und Das Maximum von C (x) ist ungefähr 0.977451424. Wenn πt ²/2 statt t ² verwendet würden, dann würde das Image vertikal und horizontal (sieh unten) erklettert.]]

Integrale von Fresnel, S (x) und C (x), sind zwei nach Augustin-Jean Fresnel genannte transzendente Funktionen, die in der Optik verwendet werden. Sie entstehen in der Beschreibung in der Nähe von Beugungsphänomenen von Feld Fresnel, und werden durch die folgenden integrierten Darstellungen definiert:

Der gleichzeitige parametrische Anschlag von S (x) und C (x) ist die Spirale von Euler (auch bekannt als die Spirale von Cornu oder clothoid).

Definition

Die Integrale von Fresnel lassen die folgenden Macht-Reihenentwicklungen zu, die für den ganzen x zusammenlaufen:

Normalisierte Integrale von Fresnel, und. In diesen Kurven ist das Argument der trigonometrischen Funktion πt/2, im Vergleich mit gerade t als oben.]]

::

Einige Autoren, einschließlich Abramowitz und Stegun, (eqs 7.3.1 - 7.3.2) verwenden für das Argument der Integrale, die S (x) und C (x) definieren. Um diese Funktionen zu bekommen, multiplizieren Sie die obengenannten Integrale damit und multiplizieren Sie das Argument x damit.

Spirale von Euler

Spirale von Euler (x, y) = (C (t), S (t)). Die Spirale läuft zum Zentrum der Löcher im Image zusammen, weil t zur positiven oder negativen Unendlichkeit neigt.]]

Die Euler Spirale, auch bekannt als Spirale von Cornu oder clothoid, ist die Kurve, die durch einen parametrischen Anschlag von S (t) gegen C (t) erzeugt ist. Die Spirale von Cornu wurde von Marie Alfred Cornu als ein nomogram für die Beugungsberechnung in der Wissenschaft und Technik geschaffen.

Aus den Definitionen von Integralen von Fresnel sind der infinitesimals dx und dy so:

::

So kann die Länge der vom Ursprung gemessenen Spirale als ausgedrückt werden:

:

D. h. der Parameter ist die Kurve-Länge, die vom Ursprung (0,0) gemessen ist, und die Spirale von Euler hat unendliche Länge. Der Vektor drückt auch den Einheitstangente-Vektoren entlang der Spirale aus, θ = gebend. Da t die Kurve-Länge, die Krümmung ist, kann als ausgedrückt werden:

:

Und die Rate der Änderung der Krümmung in Bezug auf die Kurve-Länge ist:

:

Eine Euler Spirale hat das Eigentum, dass seine Krümmung an jedem Punkt zur Entfernung entlang der Spirale proportional ist, die vom Ursprung gemessen ist. Dieses Eigentum macht es nützlich als eine Übergang-Kurve in der Autobahn und Eisenbahntechnik.

Wenn ein Fahrzeug der Spirale mit der Einheitsgeschwindigkeit folgt, vertritt der Parameter in den obengenannten Ableitungen auch die Zeit. D. h. ein Fahrzeug im Anschluss an die Spirale mit der unveränderlichen Geschwindigkeit wird eine unveränderliche Rate der winkeligen Beschleunigung haben.

Abteilungen von Spiralen von Euler werden in die Gestalt von Berg-Und-Tal-Bahn-Schleifen allgemein vereinigt, um zu machen, was als "clothoid Schleifen" bekannt ist.

Eigenschaften

• C (x) und S (x) sind sonderbare Funktionen von x.
• C und S sind komplette Funktionen.
• Mit den Macht-Reihenentwicklungen oben können die Integrale von Fresnel zum Gebiet von komplexen Zahlen erweitert werden, und sie werden analytische Funktionen einer komplizierten Variable. Die Integrale von Fresnel können mit der Fehlerfunktion wie folgt ausgedrückt werden:

::::

• Die Integrale, die C (x) definieren, und S (x) können in der geschlossenen Form in Bezug auf Elementarfunktionen nicht bewertet werden, außer in speziellen Fällen. Die Grenzen dieser Funktionen als x gehen zur Unendlichkeit sind bekannt:

::

Einschätzung

Die Grenzen von C und S als das Argument neigen zur Unendlichkeit kann durch die Methoden der komplizierten Analyse gefunden werden. Das verwendet die Kontur, die der Funktion integriert

ist:

um die Grenze des Gebiets in der Form von des Sektors im komplizierten durch die positive X-Achse gebildeten Flugzeug hat die Halblinie y = x, x  0, und der Kreis des Radius R am Ursprung im Mittelpunkt gestanden.

Als R zur Unendlichkeit geht, neigt das Integral entlang dem kreisförmigen Kreisbogen zu 0, das Integral entlang der echten Achse neigt zu Gaussian integrierter

:

\sqrt {\\frac {\\Pi} {2}}, </Mathematik>

und nach alltäglichen Transformationen kann das Integral entlang der Halbierungslinie des ersten Quadranten mit der Grenze der Integrale von Fresnel verbunden sein.

Generalisation

Der integrierte Fresnel kann durch die Funktion verallgemeinert werden

mit der linken Seite, die für a> 1 und die Rechte zusammenläuft, die seine analytische Erweiterung auf das ganze Flugzeug weniger ist, wo die Pole dessen liegen.

Siehe auch

• Augustin-Jean Fresnel
• Zone von Fresnel
• Spur-Übergang biegt
• Spirale von Euler
• Zonenteller
• R. Kirchenschiff, Die Cornu Spirale, Hyperphysik (2002) (Gebrauch πt ²/2 statt t ².)

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