Ein umgekehrtes Pendel ist ein Pendel, das seine Masse über seinem Türangel-Punkt hat. Es wird häufig mit dem Türangel-Punkt durchgeführt, der auf einem Karren bestiegen ist, der sich horizontal bewegen kann und einen Karren und Pol genannt werden kann. Die meisten Anwendungen beschränken das Pendel auf 1 Grad der Freiheit durch das Anbringen des Pols an einer Achse der Folge. Wohingegen ein normales Pendel stabil ist, wenn es abwärts hängt, ist ein umgekehrtes Pendel von Natur aus nicht stabil, und muss aktiv erwogen werden, um aufrecht zu bleiben; das kann entweder durch die Verwendung eines Drehmoments am Türangel-Punkt, durch das Bewegen des Türangel-Punktes horizontal als ein Teil eines Feed-Back-Systems, das Ändern der Rate der Folge einer Masse getan werden, die auf dem Pendel auf einer Achse-Parallele zur Türangel-Achse und dadurch das Erzeugen eines Nettodrehmoments auf dem Pendel, oder durch das Oszillieren des Türangel-Punkts vertikal bestiegen ist. Eine einfache Demonstration, den Türangel-Punkt in einem Feed-Back Systeme zu bewegen, wird durch das Ausgleichen eines nach oben gerichteten Besenstiels auf dem Ende von jemandes Finger erreicht.

Ein zweiter Typ des umgekehrten Pendels ist ein tiltmeter für hohe Strukturen, der aus einer Leitung besteht, die in den Boden des Fundaments verankert ist und einer Hin- und Herbewegung in einer Lache von Öl an der Oberseite von der Struktur beigefügt ist, die Geräte hat, um Bewegung der neutralen Position der Hin- und Herbewegung weg von seiner ursprünglichen Position zu messen.

Übersicht

Das umgekehrte Pendel ist ein klassisches Problem in der Dynamik und Steuerungstheorie und wird als ein Abrisspunkt weit verwendet, um Kontrollalgorithmen (PID Kontrolleure, Nervennetze, krause Kontrolle, genetische Algorithmen, usw.) zu prüfen. Schwankungen auf diesem Problem schließen vielfache Verbindungen ein, der Bewegung des Karrens erlaubend, befohlen zu werden, während sie das Pendel aufrechterhalten, und das System des Karren-Pendels auf einer Wippe erwägen. Das umgekehrte Pendel ist mit der Rakete- oder Raketenleitung verbunden, wo das Zentrum des Ernstes hinter dem Zentrum der Schinderei gelegen wird, die aerodynamische Instabilität verursacht. Das Verstehen eines ähnlichen Problems kann durch die einfache Robotertechnik in der Form eines balancierenden Karrens gezeigt werden. Das Ausgleichen eines nach oben gerichteten Besenstiels auf dem Ende von jemandes Finger ist eine einfache Demonstration, und das Problem wird in der Technologie des Segway PT, eines selbstbalancierenden Transport-Geräts behoben.

Eine andere Weise, wie ein umgekehrtes Pendel, ohne jedes Feed-Back oder Kontrollmechanismus stabilisiert werden kann, ist durch das Oszillieren der Unterstützung schnell oben und unten. Wenn die Schwingung (in Bezug auf seine Beschleunigung und Umfang) dann genug stark ist, kann sich das umgekehrte Pendel von Unruhen auf eine auffallend gegenintuitive Weise erholen. Wenn die Fahrpunkt-Bewegungen in der einfachen harmonischen Bewegung, die Bewegung des Pendels durch die Gleichung von Mathieu beschrieben wird.

Gleichungen der Bewegung

Die Gleichungen der Bewegung von umgekehrten Pendeln sind Abhängiger darauf, welche Einschränkungen auf der Bewegung des Pendels gelegt werden. Umgekehrte Pendel können in verschiedenen Konfigurationen geschaffen werden, die auf mehrere Gleichungen der Bewegung hinauslaufen, die das Verhalten des Pendels beschreibt.

Stationärer Türangel-Punkt

In einer Konfiguration, wo der Türangel-Punkt des Pendels im Raum befestigt wird, ist die Gleichung der Bewegung dem für ein unumgekehrtes Pendel ähnlich. Die Gleichung der Bewegung nimmt unten keine Reibung oder jeden anderen Widerstand gegen die Bewegung, eine starre massless Stange und die Beschränkung zur 2-dimensionalen Bewegung an.

:

Wo die winkelige Beschleunigung des Pendels ist, der Standardernst auf der Oberfläche der Erde ist, die Länge des Pendels ist, und die winkelige von der Gleichgewicht-Position gemessene Versetzung ist.

Wenn hinzugefügt, zu beiden Seiten wird es dasselbe Zeichen wie der winkelige Beschleunigungsbegriff haben:

:

So wird sich das umgekehrte Pendel weg vom vertikalen nicht stabilen Gleichgewicht in der Richtung am Anfang versetzt beschleunigen, und die Beschleunigung ist zur Länge umgekehrt proportional. Hohe Pendel fallen langsamer als kurze.

Abstammung mit dem Drehmoment und Moment der Trägheit:

Wie man

annimmt, besteht das Pendel aus einer Punkt-Masse von der Masse, die am Ende einer massless starren Stange von der Länge angebracht ist, die einem Türangel-Punkt am Ende gegenüber der Punkt-Masse beigefügt ist.

Das Nettodrehmoment des Systems muss dem Moment von Trägheitszeiten die winkelige Beschleunigung gleichkommen:

:

Das Drehmoment wegen des Ernstes, der das Nettodrehmoment zur Verfügung stellt:

:

Wo der von der umgekehrten Gleichgewicht-Position gemessene Winkel ist.

Die resultierende Gleichung:

:

Der Moment von Trägheits-für eine Punkt-Masse:

:

Im Fall vom umgekehrten Pendel ist der Radius die Länge der Stange.

Das Ersetzen in

:

Masse und wird geteilt wird von jeder Seite geteilt, die hinausläuft:

:

Umgekehrtes Pendel auf einem Karren

Ein umgekehrtes Pendel auf einem Karren besteht daraus, eine horizontal bewegende Basis, wie gezeigt, im Image nach rechts zu haben. Der Karren wird auf die geradlinige Bewegung eingeschränkt und ist Kräften unterworfen, die hinauslaufen oder Bewegung hindern.

Die Gleichungen der Bewegung können mit den Gleichungen von Lagrange abgeleitet werden. Wir beziehen uns auf die Zeichnung nach rechts, wo der Winkel des Pendels der Länge in Bezug auf die vertikale Richtung ist und die stellvertretenden Kräfte Ernst und eine Außenkraft F in der X-Richtung sind. Definieren Sie, um die Position des Karrens zu sein. Der Lagrangian des Systems ist:

:

L = \frac {1} {2} M v_1^2 + \frac {1} {2} M v_2^2 - M g \ell\cos\theta

</Mathematik>

wo die Geschwindigkeit des Karrens ist und die Geschwindigkeit der Punkt-Masse ist.

und kann in Bezug auf x und durch das Schreiben der Geschwindigkeit als die erste Ableitung der Position ausgedrückt werden;

:

V_1^2 =\dot x^2

</Mathematik>:

V_2^2 =\left ({\\frac {d} {dt}} hat {\\(x-\ell\sin\theta\right) }\\Recht) verlassen, ^2 + \left ({\\frac {d} {dt}} {\\link (\ell\cos\theta \right) }\\Recht) ^2

</Mathematik>

Die Vereinfachung des Ausdrucks dafür führt:

:

v_2^2 = \dot x^2 - 2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

</Mathematik>

Durch den Lagrangian wird jetzt gegeben:

:

L = \frac {1} {2} \left (M+m \right) \dot X^2-m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac {1} {2} M \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

</Mathematik>

und die Gleichungen der Bewegung sind:

:

\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} t\{\\teilweise {L }\\über \partial {\\Punkt x}} - {\\teilweise {L }\\über \partial x} = F

</Mathematik>:

\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} t\{\\teilweise {L }\\über \partial {\\punktieren \theta}} - {\\teilweise {L }\\über \partial \theta} = 0

</Mathematik>

das Ersetzen in diesen Gleichungen und Vereinfachung führt zu den Gleichungen, die die Bewegung des umgekehrten Pendels beschreiben:

:

\left (M + M \right) \ddot x - M \ell \ddot \theta \cos \theta + M \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

</Mathematik>:

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

</Mathematik>

Diese Gleichungen sind nichtlinear, aber da die Absicht eines Regelsystems sein würde, das Pendel aufrecht zu behalten, können die Gleichungen linearized ringsherum sein.

Pendel mit der Schwingungsbasis

Die Gleichung der Bewegung für ein mit einem massless verbundenes Pendel, Basis in Schwingungen versetzend, wird derselbe Weg wie mit dem Pendel auf dem Karren abgeleitet. Durch die Position der Punkt-Masse wird jetzt gegeben:

:

und die Geschwindigkeit wird durch die Einnahme der ersten Ableitung der Position gefunden:

:

Der Lagrangian für dieses System kann als geschrieben werden:

:

L = \frac {1} {2} M \left (\dot Y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2 \right) - M g \left (y + \ell \cos \theta \right)

</Mathematik>

und die Gleichung der Bewegung folgt:

:

{\\mathrm {d} \over \mathrm {d} t\{\\teilweise {L }\\über \partial {\\punktieren \theta}} - {\\teilweise {L }\\über \partial \theta} = 0

</Mathematik>

hinauslaufend:

:

\ell \ddot \theta - \ddot y \sin \theta = g \sin \theta.

</Mathematik>

Wenn y eine einfache harmonische Bewegung vertritt, ist die folgende Differenzialgleichung:

:

\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = - {Ein \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

</Mathematik>

Diese Gleichung hat elementare Lösungen der geschlossenen Form nicht, aber kann in einer Vielfalt von Wegen erforscht werden. Ihm wird durch die Gleichung von Mathieu zum Beispiel nah näher gekommen, wenn der Umfang von Schwingungen klein ist. Analysen zeigen, dass das Pendel aufrecht für schnelle Schwingungen bleibt. Der erste Anschlag zeigt, dass, wenn eine langsame Schwingung ist, das Pendel schnell, wenn gestört, von der aufrechten Position fällt. Der Winkel überschreitet 90 ° nach einer kurzen Zeit, was bedeutet, dass das Pendel auf dem Boden gefallen ist. Wenn eine schnelle Schwingung ist, kann das Pendel stabil um die vertikale Position behalten werden. Der zweite Anschlag zeigt, dass, wenn gestört, von der vertikalen Position das Pendel jetzt eine Schwingung um die vertikale Position anfängt. Die Abweichung von der vertikalen Position bleibt klein, und das Pendel fällt nicht.

Typen von umgekehrten Pendeln

Es gibt viele Beispiele des umgekehrten Pendel-Modells sowohl Mann, der gemacht als auch in der natürlichen Welt gefunden ist. Das umgekehrte Pendel ist in verschiedenen Geräten verwendet worden, und versuchend, ein umgekehrtes Pendel zu erwägen, wirft ein einzigartiges Technikproblem für Forscher auf. Wohl ist das am meisten überwiegende Beispiel eines umgekehrten Pendels ein Mensch. Eine Person hat einen aufrechten Körper und muss ständig Anpassungen machen, um Gleichgewicht ob Stehen, das Wandern oder Laufen aufrechtzuerhalten. Andere einfache Beispiele schließen balancierende Besen oder metersticks auf der-Hand ein. Das Erzielen der Stabilität eines umgekehrten Pendels ist eine allgemeine Technikherausforderung für Forscher geworden. Es gibt verschiedene Schwankungen des umgekehrten Pendels auf einem Karren im Intervall von einer Stange auf einem Karren zu einem segmentierten Vielfache hat pedulum auf einem Karren umgekehrt. Eine andere Schwankung legt die Stange des umgekehrten Pendels oder segmentierte Stange auf dem Ende eines rotierenden Zusammenbaues. Sowohl im Karren als auch in rotierenden System kann das umgekehrte Pendel nur in einem Flugzeug fallen. Die umgekehrten Pendel in diesen Projekten können entweder erforderlich sein, nur Gleichgewicht aufrechtzuerhalten, nachdem eine Gleichgewicht-Position erreicht wird oder im Stande sein, Gleichgewicht allein zu erreichen. Eine andere Plattform ist umgekehrtes Pendel eines zwei umgedrehten Ausgleichens. Die zwei umgedrehte Plattform ist in der Lage, an Ort und Stelle Angebot von sehr viel maneuerability zu spinnen. Und doch balanciert eine andere Schwankung auf einem einzelnen Punkt. Ein Kreisel, ein Einrad oder ein umgekehrtes Pendel oben auf einem kugelförmigen Ball beides Gleichgewicht auf einem einzelnen Punkt. Wie abgeleitet, über dem umgekehrten Pendel kann auch erreicht werden, indem es eine vertikal schwingende Basis gehabt wird.

Beispiel des umgekehrten Pendels

Das umgekehrte Pendel war ein Hauptbestandteil im Design von mehreren frühen Seismographen wegen seiner innewohnenden Instabilität, die auf eine messbare Antwort auf jede Störung hinausläuft.

Siehe auch

• Pendel
• Das Selbstausgleichen des Einrades
• Segway PT
• Doppeltes umgekehrtes Pendel
• Trägheitsradpendel
• Pendel von Furuta
• iBOT
• Roboter von Humanoid
• Einrad
• Ballbot
• Schwingung
• D. Liberzon Switching in Systemen und Kontrolle (2003 Springer) Seiten 89ff

Weiterführende Literatur

• Franklin;u. a. (2005). Feed-Back-Kontrolle von dynamischen Systemen, 5, Prentice Hall. Internationale Standardbuchnummer 0-13-149930-0

Links

• YouTube - hat Pendel umgekehrt
• YouTube - doppeltes Pendel auf einem Karren
• YouTube - dreifaches Pendel auf einem Karren
• Eine dynamische Simulation eines umgekehrten Pendels auf einer Schwingungsbasis
• Umgekehrtes Pendel, das mit mehreren Kontrolllösungen in Matlab modelliert