In der Statistik ist rückwärts Gehen von Deming, genannt nach W. Edwards Deming, ein Modell der Fehler in den Variablen, das versucht, die Linie von für einen zweidimensionalen dataset passenden besten zu finden. Es unterscheidet sich vom einfachen geradlinigen rückwärts Gehen, in dem es für Fehler in Beobachtungen sowohl auf dem x-als auch auf der y-Achse verantwortlich ist. Es ist ein spezieller Fall der Summe kleinste Quadrate, der jede Zahl von Propheten und einer mehr komplizierten Fehlerstruktur berücksichtigt.

Rückwärts Gehen von Deming ist zur maximalen Wahrscheinlichkeitsbewertung eines Modells der Fehler in den Variablen gleichwertig, in dem, wie man angenommen wird, die Fehler für die zwei Variablen unabhängig sind und normalerweise, und das Verhältnis ihrer Abweichungen verteilt, δ angezeigt haben, ist bekannt. In der Praxis könnte dieses Verhältnis von verwandten Datenquellen geschätzt werden; jedoch nimmt das Verfahren des rückwärts Gehens keine Rechnung für mögliche Fehler im Schätzen dieses Verhältnisses.

Das Deming rückwärts Gehen ist nur ein bisschen schwieriger, im Vergleich zum einfachen geradlinigen rückwärts Gehen zu rechnen. Viele Softwarepakete haben in der klinischen Chemie, solche verwendet, die Analysieren - bietet sie, EP Schätzer, MedCalc und S-PLUS rückwärts Gehen von Deming an.

Das Modell wurde davon ursprünglich eingeführt, wer den Fall δ = 1, und dann mehr allgemein durch mit willkürlichem δ in Betracht gezogen hat. Jedoch sind ihre Ideen größtenteils unbemerkt seit mehr als 50 Jahren geblieben, bis sie dadurch wiederbelebt wurden und sich später noch mehr dadurch fortgepflanzt haben. Das letzte Buch ist so populär in der klinischen Chemie geworden und hat Felder verbunden, dass die Methode sogar synchronisiertes rückwärts Gehen von Deming in jenen Feldern war.

Spezifizierung

Nehmen Sie an, dass die verfügbaren Daten (y, x) mismeasured Beobachtungen der "wahren" Werte (y *, x *) sind:

:

y_i &= y^ * _ ich + \varepsilon_i, \\

x_i &= x^ * _ ich + \eta_i,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo Fehler ε und η unabhängig sind und, wie man annimmt, das Verhältnis ihrer Abweichungen bekannt ist:

:

In der Praxis ist die Abweichung und Rahmen häufig unbekannt, der die Schätzung kompliziert, aber wo die Maß-Methode dafür und dasselbe ist, werden sie wahrscheinlich so dass für diesen Fall gleich sein.

Wir bemühen uns, die Linie "am besten passend" y* = β + βx *, solch zu finden, dass die belastete Summe von kariertem residuals des Modells minimiert wird:

:

Lösung

Die Lösung kann in Bezug auf die zweiten Grades Beispielmomente ausgedrückt werden. D. h. wir berechnen zuerst die folgenden Mengen (alle Summen gehen von mir = 1 zu n):

:

& \overline {x} = \frac {1} {n }\\summieren x_i, \quad \overline {y} = \frac {1} {n }\\summieren y_i, \\

& s_ {xx} = \tfrac {1} {n-1 }\\Summe (x_i-\overline {x}) ^2, \\

& s_ {xy} = \tfrac {1} {n-1 }\\Summe (x_i-\overline {x}) (y_i-\overline {y}), \\

& s_ {yy} = \tfrac {1} {n-1 }\\Summe (y_i-\overline {y}) ^2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Schließlich werden die Am-Wenigsten-Quadratschätzungen der Rahmen des Modells sein

:

& \hat\beta_1 = \frac {s_ {yy}-\delta s_ {xx} + \sqrt {(s_ {yy}-\delta s_ {xx}) ^2 + 4\delta s_ {xy} ^2}} {2s_ {xy}} \\

& \hat\beta_0 = \overline {y} - \hat\beta_1\overline {x}, \\

& \hat {x} _i^* = x_i + \frac {\\hat\beta_1} {\\Hat\beta_1^2 +\delta} (y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1x_i).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der Fall von gleichen Fehlerabweichungen

Wenn rückwärts Gehen von Deming orthogonales rückwärts Gehen wird: Es minimiert die Summe von karierten rechtwinkligen Entfernungen von den Datenpunkten bis die Linie des rückwärts Gehens. Zeigen Sie in diesem Fall jede Beobachtung als ein Punkt z im komplizierten Flugzeug an (d. h. der Punkt (x, y) wird als z = x + iy geschrieben, wo ich die imaginäre Einheit bin). Zeigen Sie als Z die Summe der karierten Unterschiede der Datenpunkte vom centroid an (auch angezeigt in komplizierten Koordinaten), der der Punkt ist, dessen horizontale und vertikale Positionen die Durchschnitte von denjenigen der Datenpunkte sind. Dann:

• Wenn Z = 0, dann ist jede Linie durch den centroid eine Linie von besten orthogonal passend.
• Wenn Z  0, die orthogonale Linie des rückwärts Gehens den centroid durchgeht und zum Vektoren vom Ursprung bis parallel ist.

Eine trigonometrische Darstellung der orthogonalen Linie des rückwärts Gehens wurde von Coolidge 1913 gegeben.

Anwendung

Im Fall von drei Non-Collinear-Punkten im Flugzeug hat das Dreieck mit diesen Punkten als seine Scheitelpunkte einen einzigartigen Steiner inellipse, der Tangente zu den Seiten des Dreiecks an ihren Mittelpunkten ist. Die Hauptachse dieser Ellipse fällt auf der orthogonalen Linie des rückwärts Gehens für die drei Scheitelpunkte.

Siehe auch

• Modelle der Fehler in den Variablen

Referenzen

• Glaister, P. (März 2001). "Kleinste wieder besuchte Quadrate". The Mathematical Gazette 85: 104-107.