenommenen Graphen nicht vertikal sein würde. Im Standardfall, wo uns eine Gleichung gegeben wird

die Bedingung darauf kann mittels partieller Ableitungen überprüft werden.

Anwendungen in der Volkswirtschaft

Randrate des Ersatzes

In der Volkswirtschaft, wenn der Niveau-Satz eine Teilnahmslosigkeitskurve für die Mengen x und zwei Waren verbrauchten y ist, wird der absolute Wert der impliziten Ableitung als die Randrate des Ersatzes der zwei Waren interpretiert: Wie viel mehr von y man erhalten muss, um gegen einen Verlust von 1 Einheit von x gleichgültig zu sein.

Siehe auch

• Niveau hat gesetzt
• Isocontour
• Isosurface
• Randrate des Ersatzes
• Impliziter Funktionslehrsatz
• Logarithmische Unterscheidung
• Wiederholung (Wiederholende Lösungen für implizite Funktionen)