Martingal bezieht sich auf eine Klasse von Wetten-Strategien, die daraus entstanden sind und im 18. Jahrhundert Frankreich populär waren. Die einfachste von diesen Strategien wurde für ein Spiel entworfen, in dem der Spieler seinen Anteil gewinnt, wenn eine Münze Köpfe heraufkommt und ihn verliert, wenn die Münze Schwänze heraufkommt. Die Strategie ließ den Spieler seine Wette nach jedem Verlust verdoppeln, so dass der erste Gewinn alle vorherigen Verluste plus der Gewinn ein dem ursprünglichen Anteil gleicher Gewinn wieder erlangen würde. Die Martingal-Strategie ist auf das Roulette ebenso angewandt worden, weil die Wahrscheinlichkeit des Schlagens entweder rot oder schwarz 50 % nah ist.

Da ein Spieler mit dem unendlichen Reichtum fast sicher schließlich Köpfe schnipsen wird, wurde die Martingal-Wetten-Strategie als ein sicheres Ding von denjenigen gesehen, die es verteidigt haben. Natürlich hat keiner der Spieler tatsächlich unendlichen Reichtum besessen, und das Exponentialwachstum der Wetten würde schließlich bankrotte "unglückliche" Spieler, die beschlossen haben, das Martingal zu verwenden. Es ist deshalb ein gutes Beispiel eines Vertriebs von Taleb - der Spieler gewinnt gewöhnlich eine kleine Nettobelohnung, so scheinend, eine gesunde Strategie zu haben. Jedoch bleibt der erwartete Wert des Spielers wirklich tatsächlich Null, weil die kleine Wahrscheinlichkeit, dass er einen katastrophalen Verlust genau ertragen wird, mit seinem erwarteten Gewinn balanciert.

Kasino-Wetten-Grenzen beseitigen die Wirksamkeit, die Martingal-Strategie zu verwenden.

Wirkung der Abweichung

Manchmal, indem er eine Pechsträhne provisorisch vermeidet, erreicht ein Wetter ein besseres Ergebnis als die erwartete negative Rückkehr. Eine gerade Reihe von Verlusten ist die einzige Folge von Ergebnissen, die auf einen Verlust des Geldes so hinausläuft, selbst wenn ein Spieler die Mehrheit seiner Wetten verloren hat, kann er noch vorn gesamt sein, da er immer 1 Einheit gewinnt, wenn eine Wette, unabhängig von wie viel vorherige Verluste gewinnt.

Intuitive Analyse

Wenn der erwartete Wert des Arbeitsschlusses begrenzt ist (der in der Praxis wahr ist), erklärt das folgende Argument, warum das Wetten-System scheitert: Da Erwartung geradlinig ist, ist der erwartete Wert einer Reihe von Wetten gerade die Summe des erwarteten Werts jeder Wette. Seitdem in solchen Glücksspielen sind die Wetten unabhängig, die Erwartung jeder Wette hängt nicht ab, ob Sie vorher gewonnen haben oder verloren haben. In den meisten Kasino-Spielen ist der erwartete Wert jeder individuellen Wette negativ, so ist die Summe von vielen negativen Zahlen auch immer dabei, negativ zu sein.

Die Martingal-Strategie scheitert sogar mit dem unbegrenzten Arbeitsschluss, so lange es eine Grenze auf dem Ertrag oder auf den Wetten gibt (die auch in der Praxis wahr sind). Es ist nur mit dem unbegrenzten Reichtum, den Wetten und Zeit, dass die Martingal-Strategie erfolgreich sein kann.

Mathematische Analyse

Eine Runde des idealisierten Martingals ohne Zeit oder Krediteinschränkungen kann mathematisch wie folgt formuliert werden. Lassen Sie das Münzwerfen durch eine Folge von unabhängigen zufälligen Variablen vertreten werden, von denen jede H mit der Wahrscheinlichkeit gleich ist, p, und T mit der Wahrscheinlichkeit lassen N Zeit des Äußeren des ersten H sein; mit anderen Worten, und Wenn die Münze nie H zeigt, schreiben wir, dass N selbst eine zufällige Variable ist, weil es von den zufälligen Ergebnissen des Münzwerfens abhängt.

Im ersten Münzwerfen verliert der Spieler im Anschluss an die Martingal-Strategie Einheiten, einen Gesamtverlust Auf dem N-Werfen ansammelnd, es gibt einen Gewinn von 2 Einheiten, auf einen Nettogewinn von 1 Einheit über das erste N-Werfen hinauslaufend. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass das erste vier Münzwerfen T, T, T ist, H das Bilden Des Wetters verliert 1, 2, und 4 Einheiten auf dem ersten drei Werfen für einen Gesamtverlust von 7 Einheiten, gewinnt dann 8 Einheiten auf dem vierten Werfen für einen Nettogewinn von 1 Einheit. So lange die Münze schließlich Köpfen zeigt, begreift der Wetten-Spieler einen Gewinn.

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass d. h., dass die Münze nie Köpfen zeigt? Klar kann es nicht größer sein als die Wahrscheinlichkeit, dass das erste K-Werfen der ganze T ist; diese Wahrscheinlichkeit ist q

Dieses Eigentum der idealisierten Version des Martingals ist für die Anziehungskraft der Idee verantwortlich. In der Praxis kann der idealisierten Version nur aus zwei Gründen näher gekommen werden. Unbegrenzter Kredit, um vielleicht astronomische Verluste während langer Läufe von Schwänzen zu finanzieren, ist nicht verfügbar, und es gibt eine Grenze zur Zahl des Münzwerfens, das in jeder begrenzten Zeitspanne durchgeführt werden kann, die Möglichkeit ausschließend, lange genug zu spielen, um sehr lange Läufe von Schwänzen zu beobachten.

Als ein Beispiel, denken Sie einen Wetter mit einem verfügbaren Glück oder Kredit, von (etwa 9 Trillionen) Einheiten, grob die Größe der aktuellen nationalen US-Schuld in Dollars. Mit diesem sehr großen Glück kann sich der Spieler leisten, auf dem ersten 42 Werfen zu verlieren, aber ein Verlust auf dem 43. kann nicht bedeckt werden. Die Wahrscheinlichkeit des Verlierens auf dem ersten 42 Werfen ist, der eine sehr kleine Zahl sein wird, wenn Schwänze fast in jedem Werfen nicht sicher sind. Im schönen Fall, wo wir annehmen konnten, auf etwas auf der Ordnung des Werfens vor dem Sehen von 42 Konsekutivschwänzen zu warten; Münzen im Verhältnis von einem Werfen pro Sekunde werfend, würde das etwa 279,000 Jahre verlangen.

Diese Version des Spiels wird wahrscheinlich beiden Spielern unattraktiv sein. Der Spieler mit dem Glück kann annehmen, einen Kopf zu sehen und eine Einheit durchschnittlich jedes zwei Werfen, oder zwei Sekunden entsprechend einem jährlichen Einkommen von ungefähr 31.6 Millionen Einheiten zu gewinnen, bis Katastrophe (42 Schwänze) vorkommt. Das ist nur eine 0.0036-Prozent-Rückkehr auf dem Glück gefährdet. Der andere Spieler kann sich freuen, Verluste von 31.6 Millionen Einheiten pro Jahr bis zum Schlagen eines unglaublich großen Hauptgewinns, wahrscheinlich in etwas wie 279,000 Jahre, eine viel längere Periode zu festigen, als jede Währung noch bestanden hat. Wenn diese Version des Spiels auch dem ersten Spieler im Sinn ungünstig ist, dass es negatives erwartetes Gewinnen haben würde.

Die Unmöglichkeit, den langen Lauf, vorgeschrieben eine Grenze der Größe von Wetten oder einer Grenze in der Größe von jemandes Geldmitteln oder Linie des Kredits zu erobern, wird durch den fakultativen anhaltenden Lehrsatz bewiesen.

Mathematische Analyse einer einzelnen Runde

Lassen Sie eine Runde als eine Folge von Konsekutivverlusten definiert werden, die entweder von einem Gewinn oder von Bankrott des Spielers gefolgt sind. Nach einem Gewinn, der Spieler "Rücksetzen" und wird betrachtet, eine neue Runde angefangen zu haben. Eine dauernde Folge von Martingal-Wetten kann so in eine Folge von unabhängigen Runden verteilt werden. Folgender ist eine Analyse des erwarteten Werts einer Runde.

Lassen Sie q die Wahrscheinlichkeit sein zu verlieren (z.B für das amerikanische Doppelt-Nullroulette, es ist 10/19 für eine Wette über den Schwarzen oder rot). Lassen Sie B der Betrag der anfänglichen Wette sein. Lassen Sie n die begrenzte Zahl von Wetten sein, die sich der Spieler leisten kann zu verlieren.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle n Wetten verlieren wird, ist q. Wenn alle Wetten verlieren, ist der Gesamtverlust

Die Wahrscheinlichkeit der Spieler verliert alle n Wetten nicht, ist 1 − q. In allen anderen Fällen gewinnt der Spieler die Initiale hat (B) gewettet. So ist der erwartete Gewinn pro Runde

Wann auch immer q> 1/2, der Ausdruck 1 − (2q)

Nehmen Sie an, dass ein Spieler 63 Einheitsspielgeldmittel hat. Der Spieler könnte 1 Einheit auf der ersten Drehung wetten. Auf jedem Verlust wird die Wette verdoppelt. So, k als die Zahl nehmend, Konsekutivverlusten voranzugehen, wird der Spieler immer 2 Einheiten wetten.

Mit einem Gewinn auf jeder gegebenen Drehung wird der Spieler die 1 Nettoeinheit über die Summe hat zu diesem Punkt gewettet. Sobald dieser Gewinn erreicht wird, fängt der Spieler das System mit einer 1 Einheitswette wiederan.

Mit Verlusten auf allen ersten sechs Drehungen verliert der Spieler insgesamt 63 Einheiten. Das erschöpft die Geldmittel, und das Martingal kann nicht fortgesetzt werden.

In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, die kompletten Geldmittel zu verlieren und unfähig zu sein, das Martingal fortzusetzen, der Wahrscheinlichkeit von 6 Konsekutivverlusten gleich: (10/19) ^6 = 2.1256 %. Die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit gleich, 6mal zu verlieren: 1 - (20/38) ^6 = 97.8744 %.

Der erwartete gewonnene Betrag ist (1 x 0.978744) = 0.978744.

Der erwartete verlorene Betrag ist (63 x 0.021256) = 1.339118.

So ist der erwartete Gesamtwert für jede Anwendung des Wetten-Systems (0.978744 - 1.339118) =-0.360374.

In einem einzigartigen Umstand kann diese Strategie Sinn haben. Nehmen Sie an, dass der Spieler genau 63 Einheiten besitzt, aber verzweifelt insgesamt 64 braucht. Wenn er q> 1/2 annimmt (ist es ein echtes Kasino), und er kann nur Wetten an sogar der Verschiedenheit legen, seine beste Strategie ist kühnes Spiel: An jeder Drehung sollte er den kleinsten solchen Betrag wetten, dass, wenn er gewinnt, er sein Ziel sofort erreicht, und wenn er genug dafür nicht hat, sollte er einfach alles wetten. Schließlich geht er entweder Pleite oder erreicht sein Ziel. Diese Strategie gibt ihm eine Wahrscheinlichkeit von 97.8744 %, das Ziel zu erreichen, eine Einheit gegen eine 2.1256-%-Chance zu gewinnen, alle 63 Einheiten zu verlieren, und das ist die beste in diesem Umstand mögliche Wahrscheinlichkeit. Jedoch ist kühnes Spiel nicht immer die optimale Strategie, für die größtmögliche Chance zu haben, ein anfängliches Kapital zu einem gewünschten höheren Betrag zu vergrößern. Wenn der Spieler willkürlich kleine Beträge an der willkürlich langen Verschiedenheit (aber noch mit demselben erwarteten Schadensumfang von 2/38 des Anteils an jeder Wette) wetten kann, und nur Derjenige-Wette an jeder Drehung legen kann, dann gibt es Strategien mit der obengenannten 98-%-Chance, seine Absicht zu erreichen, und diese verwenden sehr furchtsames Spiel, wenn der Spieler dem Verlieren seines ganzen Kapitals nicht nah ist, in welchem Fall er wirklich auf das äußerst kühne Spiel umschaltet.

Alternative mathematische Analyse

Die vorherige Analyse berechnet erwarteten Wert, aber wir können eine andere Frage stellen: Was die Chance ist, dass man ein Kasino-Spiel mit der Martingal-Strategie spielen, und die Pechsträhne lange genug vermeiden kann, um jemandes Geldmittel zu verdoppeln.

Wie zuvor hängt das von der Wahrscheinlichkeit ab, 6 Roulette-Drehungen zu verlieren, die hintereinander annehmen, dass wir Wetten rot/schwarz oder gleich/seltsam sind. Viele Spieler glauben, dass die Chancen, 6 zu verlieren, hintereinander entfernt sind, und dass mit einer geduldigen Anhänglichkeit an der Strategie sie ihre Geldmittel langsam vergrößern werden.

In Wirklichkeit ist die Verschiedenheit eines Streifens von 6 Verlusten hintereinander viel höher, als die vielen Leute intuitiv glauben. Psychologische Studien haben gezeigt, dass, da Leute wissen, dass die Verschiedenheit, 6mal hintereinander aus 6 Spielen zu verlieren, niedrig ist, sie falsch annehmen, dass in einer längeren Reihe von Spielen die Verschiedenheit auch sehr niedrig ist. Wenn Leute gebeten werden, Daten zu erfinden, die 200 Münzwerfen vertreten, fügen sie häufig Streifen von mehr als 5 nicht hinzu, weil sie glauben, dass diese Streifen sehr unwahrscheinlich sind. Dieser intuitive Glaube wird manchmal die heuristische Vertretendkeit genannt.

Die Verschiedenheit, eine einzelne Drehung am Roulette zu verlieren, ist. Wenn Sie insgesamt 6 Drehungen spielen, ist die Verschiedenheit, 6mal zu verlieren, wie oben angegeben. Jedoch, wenn Sie immer mehr Drehungen spielen, beginnt die Verschiedenheit, 6mal hintereinander zu verlieren, schnell zuzunehmen.

• In 73 Drehungen gibt es eine 50.3-%-Chance, dass Sie an einem Punkt werden mindestens 6 Drehungen hintereinander verloren haben. (Die Chance, noch nach den ersten sechs Drehungen lösend zu sein, ist 0.978744, und die Chance, bankrott an jeder nachfolgenden Drehung zu werden, ist (1-0.526316) x0.021256 = 0.010069, wo der erste Begriff die Chance ist, dass Sie (n-6) th Drehung gewonnen haben - wenn Sie (n-6) th Drehung verloren hätten, wären Sie bankrott auf (n-1) th Drehung geworden. So sind mehr als 73 Drehungen die Wahrscheinlichkeit des restlichen Lösungsmittels ist 0.978744 x (1-0.010069) ^67 = 0.49683, und so die Chance, bankrott zu werden, 1-0.49683 = 50.3 %.)
• Ähnlich in 150 Drehungen gibt es eine 77.2-%-Chance, dass Sie mindestens 6 Drehungen hintereinander an einem Punkt verlieren werden.
• Und in 250 Drehungen gibt es eine 91.1-%-Chance, dass Sie mindestens 6 Drehungen hintereinander an einem Punkt verlieren werden.

Die anfänglichen Geldmittel 6,300 mit anfänglichen Wetten 100 zu verdoppeln, würde ein Minimum von 63 Drehungen verlangen (im unwahrscheinlichen Ereignis, das Sie jedes Mal gewinnen), und ein Maximum von 378 Drehungen (im noch unwahrscheinlicheren Ereignis, dass Sie jede einzelne Runde auf der sechsten Drehung gewinnen). Jede Runde wird ein Durchschnitt von etwa 2 Drehungen dauern, so, wie man erwarten kann, nehmen 63 Runden ungefähr 126 Drehungen durchschnittlich. Computersimulationen zeigen, dass die erforderliche Zahl fast 150 Drehungen nie überschreiten wird. So glauben viele Spieler, dass sie die Martingal-Strategie mit sehr wenig Chance des Misserfolgs lange genug spielen können, um ihre Geldmittel zu verdoppeln. Jedoch ist die Verschiedenheit, 6 zu verlieren, hintereinander 77.2 % mehr als 150 Drehungen als oben.

Wir können das Roulette-Spiel in der Analyse entweder mit der Pass-Linie am Würfelspiel ersetzen, wo die Verschiedenheit des Verlierens, oder, oder ein Münzwerfen-Spiel niedriger ist, wo die Verschiedenheit des Verlierens 50.0 % ist. Wir sollten bemerken, dass Spiele wie Münzwerfen ohne Hausrand in einem kommerziellen Kasino nicht gespielt werden und so einen Begrenzungsfall vertreten.

• In 150 Umdrehungen gibt es eine 73.5-%-Chance, dass Sie 6mal hintereinander auf der Pass-Linie verlieren werden.
• In 150 Umdrehungen gibt es eine 70.7-%-Chance, dass Sie 6mal hintereinander an der Münze verlieren werden, die rill.

In größeren Kasinos ist die maximale Tabellengrenze höher, so können Sie sich 7, 8, oder 9mal verdoppeln, ohne die Grenze zu überschreiten. Jedoch, um mit zweimal Ihren anfänglichen Geldmitteln zu enden, müssen Sie noch länger spielen. Die Berechnungen erzeugen dieselben Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeiten sind überwältigend, dass Sie den Büstestreifen erreichen werden, bevor Sie sogar Ihre Geldmittel verdoppeln können.

Der Beschluss besteht darin, dass Spieler, die Martingal-Strategie verwenden, keine Bedrohung für ein Kasino darstellen. Die Verschiedenheit ist hoch, dass der Spieler Pleite gehen wird, bevor er sogar im Stande ist, sein Geld zu verdoppeln.

Gegen den populären Glauben werden Tabellengrenzen nicht entworfen, um Spieler davon zu beschränken, eine Martingal-Strategie auszunutzen. Statt dessen bestehen Tabellengrenzen, um die Abweichung für das Kasino zu reduzieren. Zum Beispiel könnte ein Kasino, das einen Durchschnitt von 1000 $ pro Tag auf einem gegebenen Roulette-Tisch gewinnt, keine Wette von 7000 $ über den Schwarzen bei diesem Tisch akzeptieren. Während diese Wette eine positive Erwartung von mehr als 368 $ zum Kasino vertreten würde, würde sie auch eine 47.37-%-Chance haben, einen Gewinn einer kompletten Woche zu verneinen.

Antimartingal

Das ist auch bekannt als das Rückmartingal. In einem klassischen Martingal-Wetten-Stil vergrößern Spieler Wetten nach jedem Verlust in Hoffnungen, dass ein schließlicher Gewinn alle vorherigen Verluste wieder erlangen wird. Die Antimartingal-Annäherung vergrößert stattdessen Wetten nach Gewinnen, während sie sie nach einem Verlust reduziert. Die Wahrnehmung besteht darin, dass der Spieler aus einer Glücksträhne oder einer "heißen Hand" einen Nutzen ziehen wird, während er Verluste während "Kälte" reduzieren wird oder eine Pechsträhne sonst zu haben. Da die einzelnen Wetten von einander (und von den Erwartungen des Spielers), dieselben Beschlüsse unabhängig sind, wie oben gelten. Diese Strategie wird auch in Handelssystemen allgemein verwendet.

Siehe auch

• St. Petersburger Paradox