Einheitsplatte

In der Mathematik, die offene Einheitsplatte (oder Scheibe) um P (wo P ein gegebener Punkt im Flugzeug ist), ist der Satz von Punkten, deren Entfernung von P weniger als 1 ist:

:

Die geschlossene Einheitsplatte um P ist der Satz von Punkten, deren Entfernung von P weniger ist als oder gleich einem:

:

Einheitsplatten sind spezielle Fälle von Platten und Einheitsbällen.

Ohne weitere Spezifizierungen wird die Begriff-Einheitsplatte für die offene Einheitsplatte über den Ursprung, in Bezug auf den Standard Euklidisch metrisch verwendet. Es ist das Interieur eines Kreises des Radius 1, in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung. Dieser Satz kann mit dem Satz aller komplexen Zahlen des absoluten Werts weniger als ein identifiziert werden. Wenn angesehen, als eine Teilmenge des komplizierten Flugzeugs (C) wird die Einheitsplatte häufig angezeigt.

Die offene Einheitsplatte, das Flugzeug und das obere Halbflugzeug

Die Funktion

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ist ein Beispiel einer echten analytischen und bijektiven Funktion von der offenen Einheitsplatte bis das Flugzeug; seine umgekehrte Funktion ist auch analytisch. Betrachtet als eine echte 2-dimensionale analytische Sammelleitung ist die offene Einheitsplatte deshalb zum ganzen Flugzeug isomorph. Insbesondere die offene Einheitsplatte ist homeomorphic zum ganzen Flugzeug.

Es gibt jedoch keine conformal bijektive Karte zwischen der offenen Einheitsplatte und dem Flugzeug. Betrachtet als eine Oberfläche von Riemann ist die offene Einheitsplatte deshalb vom komplizierten Flugzeug verschieden.

Es gibt conformal bijektive Karten zwischen der offenen Einheitsplatte und dem offenen oberen Halbflugzeug. So betrachtet wie eine Oberfläche von Riemann ist die offene Einheitsplatte ("biholomorphic", oder "conformally gleichwertig") zum oberen Halbflugzeug isomorph, und die zwei werden häufig austauschbar verwendet.

Viel mehr allgemein stellt der Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, fest, dass jede einfach verbundene offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs, das vom komplizierten Flugzeug selbst verschieden ist, einen conformal und bijektive Karte zur offenen Einheitsplatte zulässt.

Eine bijektive Conformal-Karte von der offenen Einheitsplatte bis das offene obere Halbflugzeug ist die Transformation von Möbius

: der das Gegenteil von Cayley ist, verwandeln sich.

Geometrisch kann man sich die echte Achse vorstellen, die wird biegt und zusammenschrumpfen gelassen, so dass das obere Halbflugzeug das Interieur der Platte wird und die echte Achse den Kreisumfang der Platte, bis auf einen Punkt oben, den "Punkt an der Unendlichkeit" bildet. Eine bijektive Conformal-Karte von der offenen Einheitsplatte bis das offene obere Halbflugzeug kann auch als die Zusammensetzung von zwei stereografischen Vorsprüngen gebaut werden: Zuerst wird die Einheitsplatte aufwärts auf die Einheit oberer Halbbereich stereografisch geplant, den "Südpol" des Einheitsbereichs als das Vorsprung-Zentrum nehmend, und dann wird dieser Halbbereich seitwärts auf ein vertikales Halbflugzeug geplant, das den Bereich berührt, den Punkt auf dem Halbbereich gegenüber dem rührenden Punkt als Vorsprung-Zentrum nehmend.

Die Einheitsplatte und das obere Halbflugzeug sind als Gebiete für Räume von Hardy nicht austauschbar. Das Beitragen zu diesem Unterschied ist die Tatsache, dass der Einheitskreis begrenzten (eindimensionalen) Lebesgue messen lässt, während die echte Linie nicht tut.

Hyperbelraum

Die offene Einheitsplatte wird als ein Modell für das Hyperbelflugzeug, durch das Einführen eines neuen metrischen darauf, metrischer Poincaré allgemein verwendet. Mit der obengenannten erwähnten Conformal-Karte zwischen der offenen Einheitsplatte und dem oberen Halbflugzeug kann dieses Modell ins Halbflugzeug-Modell von Poincaré des Hyperbelflugzeugs verwandelt werden. Sowohl die Platte von Poincaré als auch das Halbflugzeug von Poincaré sind conformal Modelle des Hyperbelraums, d. h. im Modell gemessene Winkel fallen mit Winkeln im Hyperbelraum zusammen, und folglich werden die Gestalten (aber nicht die Größen) kleiner Zahlen bewahrt.

Auf ein anderes Modell des Hyperbelraums wird auch auf der offenen Einheitsplatte gebaut: das Modell von Klein. Es ist nicht conformal, aber hat das Eigentum, dass Geraden im Modell Geraden im Hyperbelraum entsprechen.

Einheitsplatten in Bezug auf andere Metrik

Man denkt auch Einheitsplatten in Bezug auf andere Metrik. Zum Beispiel mit dem Taxi metrisch und der Tschebyscheff sehen metrische Platten wie Quadrate aus (wenn auch die zu Grunde liegenden Topologien dasselbe als das Euklidische sind).

Das Gebiet der Euklidischen Einheitsplatte ist π und sein Umfang ist 2π. Im Gegensatz ist der Umfang (hinsichtlich des Taxis metrisch) der Einheitsplatte in der Taxi-Geometrie 8. 1932 hat Stanisław Gołąb bewiesen, dass in der Metrik, die aus einer Norm entsteht, der Umfang der Einheitsplatte jeden Wert zwischen 6 und 8 nehmen kann, und dass diese Extremal-Werte erhalten werden, wenn, und nur wenn die Einheitsplatte ein regelmäßiges Sechseck oder ein Parallelogramm beziehungsweise ist.

Siehe auch

  • Einheitsplattengraph
  • Bieberbach vermuten
  • S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Gruben Cracovie 6 (1932), 179.

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