In der Zahlentheorie befasst sich das Feld der Annäherung von Diophantine, genannt nach Diophantus Alexandrias, mit der Annäherung von reellen Zahlen durch rationale Zahlen.

Der absolute Wert des Unterschieds zwischen der reellen Zahl, die näher zu kommen ist und die rationale Zahl, die ihm näher kommt, ist ein grobes Maß dessen, wie gut die Annäherung ist. Jedoch, da die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht sind, kann man immer rationale Zahlen finden, die willkürlich der Zahl nah sind, die näher wird kommt. So erzählt dieses Maß uns nichts über die "Qualität" der Annäherung.

Ein besseres Maß der Qualität der Annäherung ist vergleichsweise des Unterschieds zur Größe des Nenners.

Z.B sind 22/7 und 179/57 von π grob ebenso weit, aber Zahl-Theoretiker würden denken, dass 22/7 eine bessere Annäherung ist, weil sein Nenner kleiner ist.

Annäherung an algebraische Zahlen

Die Theorie von fortlaufenden Bruchteilen, in Bezug auf Quadratwurzeln von ganzen Zahlen und anderen quadratischen Irrationalzahlen, wurde aus einem diophantine Gesichtspunkt von Fermat, Euler und anderen studiert.

In den 1840er Jahren hat Joseph Liouville ein wichtiges Ergebnis auf allgemeinen algebraischen Zahlen (das Lemma auf der Seite für die Zahl von Liouville) erhalten. Wenn x eine vernunftwidrige algebraische Zahl des Grads n über die rationalen Zahlen ist, dann dort besteht eine solche Konstante dass

:

hält für alle ganzen Zahlen p und q wo.

Dieses Ergebnis hat ihm erlaubt, die ersten bewiesenen Beispiele von transzendenten Zahlen zu erzeugen. Diese Verbindung zwischen der diophantine Annäherung und Überlegenheitstheorie geht zum heutigen weiter. Viele der Probetechniken werden zwischen den zwei Gebieten geteilt.

Das Ergebnis von Liouville wurde von Axel Thue und anderen verbessert, schließlich zu einem endgültigen Lehrsatz von Roth führend: Die Hochzahl im Lehrsatz wurde von n, dem Grad der algebraischen Zahl zu jeder Zahl reduziert, die größer ist als 2 (z.B 2 + ε). Nachher hat Wolfgang M. Schmidt das zum Fall der gleichzeitigen Annäherung verallgemeinert. Die Beweise waren schwierig, und nicht wirksam. Das bedeutet, dass wir die Ergebnisse oder ihre Beweise nicht verwenden können, um Grenzen auf der Größe von Lösungen verbundener diophantine Gleichungen zu erhalten. Jedoch können die Techniken und Ergebnisse häufig an den bestimmten die Zahl von Lösungen solcher Gleichungen gewöhnt sein.

Bemerken Sie, dass Khinchine das wenn bewiesen

hat:

ist eine nichtzunehmende Funktion und

:

Ähnlich, wenn die Summe, dann für fast alle reellen Zahlen abweicht, gibt es ungeheuer viele solche rationale Zahlen p/q.

1941 haben R.J. Duffin und A.C. Schaeffer einen allgemeineren Lehrsatz bewiesen, der das Ergebnis von Khinchine einbezieht, und eine Vermutung jetzt bekannt durch ihren Namen als die Duffin-Schaeffer-Vermutung gemacht hat. 2006 haben V. Beresnevich und S. Velani eine Maß-Entsprechung von Hausdorff der Vermutung bewiesen, die in den Annalen der Mathematik veröffentlicht ist.

Es gibt mehrere wirksame Techniken und verfügbare Ergebnisse. Das allgemeinste ist niedrigere Grenzen für geradlinige Formen in Logarithmen, die von Alan Baker entwickelt wurden. Eine Verbesserung des Lehrsatzes von Baker durch Fel'dman hat dass angedeutet, wenn x eine algebraische Zahl des Grads n über die rationalen Zahlen ist, dann dort bestehen effektiv berechenbare Konstanten c (x)> 0 und 0

hält für alle vernünftigen ganzen Zahlen mit q nicht Null.

Rechteckverteilung

Ein anderes Thema, das eine gründliche Entwicklung gesehen hat, ist die Theorie der Rechteckverteilung mod 1. Nehmen Sie eine Folge a, a... reeller Zahlen und denken Sie ihre Bruchteile. D. h. schauen Sie abstrakter auf die Folge in R/Z, der ein Kreis ist. Für jeden Zwischenraum I auf dem Kreis schauen wir auf das Verhältnis der Elemente der Folge, die darin, bis zu eine ganze Zahl N liegen, und es mit dem Verhältnis des von mir besetzten Kreisumfangs vergleichen. Rechteckverteilung bedeutet, dass in der Grenze weil N wächst, neigt das Verhältnis von Erfolgen auf dem Zwischenraum zum 'erwarteten' Wert. Hermann Weyl hat ein grundlegendes Ergebnis bewiesen zeigend, dass das zu Grenzen für von der Folge gebildete Exponentialsummen gleichwertig war. Das hat gezeigt, dass Annäherungsergebnisse von Diophantine nah mit dem allgemeinen Problem der Annullierung in Exponentialsummen verbunden gewesen sind, die überall in der analytischen Zahlentheorie im Springen von Fehlerbegriffen vorkommt.

Verbunden mit der Rechteckverteilung ist das Thema von Unregelmäßigkeiten des Vertriebs, der von einer kombinatorischen Natur ist.

Ungelöste Probleme

Es gibt noch einfach festgesetzte ungelöste Probleme, die in der Annäherung von Diophantine, zum Beispiel die Vermutung von Littlewood bleiben.

Neue Entwicklungen

In seiner Plenaradresse auf dem Internationalen Mathematischen Kongress in Kyoto (1990) hat Grigory Margulis ein breites Programm entworfen, das in der ergodic Theorie eingewurzelt ist, die erlaubt, mit der Zahl theoretische Ergebnisse mit den dynamischen und ergodic Eigenschaften von Handlungen von Untergruppen von halbeinfachen Lüge-Gruppen zu beweisen. Die Arbeit von D.Kleinbock, G.Margulis und ihren Mitarbeitern hat die Macht dieser neuartigen Annäherung an klassische Probleme in der Annäherung von Diophantine demonstriert. Unter seinen bemerkenswerten Erfolgen sind der Beweis der mit den Jahrzehnten alten Vermutung von Oppenheim durch Margulis, mit späteren Erweiterungen durch Dani und Margulis und Eskin-Margulis-Mozes und den Beweis von Vermutungen von Baker und Sprindzhuk in den Annäherungen von Diophantine auf Sammelleitungen durch Kleinbock und Margulis. Verschiedene Generalisationen der obengenannten Ergebnisse von Aleksandr Khinchin in der metrischen Annäherung von Diophantine sind auch innerhalb dieses Fachwerks erhalten worden.

Siehe auch

• Folge der niedrigen Diskrepanz
• Lehrsatz des Davenport-Schmidt

Referenzen

• Grigory Margulis, Annäherung von Diophantine, Gitter und Flüsse auf homogenen Räumen. Ein Panorama der Zahlentheorie oder der Ansicht vom Garten von Baker (Zürich, 1999), 280-310, Cambridge Univ. Presse, Cambridge, 2002 internationale Standardbuchnummer 0-521-80799-9.

Wolfgang M. Schmidt. Annäherung von Diophantine. Vortrag-Zeichen in der Mathematik 785. Springer. (1980 [1996 mit geringen Korrekturen])

• Wolfgang M. Schmidt. Annäherungen von Diophantine und Gleichungen von Diophantine, Vortrag-Zeichen in der Mathematik, Springer Verlag 2000

Außenverbindungen

• Diophantine Annäherung: historischer Überblick. Von der Einführung bis Methode-Kurs von Diophantine durch Michel Waldschmidt.