:For der Maschinenbau und Architektur-Gebrauch, sieh isometrischen Vorsprung. Für die Isometrie in der Differenzialgeometrie, sieh Isometrie (Geometrie von Riemannian).

In der Mathematik ist eine Isometrie eine Entfernung bewahrende Karte zwischen metrischen Räumen. Geometrische Zahlen, die durch eine Isometrie verbunden sein können, werden kongruent genannt.

Isometrien werden häufig in Aufbauten verwendet, wo ein Raum in einem anderen Raum eingebettet wird. Zum Beispiel ist die Vollziehung einer metrischen RaumM mit einer Isometrie von der M in die M', ein Quotient-Satz des Raums von Cauchyfolgen auf der M verbunden. Die ursprüngliche RaumM ist so zu einem Subraum eines ganzen metrischen Raums isometrisch isomorph, und sie wird gewöhnlich mit diesem Subraum identifiziert. Andere Einbetten-Aufbauten zeigen, dass jeder metrische Raum zu einer geschlossenen Teilmenge von einem normed Vektorraum isometrisch isomorph ist, und dass jeder ganze metrische Raum zu einer geschlossenen Teilmenge von einem Banachraum isometrisch isomorph ist.

Ein isometrischer surjective geradliniger Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert wird einen einheitlichen Maschinenbediener genannt.

Definitionen

Der Begriff der Isometrie kommt in zwei Hauptgeschmäcken: globale Isometrie und eine schwächere Begriff-Pfad-Isometrie oder arcwise Isometrie. Beide werden häufig gerade Isometrie genannt, und man sollte vom Zusammenhang bestimmen, welcher beabsichtigt ist.

Lassen Sie X und Y metrische Räume mit der Metrik d und d sein. Ein Karte-ƒ: X  Y werden eine Isometrie oder Entfernungsbewahrung genannt, wenn für einen a b  X man hat

Eine Isometrie ist automatisch injective. Klar ist jede Isometrie zwischen metrischen Räumen ein topologisches Einbetten.

Eine globale Isometrie, isometrischer Isomorphismus oder kartografisch darstellende Kongruenz sind eine bijektive Isometrie.

Zwei metrische Räume X und Y werden isometrisch genannt, wenn es eine bijektive Isometrie von X bis Y gibt. Der Satz von bijektiven Isometrien von einem metrischen Raum bis sich Formen eine Gruppe in Bezug auf die Funktionszusammensetzung, genannt die Isometrie-Gruppe.

Es gibt auch den schwächeren Begriff der Pfad-Isometrie oder arcwise Isometrie:

Eine Pfad-Isometrie oder arcwise Isometrie sind eine Karte, die die Längen von Kurven (nicht notwendigerweise bijektiv) bewahrt.

Das wird häufig gerade Isometrie genannt, und man sollte vom Zusammenhang bestimmen, welcher beabsichtigt ist.

Beispiele

• Jedes Nachdenken, Übersetzung und Folge sind eine globale Isometrie auf Euklidischen Räumen. Siehe auch Euklidische Gruppe.
• Die Karte RR, der dadurch definiert ist, ist eine Pfad-Isometrie, aber nicht eine Isometrie.
• Die isometrischen geradlinigen Karten von C bis sich sind der einheitliche matrices.

Geradlinige Isometrie

In Anbetracht zwei normed Vektorräume V und W ist eine geradlinige Isometrie eine geradlinige Karte f: V  W, der die Normen bewahrt:

für den ganzen v in V. Geradlinige Isometrien sind Entfernung bewahrende Karten im obengenannten Sinn. Sie sind globale Isometrien, wenn, und nur wenn sie surjective sind.

Durch den Mazur-Ulam Lehrsatz ist jede Isometrie von normed Vektorräumen über R affine.

Generalisationen

• In Anbetracht einer positiven reellen Zahl ε ein ε-isometry oder ist fast Isometrie (hat auch eine Annäherung von Hausdorff genannt), eine Karte zwischen metrischen solchen Räumen dass
• # für x,x′  X hat man d ((x) ƒ, ƒ (x&prime)) −d (x,x&prime) (y, (x) ƒ)
• F. S. Beckman und D. A. Quarles der Jüngere. Auf Isometrien des Euklidischen Raums, Proc. Amer. Mathematik. Soc. 4 (1953) 810-815.